<< Предыдущая

стр. 5
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

котором достигается минимум выражения (1), выделено жирной
линией (линия уровня функции (1), отмеченная на рисунке 3 пунк-
тирной линией, имеет тот же наклон, что и отрезок А1B12). Для
определенности в качестве решения выберем из отрезка A1C1 точку
С1 (см. рисунок 3), характеризуемую следующими значениями:
1
Система стимулирования реализует некоторое действие агента, если
выбор этого действия максимизирует его целевую функцию (в задачах
теории контрактов – ожидаемую полезность) [49-53].
2
Отметим, что наличие множества решений при нейтральных к риску
центре и агенте является характерной чертой задач теории контрак-
тов. В то же время, введение строго вогнутой функции полезности
агента (отражающей его несклонность к риску) приводит к единствен-
ности решения – см. ниже и [88, 94, 107].
28
(4) ?1 = [p c1 – (1 – p) c2] / (2p – 1),
(5) ?2 = [p c2 – (1 – p) c1] / (2p – 1).

?2
`
A1
с1 /(1-p)




C1
(c2 - с1)/(2p-1)

?1
B1
0 с1 /p
Рис. 3. Реализация центром действия y1 в примере 1
при нейтральном к риску страхователе

Легко проверить, что ожидаемые затраты центра на стимули-
рование1 E?(y1) по реализации действия y1 равны c1, то есть
(6) E?(y1) = с1.
Предположим теперь, что центр хочет реализовать действие y2.
Решая задачу, аналогичную (1)-(3), получаем (см. точку С2 на ри-
сунке 4):
(7) ?1 = [p c1 – (1 – p) c2] / (2p – 1),
(8) ?2 = [p c2 – (1 – p) c1] / (2p – 1),
(9) E?(y2) = с2.
На втором шаге центр выбирает какое из допустимых действий
ему выгоднее реализовать, то есть какое действие максимизирует
разность между доходом и ожидаемыми затратами центра на сти-
мулирование по его реализации. Таким образом, ожидаемое значе-
ние целевой функции центра при заключении оптимального кон-
тракта равно ?* = max {H1 – c1, H2 – c2}.


1
Минимальными затратами центра на стимулирование называется
решение задачи (1) [33, 49].
29
?2
`
A2
с2 /p



C2
(c2 - с1)/(2p-1)

?1
B2
0 с2 /(1-p)
Рис. 4. Реализация центром действия y2 в примере 1
при нейтральном к риску страхователе

Исследуем теперь эффекты страхования в рассматриваемой
модели. Пусть агент не склонен к риску, то есть оценивает неопре-
деленные величины в соответствии со строго возрастающей строго
вогнутой функцией полезности u(?). Так как от случайной величины
– результата деятельности агента – зависит его вознаграждение
(значение функции стимулирования), то предположим, что целевая
функция агента имеет вид:
(10) f(?(?), z, y) = u(?(z)) – c(y).
Обозначим1 v1 = u(?1), v2 = u(?2), u-1(?) – функция, обратная к
функции полезности агента. Пусть центр заинтересован в побужде-
нии АЭ к выбору действия y1. Задача стимулирования в рассматри-
ваемой модели примет вид:
(11) p u-1(v1) + (1 – p) u-1(v2) > min
(12) p v1 + (1 – p) v2 – c1 ? p v2 + (1 – p) v1 – c2 (IC)
(13) p v1 + (1 – p) v2 – c1 ? 0. (IR)
Заметим, что неравенства (12)-(13) совпадают с неравенствами
(2)-(3) с точностью до переобозначения переменных. На рисунке 5
заштрихована область допустимых значений переменных v1 и v2.

1
Подобная замена переменных, позволяющая линеаризовать систему
ограничений, используется в двушаговом методе решения задачи теории
контрактов [15, 93].
30
Линия уровня функции (11) (которая является выпуклой в силу
вогнутости функции полезности агента) обозначена пунктиром.

v2
`
A1
с1 /(1-p)




C1
(c2 - с1)/(2p-1)

v1
B1
0 с1 /p
Рис. 5. Реализация центром действия y1 в примере 1
при несклонном к риску агенте

В случае строго вогнутой функции полезности агента (при
этом, очевидно, целевая функция (11) строго выпукла) внутреннее
решение задачи условной оптимизации (11)-(13) единственно и
имеет следующий вид (в качестве примера используется функция
полезности u(t) = ? ln(1 + ? t), где ? и ? - положительные констан-
ты):
(14) v1 = c1 + (c1 – c2) (1 – p) / (2p – 1),
(15) v2 = c1 + (c2 – c1) p / (2p – 1).
Легко проверить, что в рассматриваемом случае при использо-
вании системы стимулирования (14)-(15) ожидаемая полезность
агента от выплат со стороны центра равна затратам агента по выбо-
ру первого действия, то есть
(16) Ev = c1.
Аналогично можно показать, что, если центр побуждает агента
выбирать второе действие, то ожидаемая полезность агента от
выплат со стороны центра в точности равна затратам агента по
выбору второго действия.
Из (14)-(15) видно, что в случае несклонного к риску агента,
побуждая его выбрать первое действие, центр «недоплачивает» в
31
случае реализации первого результата деятельности (v1 ? c1) и
«переплачивает» в случае реализации второго результата деятель-
ности (v2 ? c2), причем при предельном переходе к детерминиро-
ванному случаю1 (чему соответствует p > 1) имеет место: v1 > c1,
v 2 > c 2.

