<< Предыдущая

стр. 11
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(15) ??E?(?0) = p Q .
i?I i
Легко видеть, что ожидаемая полезность страховщика неотрица-
тельна, независимо от априорной неопределенности, причем спра-
ведлива оценка:
d D
? ??E?(?0) ? n p Q
(16) n p Q .
1+ d 1+ D
В предельном случае (при D? = d?, то есть при отсутствии неопре-
деленности и одинаковых страхователях) (16) переходит в выраже-
ние (10) раздела 2.1.
Из сравнения выражений (6) и (16) следует, что ожидаемая по-
лезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности
относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к
неопределенности относительно вероятностей наступления страхо-
вого случая.
Завершив рассмотрение механизмов выбора нагрузок к нетто-
ставкам, рассмотрим механизмы выбора страхового тарифа, осно-
вывающиеся на сообщениях страхователей страховщику о неиз-
вестных ему параметрах.
Механизмы определения страхового тарифа.
Центру неизвестны {pi}. Для простоты будем считать, что все
страхователи одинаково относятся к риску (?i = ?) и характеризу-
ются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхо-
вого случая.
Пусть центр использует механизм с сообщением информации,
то есть определяет оптимальное значение страхового тарифа на
si ? [dp; Dp], i ? I,
основании сообщений страхователей
(s = (s1, s2, ..., sn) ? [dp; Dp] ) о вероятностях наступления страхового
n

случая, то есть центр использует механизм планирования ?0 = ?(s),
где процедура ?(?) определяется в результате решения следующей
задачи:


67
n
Q
? ( ? 0 ? si ) > max ,
(17) E?(?0, s) =
1+? ? ?0
i = m( ? 0 ,s ) 0

(18) m(?0, s) = min {i ? I | (1 + ?) si ? ?0}.
Подставляя (17)-(18) в целевую функцию страхователя, полу-
чаем:
? ?0
Q , ? 0 ? ( 1 + ? ) si
?
, i ? I.
(19) Efi(?0, s) = g - ? 1 + ?
? pi Q , ? 0 > ( 1 + ? ) si
?
Из условий выгодности заключения страхового контракта для
страхователя следует, что имеет место аналог ГРО:
(20) si ? pi, i ? I.
Из анализа выражения (19) следует, что одним из равновесий
Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально
возможных оценок, то есть (ср. с (5))
(21) s* = dp, i ? I.
i
Таким образом, механизм определения страхового тарифа ока-
зывается манипулируемым.
При сообщениях (21) ожидаемая полезность страховщика оп-
ределяется выражением (6), следовательно оценка (7) остается
достаточной для «неразорения» страховщика и в случае механизма
назначения страхового тарифа.
Таким образом, потери страховщика, вызванные неполной его
информированностью относительно параметров страхователей,
одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тари-
фа.
Центру неизвестны {Qi}. Будем считать, что центру известны
отношение к риску страхователей {?i} и вероятности {pi} наступле-
ния страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение
(1 + ?i) pi.
Пусть центр использует механизм с сообщением информации,
то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании
сообщений страхователей si ? [dQ; DQ], i ? I, (s = (s1, s2, ...,
sn) ? [dQ; DQ]n) о величинах потерь, то есть центр использует меха-
низм планирования ?0 = ?(s), где процедура ?(?) определяется в
результате решения следующей задачи:

68
n
si
?
(22) ?0(s) = max [pk (1 +?k) – pi].
1 + ?i
k?I i =k
Подставляя (22) в целевую функцию страхователя, получаем:
?0
], i ? I.
(23) Efi(?0, s) = g – pi Qi + si [pi -
1 + ?i
Как и в задаче выбора нагрузки к нетто-ставке, если истинный
размер ущерба становится известным апостериори, то оптимальной
стратегией каждого страхователя является сообщение достоверной
информации. Если отказаться от этого предположения, то получим,
что механизм определения страхового тарифа на основании сооб-
щений о потерях манипулируем.
Центру неизвестны {?i}. Для простоты будем считать, что все
страхователи характеризуются одинаковыми величинами потерь Q
при наступлении страхового случая и одинаковыми вероятностями
наступления страхового случая p.
Пусть центр использует механизм с сообщением информации,
то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании
сообщений страхователей si ? [d?; D?], i ? I, (s = (s1, s2, ...,
sn) ? [d?; D?]n) о вероятностях наступления страхового случая, то
есть центр использует механизм планирования ?0 = ?(s), где проце-
дура ?(?) определяется в результате решения следующей задачи:
? 0 ? pi
n
? > max ,
(24) E?(?0, s) = Q
1 + si ? 0 ?0
i = m( ?0 ,s )
(25) m(?0, s) = min {i ? I | p si ? ?0}.
Подставляя (24)-(25) в целевую функцию страхователя, полу-
чаем:
? ? 0 ? p i ( ? i ? si )
Q , ? 0 ? psi
?
, i ? I.
1 + si
(26) Efi(?0, s) = g - ?
? pi Q , ? 0 > psi
?
Из анализа выражения (26) следует, что одним из равновесий
Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально
возможных оценок, то есть (ср. с (14):
(27) s* = d?, i ? I.
i


69
Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке
оказывается манипулируемым.
При сообщениях (27) ожидаемая полезность страховщика оп-
ределяется выражением (15), то есть, как и случае задачи назначе-
ния нагрузки к нетто-ставке, эта полезность неотрицательна, неза-
висимо от априорной неопределенности, и для нее справедлива
оценка (16) и сделанный выше вывод о влиянии неопределенности.
Полученные выше в настоящем разделе результаты исследова-
ния механизмов планирования (назначения нагрузки и страхового
тарифа) суммируем в виде следующего утверждения.
Утверждение 2.
а) Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на ос-
новании сообщений страхователей являются манипулируемыми1,
причем эффективность их использования соответствует эффектив-
ности использования страховщиком принципа максимального
гарантированного результата;
б) ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна»
к неопределенности относительно отношения страхователей к
риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей
наступления страхового случая;
в) потери страховщика, вызванные неполной его информиро-
ванностью относительно параметров страхователей, одинаковы в
случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа.
В заключение настоящего раздела исследуем случай, когда
страховщик имеет информацию о распределении вероятностей2
неопределенного параметра (внутренняя вероятностная неопреде-
ленность с асимметричной информированностью в соответствии с
классификацией, введенной в [51]) – вероятности наступления
страхового случая.


