<< Предыдущая

стр. 15
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(12) ? 0 y ( ? ) ?
'
.
Q
Легко видеть, что, например, при ?0(y) = ? ? y / Q в силу (8) по-
лучаем v* = v*. Для обеспечения необходимости и достаточности
следует вспомнить (см. раздел 2.1), что страхование будет взаимо-
выгодным, если выполнено следующее условие: ? v ? 0
(13) ?0(y) ? ? p(y).
В предельном случае (при выполнении (13) как равенства) по-
лучаем, что v* = v*, то есть введение страхования не изменяет рав-
новесных действий страхователя!

1
Если в случае переменных затрат на предупредительные мероприятия
предупредительная функция экологического страхования заключалась в
побуждении страхователя увеличивать эти затраты, то в случае пере-
менных действий страхователя, в силу отмеченной выше «противоречи-
востью» между производственными и экологическими целями, в общем
случае неясно, следует побуждать страхователя выбирать большие или
меньшие действия. Для определенности предположим, что одна из целей
страхования - побуждать страхователя снижать вероятность наступ-
ления страхового случая и, следовательно, снижать ожидаемые потери,
за счет выбора меньших действий (например, за счет непревышения
объемом производства некоторой критической величины). В примере 7
рассматривается противоположный случай – когда наличие фиксирован-
ной нагрузки при страховании побуждает страхователя выбирать
большие действия, чем в отсутствии страхования.
91
Отметим, что в силу (10) и (13), если оптимальное действие
страхователя в отсутствии страхования принадлежало области
безубыточности, то есть выполнялось: y* ? y0(v*), то и при наличии
страхования оптимальное действие страхователя также буде при-
надлежать области безубыточности, то есть будет иметь место:
y* ? y0(v*). Содержательно это свойство объясняется тем, что ожи-
даемые потери учитываются в целевой функции страхователя
независимо от наличия или отсутствия страхования, а условия типа
(10) и (13) являются «условиям участия» (см. раздел 2.1), отра-
жающие выгодность страхования для страхователя (то есть условия
того, что при заключении страхового контракта его ожидаемая
полезность не уменьшится).
Суммируем полученные результаты, сформулировав их в виде
следующего утверждения.
Утверждение 6. Предупредительная роль страхования имеет
место, если выполнены условия (9)-(10). Мотивационная роль
страхования имеет место, если выполнены условия (12)-(13). Если
выполнено
(14) ?0(v, y) = ? p(v, y),
то наличие страхования не изменяет действий страхователя и его
отчислений на предупредительные мероприятия.
Следствием утверждения 6 является то, что использование
страховщиком нагрузки к нетто-ставке (14) или страхового тарифа
?0(v, y) = (1 +?) p(v, y) исключает моральный риск.
Приведем следующий пример, иллюстрирующий мотивацион-
ную роль экологического страхования (отметим, что в примере 7 не
выполнено введенное выше предположение о том, что p'yy ? 0).
'

Пример 7. Пусть y ? [0; y+], p(y) = (y / y+)2. Вычисляем опти-
мальное действие y* страхователя в отсутствии страхования (то есть
действие, максимизирующее (2)): y* = y+ ? / 2Q. При страховании с
фиксированной нагрузкой к нетто-ставке оптимальное действие y*
страхователя в отсутствии страхования (то есть действие, максими-
зирующее (1)): y* = (1 + ?) y+ ? / 2Q.
Итак, при наличии страхования (и полной компенсации по-
терь!) страхователю выгодно выбирать большие действия, чем при
отсутствии страхования: y* ? y*. •

92
Завершив рассмотрение предупредительной и мотивационной
роли страхования, перейдем к описанию результатов исследования
специфики страхования в многоэлементных системах.


