<< Предыдущая

стр. 14
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

телем на предупредительные мероприятия. От действия страхова-
теля зависит его доход H(y), затраты c(y) и вероятность наступле-
ния страхового случая p(v, y), причем последняя величина зависит
также и от объема средств v, затрачиваемых на предупредительные
мероприятия1, то есть:
(1) Ef(v, y) = H(y) – c(y) – v – r(v, y) + p(v, y) [(1 + ?) h(v, y) – Q].
Так как нас интересуют свойства механизмов страхования, а не
«производственная» деятельность страхователя, то выберем про-

1
В общем случае можно считать, что от (v, y) зависят и параметры
страхового контракта r(?) и h(?).
85
стейшие зависимости затрат и дохода от его действия: H(y) = ? y,
c(y) = c0 + ? y, где ? может интерпретироваться как цена, по кото-
рой страхователь реализует свою продукцию, c0 – постоянные
издержки, ? - переменные издержки на производство единицы
продукции. Из условия H(y) – c(y) – v ? 0 можно определить точку
безубыточности y0(v) – минимальный объем производства, при
котором деятельность страхователя еще выгодна (см. рисунок 9):
(2) y0(v) = (c0 + v) / (? - ?).
H (y)



c(y)+ v



c0+ v




y
0 y0

Рис. 9. Точка безубы т очност и ст раховат еля

Относительно зависимости вероятности наступления страхово-
го случая от y и v предположим (символ «’» обозначает производ-
ную, нижний индекс обозначает переменную, по которой произ-
водная вычисляется), что: p'y ? 0, p'v ? 0, p'yy ? 0, p'vv ? 0.
' '

В отсутствии страхования целевая функция страхователя равна
(2) Ef(v, y) = H(y) – c(y) – v – p(v, y) Q.
Следовательно, без учета ограничения безубыточности опти-
мальной стратегией страхователя будет выбор (v*, y*):

? ?p( v* , y* ) ?
=
?
? ?y Q
(3) ? ,
?p( v* , y* ) 1
? =?
? ?v
? Q


86
где ? = ? - ?. Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий
данные зависимости.
?k y
Пример 5. Пусть p(v, y) = e ? kv v ( 1 ? e y ) , где kv и ky – поло-
жительные константы. Решая уравнения (3), получим:
Qk y k v ky
1
1
v* = ln , y* = ln (1 + ).
k y + ?k v ? kv
ky
kv
Ожидаемые потери EQ при этом равны EQ = 1 / Kv. •
В присутствии страхования, если осуществляется полная ком-
пенсация ущерба, то есть h = Q / (1 + ?), то без учета ограничения
безубыточности оптимальной стратегией страхователя будет выбор
(v*, y*):

? ?r( v* , y* )
=?
?
? ?y
(4) ? .
? ?r( v , y ) = ? 1
* *

? ?v
?
Если (см. раздел 2.1) имеет место
? 0 ( v , y ) + p( v , y )
Q,
(5) r(v, y) =
1+?
то (4) примет вид
? (1 + ? )
?' * *
? 0 y ( v , y ) + p'y ( v* , y* ) =
?
? Q
(6) ? .
1+?
? ? 0 v ( v , y ) + pv ( v , y ) = ?
' * * ' * *
?
? Q
В рамках рассматриваемой модели стратегией страховщика
является выбор зависимости ?0(?) нагрузки к нетто-ставке1 от затрат
на предупредительные мероприятия и действий страхователя.

1
Как отмечалось в первой главе, в экологическом страховании нагрузка к
нетто-ставке включает рисковую, коммерческую и предупредительную
нагрузки. Для простоты в первом приближении можно считать, что ?0 –
предупредительная нагрузка, характеризующая объем средств (точнее
87
Несколько забегая вперед, отметим, что сравнение свойств
систем уравнений (3) и (6) является ключевым инструментом ана-
лиза предупредительных и мотивационных свойств экологического
страхования (см. также раздел 2.6).
Под предупредительной ролью страхования будем понимать
его свойство побуждать страхователей увеличивать отчисления на
предупредительные мероприятия. Под мотивационной ролью
страхования будем понимать его свойство побуждать страховате-
лей выбирать действия, снижающие ущерб от наступления страхо-
вых случаев (каждый раз при рассмотрении тех или иных моделей
страхования необходимо конкретизировать – что понимается под
«ущербом» – вероятность наступления страхового случая, ожидае-
мые потери, ожидаемые потери с учетом затрат на страхование и
предупредительные мероприятия и т.д.).
Следующее утверждение констатирует, что при постоянной
нагрузке1 страхование не играет ни предупредительной, ни мотива-
ционной роли, а, наоборот, побуждает страхователя выбирать
стратегии, увеличивающие ожидаемые потери по сравнением с
ожидаемыми потерями в отсутствии страхования.
Утверждение 5. Если ?0 = Const, то y* ? y*, v* ? v*.
Доказательство утверждения 5. Если ?0 = Const, то (6) примет
вид:
? (1 + ? )
?' * *
py( v , y ) =
?
? Q
(7) ? .
1+?
? pv ( v , y ) = ?
' * *
?
? Q
Сравнивая (3) и (7) с учетом свойств зависимости2 p(?) и того,
что ? ? 0, получаем, что y* ? y*, v* ? v*. •