1
Манипулируемость имеет место в рамках введенного выше предполо-
жения о полной компенсации потерь. Если сделать размер возмещения,
также как и страховой взнос, гибко зависящим от сообщений страхова-
телей, то, возможно, что удастся снизить искажения информации.
2
Отметим, что так как в вероятностных моделях используется мате-
матическое ожидание по известному распределению, то единственность
или множественность страхователей не является принципиальной,
поэтому для упрощения рассмотрим случай одного страхователя.
70
Пусть Fp: [dp; Dp] > [0; 1] – известная страховщику непрерыв-
ная интегральная функция распределения вероятностей вероятно-
стей наступления страхового случая.
По аналогии с (1) и (17) получаем, что математическое ожида-
ние целевой функции страховщика равно
? 0Q
(28) Ep E?(?0) = [1 – Fp(?0/?)],
1+?
D
Q
? p dFp ( ? ) ].
(29) Ep E?(?0) = [?0 (1 – Fp(?0/(1+?)) -
1+? ? 0 /( 1+? )
Утверждение 3. В случае вероятностной неопределенности
ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой
нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового
тарифа.
Доказательство утверждения 3. Покажем, что имеет место
Ep E?(?0) ?
max max
(30) Ep E?(?0).
?0?[ ?d p ;?D p ] ? 0?[( 1+? )d p ;( 1+? ) D p ]
D

? p dFp ( ? )
Обозначим p = - ожидаемую вероятность наступ-
d
ления страхового случая. Очевидно, что имеет место dp ? p ? Dp, а,
следовательно, и следующие оценки значений (28) и (29) на грани-
цах отрезков допустимых значений аргументов:
(31) Ep E?(?0 = ? Dp) = Ep E?(?0 = (1 + ?) Dp) = 0,
Ep E?(?0 = ? dp) = ? d Q / (1 + ?) ?
? Ep E?(?0 = (1 + ?) dp) = Q [(1 + ?) d - p ] / (1 + ?).
Сравним теперь максимальные значения выражений (28) и (29)
внутри соответствующих интервалов.
Докажем, что ? ?0 ? [(1 + ?) dP; (1 + ?) DP] ? ?0 ? [? dP; ? DP]:
Ep E?(?0) ? Ep E?(?0). Предположим противное, то есть пусть
? ?0 ? [(1 + ?) dP; (1 + ?) DP]: ? ?0 ? [? dP; ? DP] выполнено
Ep E?(?0) < Ep E?(?0).
Запишем последнее выражение используя (28) и (29):
? ?0 ? [? dP; ? DP]



71
D
? 0Q p
Q
? p dFp ( ? ) ].
(32) [1–Fp(?0/?)] < < [?0(1–Fp(?0/(1+?)) -
1+? 1+? ? 0 /( 1+ ? )
Так как ?0 фиксировано, то вычислим p0 = ?0 / (1 + ?) и
?0’ = ? p0. Очевидно, что, если ?0 ? [(1 + ?) dP; (1 + ?) DP], то
?0’ ? [? dP; ? DP]. Неравенство (32) должно выполняться и для
?0 = ?0’. После несложных преобразований получаем:
Dp

? p dFp ( ? ) .
(33) p0 (1 – Fp(p0)) >
p0
По известной теореме анализа (интегральная теорема о сред-
Dp

? p dFp ( ? )
нем) получаем, что ? p’ ? [p0; Dp]: = p’ (1 – Fp(p0)).
p0
Сравнивая с левой частью (33), получаем противоречие. •
Результаты утверждений 1-2 свидетельствуют, что механизмы
страхования, основывающиеся на сообщениях страхователей,
являются манипулируемыми. Рассмотрим качественно как этот
вывод соотносится с практическим опытом.
Параметрами страхователя в рассматриваемой модели являют-
ся: его отношение к риску ?i, вероятность наступления страхового
случая pi и потери Qi от наступления страхового случая. Если оцен-
ки вероятностей наступления страхового случая, неизвестных
страховщику, сообщаются ему страхователями, то последним, при
фиксированных условиях выплаты страхового возмещения, естест-
венно, выгодно занизить эти оценки с тем, чтобы заплатить мень-
ший страховой взнос, но получить оговоренное в страховом кон-
тракте возмещение, так как при последующих реализациях
страховых случаев определяется фактический компенсируемый
ущерб. Следовательно, вероятности наступления страховых случа-
ев являются ненаблюдаемыми (и неидентифицируемыми) в рамках
механизмов с сообщением информации величинами1.

1
В частности поэтому, неэффективно использование «конкурсных»
механизмов для «однородных» страхователей: если вероятности наступ-
ления страховых случаев примерно одинаковы для всех страхователей, то
применение механизма, при котором страхователь, сообщивший большую

<< Предыдущая

стр. 11
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>