2.6. Специфика страхования в многоэлементных системах

В предыдущих разделах мы рассматривали механизмы страхо-
вания либо в одноэлементных системах (то есть в системах, со-
стоящих из одного страховщика и одного страхователя), либо в
многоэлементных системах (то есть в системах, состоящих из
одного страховщика и нескольких страхователей), в которых стра-
хователи были независимы. Независимость страхователей проявля-
лась в первую очередь в том, что вероятность наступления страхо-
вого случая у каждого страхователя зависела только от его
собственных параметров и действий и не зависела от параметров и
действий других страхователей.
На практике распространены ситуации, в которых вероятности
наступления страховых случаев взаимозависимы. Примерами
причин, обуславливающих такую взаимозависимость являются:
наличие технологических связей между страхователями, их терри-
ториальная близость и т.д. Для отражения «взаимодействия» между
страхователями будем в формальных моделях, рассматриваемых в
настоящем разделе, предполагать, что вероятность наступления
страхового случая у каждого из n страхователей зависит от дейст-
вий всех страхователей, то есть: pi = pi(y), где y = (y1, y2, ..., yn), i ? I.
Последовательность функционирования (порядок получения
информации и выбора стратегий участниками системы – страхов-
щиком и страхователями) будем предполагать следующим: стра-
ховщик предлагает каждому из страхователей заключить страховой
контракт, в соответствии с которым страхователь делает взнос,
зависящий от его действий (и в общем случае, быть может, от
действий других страхователей) и при наступлении страхового
случая получает полное возмещение ущерба, затем страхователи
одновременно и независимо выбирают свои действия, в результате
чего «определяются» вероятности наступления страховых случаев.
Специфика страхования в многоэлементных системах заклю-
чается в том, что страхователи, заключившие страховые контракты
93
с одним страховщиком, оказываются вовлеченными в игру, в кото-
рой выигрыш каждого из них зависит не только от его собственных
действий, но и от действий других страхователей. Следовательно,
для прогноза выбираемых страхователями при заданных страховых
контрактах действий, страховщик должен «предсказать» их пове-
дение, то есть определить равновесие игры страхователей.
Системы такого рода в теории активных систем получили на-
звание систем с сильно связанными элементами. Общие результаты
их теоретического исследования изложены в [52]. Основная идея
управления в многоэлементных системах заключается в том, чтобы
выбрать управляющие воздействия, декомпозирующие игру управ-
ляемых субъектов, то есть позволяющие управляющему органу
эффективно предсказывать то состояние системы, в котором она
окажется при данном управлении. Вторая задача – задача выбора
управления, приводящего систему в состояние, наиболее предпоч-
тительное с точки зрения управляющего органа, как правило, реша-
ется гораздо проще, чем задача декомпозиции [52]. Перейдем к
исследованию моделей страхования в многоэлементных системах.
Ожидаемая полезность i-го страхователя в отсутствии страхо-
вания может быть записана в виде1:
(1) Efi(y) = ?i yi – pi(y) Qi, i ? I.
В качестве концепции решения игры выберем равновесие Нэ-
ша [106]. По определению y* - равновесие Нэша тогда и только
тогда, когда:
(2) ? i ? I ? yi Efi(y*) ? Efi(yi, y*?i ),
где y-i = (y1, y2, ..., yi-1, yi+1, ..., yn) – обстановка игры для i-го страхо-
вателя.
Если функция pi(?) выпукла по yi, то равновесие Нэша удовле-
творяет следующей системе уравнений:
1
Для простоты в настоящем разделе мы не будем акцентировать внима-
ние на постоянных издержках, затратах на предупредительные меро-
приятия и т.д., считая, что единственной стратегией страхователя
является выбор действий, а его ожидаемая полезность, помимо ожидае-
мых потерь и слагаемых, отражающих взаимодействие со страховщи-
ком, определяется ожидаемой прибылью, которая пропорциональна
действию i-го страхователя.
94
(3) p'i y (y*) = ?i / Qi, i ? I.
i
2
? ?
pi(y) = ? ? ? ij y j ? / 2 Y.
Пример 8. Пусть Обозначим
? ?
? j?I ?
?i = ?i Y / Qi ?ii, i ? I. Тогда из (3) получаем, что равновесие Нэша
определяется как решение системы линейных уравнений