долю от страховых платежей), направляемых страховщиком на проведе-
ние предупредительных мероприятий.
1
Аналогичное исследование может быть проведено для влияния страхо-
вого тарифа (см. раздел 2.2) на стратегии страхователя.
2
Выше мы предположили, в том числе, вогнутость функции p(?) по
действию страхователя. Результат утверждения 5 изменится, если
предположить выпуклость (см. пример 7 ниже). В общем случае (если p(?)
имеет точки перегиба и т.д.) нельзя однозначно утверждать что введе-
88
Пример 6. Решая уравнения (7) для данных примера 5, полу-
чим, что введение страхования приведет к тому, что страхователь
выберет то же действие, что и в отсутствии страхования, но умень-
шит отчисления на предупредительные мероприятия:
ky
1
1
ln (1 + ?) ? v*, y* =
v * = v* - ln (1 + ) = y*.
? kv
ky
kv
Ожидаемые потери EQ при этом равны EQ = (1 + ?) / Kv, то есть
возрастают в (1 + ?) раз по сравнением со случаем отсутствия
страхования1 (см. пример 5).

v
y=(c0+v)/?

p*=1/kvQ

v* p*=(1+?)/kvQ



v*

y
0 c0/? y*=y*

Рис. 10. Область допустимых стратегий и оптимальные
стратегии страхователя для примеров 6 и 7

На рисунке 10 на плоскости переменных (y, v) изображено
множество стратегий, допустимых с точки зрения ограничения
безубыточности, а также линии уровня функции p(v, y) (направле-

ние страхования всегда уменьшает или всегда увеличивает равновесные
значения стратегий страхователя.
1
Данный вывод не должен шокировать, так как при страховании, в
рамках введенных выше предположений, ожидаемые потери полностью
компенсируются.
89
ние возрастания отмечено стрелкой). Видно, что требования увели-
чения отчислений на предупредительные мероприятия и увеличе-
ния действий «противоречат» друг другу. Экологическое страхова-
ние является одним из инструментов «смягчения» этого
противодействия. •
Важный качественный вывод, следующий из утверждения 5,
заключается в том, что для того, чтобы страхование оказывало
предупредительное и мотивационное воздействие на страхова-
теля, параметры страхового контракта должны гибким обра-
зом зависеть от стратегий, выбираемых последним.
Кроме того, утверждение 5 является формальной иллюстраци-
ей свойства морального риска – застрахованный субъект стремится
избежать риска меньше, чем незастрахованный [18, 25].
Анализ систем уравнений (3) и (7), а также графические интер-
претации, приведенные на рисунке 10, подсказывают, что для того,
чтобы страхование оказывало на страхователя предупредительное и
мотивационное воздействие, необходимо, чтобы нагрузка к нетто-
ставке и/или страховой тариф зависели от стратегий страхователя.
Поэтому рассмотрим условия, которым должны удовлетворять
параметры страхового контракта для обеспечения требуемого
поведения страхователя. Для простоты будем рассматривать моде-
ли, в которых переменными является только одна из компонент
стратегии страхователя – либо отчисления на предупредительные
мероприятия, либо действие.
Пусть единственной переменной является величина v отчисле-
ний на предупредительные мероприятия (действие страхователя
фиксировано). Тогда из (3) и (6) получаем:
1+?
1
(8) p'v ( v* ) = ? , ? 0 v ( v* ) + p'v ( v* ) = ?
'
.
Q Q
Из (8) следует, что в силу введенных выше предположений для
обеспечения v* ? v* необходимо выполнение следующего условия:
?
(9) ? 0 v ( ? ) ? ?
'
.
Q
Легко видеть, что, например, при ?0(v) = ?0 - ? v / Q в силу (8)
получаем v* = v*. Для обеспечения необходимости и достаточности
следует вспомнить (см. раздел 2.1), что страхование будет взаимо-
выгодным, если выполнено следующее условие: ? v ? 0
90
(10) ?0(v) ? ? p(v).
В предельном случае (при выполнении (10) как равенства) по-
лучаем, что v* = v*, то есть введение страхования не изменяет от-
числений на предупредительные мероприятия!
Аналогичным образом рассмотрим случай, когда единственной
переменной является действие1 страхователя y, а величина отчис-
лений на предупредительные мероприятия фиксирована. Тогда из
(3) и (6) получаем:
? ( 1 + ? )?
(11) p'y ( y* ) = , ? 0 y ( y* ) + p'y ( y* ) =
'
.
Q Q
Из (11) следует, что в силу введенных выше предположений
для обеспечения v* ? v* необходимо выполнения следующего усло-
вия:
??

<< Предыдущая

стр. 14
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>