` v ua(?) un(?)
B
v2 D




E F
c1

v1 A C
?
0 ?1 E?a ?2
E?n
Рис. 6. Эффект страхования при реализация центром
действия y1 в примере 1


Графически эффект страхования в рассматриваемой модели
для случая реализации первого действия отражен на рисунке 6, на
котором изображены линейная (определенная с точностью до
аддитивной константы) функция полезности агента и его строго
вогнутая функция полезности. Так как отрезок AB всегда лежит
выше и/или левее отрезка CD, а ожидаемая полезность агента в
обоих случаях равна c1, то при несклонности агента к риску ожи-

1
Отметим, что все модели с неопределенностью должны удовлетворять
принципу соответствия [48, 51]: при «стремлении» неопределенности к
«нулю» (то есть при предельном переходе к соответствующей (в смысле,
оговоренном в [51]) детерминированной системе) все результаты и
оценки должны стремиться к соответствующим результатам и оцен-
кам, полученным для детерминированного случая. Например, выражения
(4)-(9) при p = 1 переходят в решения, оптимальные в детерминирован-
ном случае.
32
даемые выплаты E?a меньше, чем ожидаемые выплаты E?n, соот-
ветствующие нейтральному к риску агенту (см. точки E и F на
рисунке 6). •1
Завершив рассмотрение примера, иллюстрирующего эффекты
страхования в моделях теории контрактов (в вероятностных зада-
чах стимулирования несклонных к риску агентов), перейдем к
описанию задачи синтеза оптимального страхового контракта (в
терминах теории контрактов, следуя результатам, приведенным в
[35, 45]2).

Пусть целевая функция несклонного к риску страхователя
f(?(?), y, z) (активного элемента (АЭ)) представляет собой сумму
детерминированного дохода h(y), зависящего от его действия и
получаемого им за рассматриваемый промежуток времени, отчис-
лений в страховой фонд, пропорциональных доходу: ? h(y), где ? -
страховая ставка3, затрат c(z), зависящих от случайного результата
деятельности, и полезности u(?(z)) от страхового возмещения ?(z),
зависящего от результата деятельности страхователя, то есть
(17) f(?(?), y, z) = (1 - ?) h(y) – c(z) + u(?(z)).
Целевая функция нейтрального к риску страховщика
?(?(?), y, z) (центра) представляет собой разность между страховым
взносом и страховым возмещением:
(18) ?(?(?), y, z) = ? h(y) - ?(z).
Задача синтеза оптимального страхового контракта, описывае-
мого кортежем (?*, ?*(?), y*), заключается в поиске такой страховой
ставки и такой зависимости страхового возмещения от результатов
деятельности страхователя, которые максимизировали бы ожидае-
мое значение целевой функции страховщика при условии, что
страхователь в рамках заключенного страхового контракта выбира-
1
Символ «•» здесь и далее обозначает окончание примера, доказательст-
ва и т.д.
2
Данные работы могут быть отнесены как к теории активных систем,
так и в теории контрактов. В настоящем разделе они приводятся в
методических целях.
3
Используемое в описываемом классе механизмов страхования понимание
термина «страховая ставка» несколько отличается от традиционного
(обычно под страховой ставкой понимается отношение страхового
взноса к страховому возмещению или страховой сумме).
33
ет действие, максимизирующее ожидаемое значение его собствен-
ной целевой функции, то есть:
(19) E?(?(?), z, y*) > max ,
? ( ? ), ?

(20) y* = arg max Ef(?(?), z, y).
y?A
Отметим, что задача (19)-(20) и содержательно, и формально
близка к классической задаче теории контрактов1 и отличается
наличием дополнительного управляющего параметра – страховой
ставки. Поэтому для ее решения в случае конечных множеств
возможных действий страхователя и возможных результатов его
деятельности возможно использовать обобщение двушагового
метода2 [15, 93], заключающееся в следующем [35].
На первом шаге для фиксированного действия страхователя и
для фиксированной ставки ищется минимальная (в смысле, опреде-
ленном выше) система стимулирования, реализующая это действие.
На втором шаге ищется оптимальное значение ставки (действие


1
С точки зрения специфики страхования, в задаче (19)-(20) учитывается
активность страхователя, то есть его возможность влияния на резуль-
таты своей деятельности и, в том числе, на наступление страхового
случая. Следовательно, предлагая страховой контракт в виде
(?*, ?*(?), y*), центр не только перераспределяет риск, но и управляет
деятельностью страхователя, побуждая его, например, принимать
меры, направленные на снижение вероятности и неблагоприятных по-
следствий страхового случая, что соответствует учету такого свойст-
ва страхования как моральный риск (moral hazard), заключающийся в
возможном изменении поведения страхователя после заключения страхо-
вого контракта (см. качественное обсуждение и формальные модели в
[38, 40, 43, 72]). Если действия страхователя наблюдаются страховщи-
ком, то (19)-(20) превращается в детерминированную задачу стимулиро-
вания (решение которой хорошо известно и подробно описано в [10, 17]) с
параметром ?, определение оптимального значения (или, в более общем
случае - зависимости от действий страхователя) которого является
стандартной задачей оптимизации [49, 51].
2
Если и страховщик, и страхователь нейтральны к риску, то решение
задачи (19)-(20) неоднозначно (см. также пример 1 выше), что качест-
венно объясняется бессмысленностью перераспределения риска между
субъектами, одинаково к нему относящимися.
34
страхователя по прежнему фиксировано). И, наконец, на третьем
шаге ищется оптимальное реализуемое действие страхователя.
Недостатком данного метода является, во-первых, возмож-
ность его использования только для дискретных задач, во-вторых
высокая вычислительная сложность (если возможны k действий и l

<< Предыдущая

стр. 5
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>