? ? ij y* j = ?i, i ? I.
(4)
j?I

Предположим, что имеются два страхователя, тогда, выбирая,
например, численные значения Q1 = Q2 = 1, Y = 100, ?1 = 3 / 320,
?2 = 21 / 1600, получаем: y*1 = 1, y*2 = 2, что приводит к следующим
вероятностям наступления страховых случаев: p1(y*) = 1 /128,
p2(y*) = 49 / 3200. •
Пусть нагрузка к нетто-ставке или страховой тариф для каждо-
го страхователя зависит от вектора действий всех страхователей, то
есть:
? 0i ( y ) + pi ( y )
Qi , i ? I,
(5) ri(y) =
1+?
? ( y)
Qi , i ? I.
(6) ri(y) = 0i
1+?
Предположим, что мы хотим разработать механизм страхова-
ния, который побуждал бы страхователей выбирать тот же вектор
действий, что и в отсутствии страхования1 - y* - как равновесие
Нэша. Тогда параметры страхового контракта должны, как мини-
мум, удовлетворять следующим условиям:
(7) ?0i(y*) ? ?i pi(y*), i ? I,
(8) ?0i(y*) ? (1 + ?i) pi(y*), i ? I.




1
Мотивационная роль экологического страхования обсуждалась в разде-
ле 2.5.
95
Подставляя выражения (5) и (6) в функции ожидаемых полез-
ностей страхователей и дифференцируя по соответствующим дей-
ствиям1
(9) p'i y (y*) + ? 0i y (y*) = (1 + ?i) ?i / Qi, i ? I,
'
i i

(10) ? 0i y (y*) = (1 + ?i) ?i / Qi, i ? I.
'
i

Утверждение 7. Использование страховых тарифов или нагру-
зок, удовлетворяющих следующим условиям:
(11) ?oi(y) = ?i pi(y), i ? I,
(12) ?0i(y) = (1 + ?i) pi(y), i ? I
исключает моральный риск2.
Справедливость утверждения 7 обосновывается следующим
образом: подставляя (11)-(12) в (9)-(10) и сравнивая с (3), получаем,
что y* = y*.
Следующее утверждение является следствием общих результа-
тов, приведенных в [52].
Утверждение 8. а) При использовании механизма
?? i pi ( y* , y ?i ), yi = y*
(13) ?0i(y) = ? max i , i ? I,
i

?? 0 , y i ? yi
*


где y* = y*, а ? 0 = max max ?i pi(y), выбор i-ым страхователем
max
i?I y

действия y* является его доминантной стратегией;
i
б) При использовании механизма
?? i pi ( y* , y* i ), yi = y*
(14) ?0i(y) = ? max i ? , i ? I,
i

?? 0 , y i ? yi
*


где y* = y*, а ? 0 = max max ?i pi(y), вектор y* является равнове-
max
i?I y
сием Нэша игры страхователей;
в) При использовании единой для всех страхователей нагрузки
к нетто-ставке ?0(y) или единого страхового тарифа ?0(y) множество

1
Для обеспечения точки максимума можно потребовать, чтобы страхо-
вой тариф или сумма нагрузки и вероятности наступления страхового
случая были у каждого страхователя выпуклы по его действию.
2
Использование управлений (11)-(12) при y = y* удовлетворяет (7)-(8).
96
действий страхователей, реализуемых1 страховщиком не шире, чем
при использовании индивидуальных нагрузок или тарифов2.
Приведем качественное обсуждение результатов утверждения
8. В соответствии с принципом декомпозиции игры управляемых
субъектов [52], центр, используя механизм (13), предлагает каждо-
му страхователю назначать значение соответствующей нагрузки
исходя только из его собственных действий, независимо от дейст-
вий других страхователей. Угроза использования в противном
случае максимальной нагрузки ? 0 max
(невыгодной ни одному из
страхователей) делает страхование выгодным для каждого из них и,
более того, делает выгодным выбор действия y* ((7) при этом
i
обеспечивает выгодность страхования по сравнению с равновесны-
ми по Нэшу ожидаемыми выигрышами в отсутствии страхования).
Используя механизм (14), центр предлагает каждому страхова-
телю назначать значение соответствующей нагрузки исходя из его
собственных действий, предполагая, что остальные страхователи
также выбрали рекомендованные центром действия, что приводит к

<< Предыдущая

стр. 15
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>