<< Предыдущая

стр. 6
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

значений ставок, то необходимо решать k l задач выпуклого про-
граммирования), в-третьих, отсутствие возможности анализа зави-
симости оптимального страхового контракта от параметров модели
(см. также обсуждение преимуществ и недостатков методов реше-
ния задач теории контрактов в [15, 50, 51]).
В [35] доказана единственность решения, получаемого в ре-
зультате применения описанного выше подхода, а также рассмот-
рены возможности обобщения предложенной модели на случай
взаимодействия одного страховщика с несколькими независимыми
страхователями. В частности, для случая однородных (описывае-
мых одинаковыми параметрами) страхователей доказаны следую-
щие соответствующие практическому опыту свойства модели: с
ростом числа страхователей происходит снижение страховых ста-
вок (обеспечивающих фиксированную стабильность страхового
портфеля), а с ростом вероятности наступления страховых случаев
происходит увеличение страховых ставок.


1.5. Модели страхования в теории активных систем

Рассмотрим некоторые свойства механизмов страхования, воз-
никающие как следствие активного поведения страхователей (ак-
тивных элементов (АЭ)) и/или страховщика (центра) и изучаемые в
теории активных систем [18, 20, 47].
Основная цель страхования заключается в перераспределении
рисков - если у нескольких экономических объектов/субъектов
существует небольшой риск возникновения страхового случая, при
котором они несут существенные издержки, то им может оказаться
выгодным «объединить усилия» - создать фонд, используемый для
возмещения (как правило, частичного) потерь. В роли аккумулято-
ра могут выступать сами экономические объекты (взаимное стра-
хование, имеющее наименьшую коммерческую направленность –
см. простейшие механизмы в [18] и главу 2 настоящей работы),
35
государство (государственное страхование) или частные страховые
компании (коммерческое страхование).
Страховой случай является недетерминированной величиной,
и даже при известном распределении вероятностей, несмотря на
использование в моделях страхования ожидаемых значений, веро-
ятность разорения страховщика при работе с малым числом одно-
родных страхователей выше, чем при страховании многих. Это
очевидное свойство - увеличение стабильности страхового портфе-
ля с ростом числа страхователей у одного и того же страховщика,
лежит, фактически, в основе всего страхового дела.
В работах [18, 20] был получен вывод, совпадающий с выво-
дом, сделанным при анализе моделей теории контрактов (см. вы-
ше), и заключающийся в том, что при нейтральных к риску стра-
ховщике и страхователе страхование, как таковое, теряет смысл -
страхователь отдает в страховой фонд столько, сколько из него и
получает (при этом может нарушиться требование обязательной
полной компенсации ущерба и необходимо использовать другие
механизмы определения страхового взноса). Приведем иллюстри-
рующий это утверждение пример.
Пример 2. Рассмотрим набор I = {1, 2, ..., n} страхователей у
которых страховые случаи независимы и происходят с вероятно-
стями {pi}. Соответственно может произойти один страховой слу-
чай, два и т.д. до n.
Обозначим Hi - доход i-го страхователя в благоприятной си-
туации, доход равен нулю при страховом случае, ri - страховой
взнос, hi - страховое возмещение, pi - вероятность наступления
страхового случая, ci - затраты.
Тогда ожидаемое значение целевой функции i-го страхователя
имеет вид:
(1) f i = ( 1 ? pi )H i + pi hi ? ci ? ri , i ? I.
n
˜
?
Страховщик получает в свой фонд сумму ri = R и выпла-
i =1
n
чивает в среднем R = ? pi hi . Определим, каким требованиям
i =1
должен удовлетворять механизм страхования.

36
1. Система страхования не должна побуждать страхователя
«способствовать» наступлению страхового случая (например,
страховое возмещение в случае пожара не должно превышать
стоимости сгоревшего объекта и т.д.). Это значит, что в благопри-
ятном случае целевая функция страхователя должна принимать
большее значение, чем в страховом, то есть hi ? Hi, i ? I.
Введенное ограничение отражает свойство морального риска
(moral hazard), учет которого необходим при исследовании меха-
низмов страхования. Действительно, людям свойственно изменять
свое поведение, избавившись от риска (точнее - переложив его на
плечи других людей или организаций). Так, например, человек,
застраховавший свою машину от угона, станет менее внимателен к
ее безопасности; человек, застраховавший свою дачу от пожара,
вряд ли будет покупать новые огнетушители и т.д.
Второе свойство, характерное для механизмов страхования -
проблема некорректного отбора (adverse selection): потенциальные
страхователи могут обладать информацией, недоступной для стра-
ховщика. Так, например, страхование от несчастного случая гораз-
до более привлекательно для человека рассеянного и забывчивого,
чем для аккуратного и внимательного (см. также описание меха-
низмов страхования во второй главе настоящей работы).
2. Страхование должно иметь смысл для страхователя, то есть
(более слабое условие суммарного баланса приведено ниже):
ri ? pi hi , i ? I.
3. Потребуем, чтобы значения целевых функций страхователей
в любой ситуации были неотрицательны:
Hi – сi – ri ? 0, hi – сi – ri ? 0, i ? I.
4. Страхование должно иметь смысл для страховщика, то есть:
n n
? ri ? ? hi pi ? 0 .
(2)
i =1 i =1
Последнее условие означает, что ожидаемые страховые выпла-
ты не должны превосходить суммы страховых взносов. Это, одна-
ко, не гарантирует защищенности страховщика от разорения (см.
модели и показатели финансовой устойчивости страховых компа-
ний выше и в [34]). К четвертому ограничению можно добавить
условие того, что вероятность выплат, превосходящих страховой
фонд не должна превышать некоторой, наперед заданной, доста-
37
точно малой величины. Отметим также, что нулевое значение в
правой части неравенства соответствует взаимному страхованию
(нагрузки к нетто-ставкам минимальны - равны нулю). В случае
коммерческого страхования страховщик должен обеспечить сред-
ства для собственной деятельности, то есть получить ненулевой
ожидаемый доход.
Если страховщик, как это часто делается на практике, устанав-
ливает единые для всех страхователей условия страхования, то
можно ввести норматив ? ? 0 отчислений в страховой фонд:
ri = ? hi и норматив ? ? 0 страхового возмещения hi = ? Hi, i ? I.
Тогда ограничения пунктов 1 - 4 примут вид:

?? ? 1
?
? c
? ?1 ? i
? Hi
?
? ?c ?
?
(3) ?? ? 1 ? max ? i ? .
i ? Hi ?
?
?? ? ? ? min{p }
? i
i
?n n
?? ? H i ? ? ? pi hi
? i =1
? i =1

В [18] показано, что для рассматриваемого класса механизмов
область допустимых механизмов страхования, описываемая систе-
мой неравенств (3), может оказаться пуста. Кроме того, если взять,
например, двух страхователей с одинаковыми доходами, но с суще-
ственно разными рисками, то и взносы и возмещение будут одина-
ковы, что вряд ли справедливо по отношению к страхователю с
меньшим уровнем риска. Значит следует рассмотреть механизм, в
котором страховой взнос зависит и от риска. •
Рассмотренные выше модели объединяет одно свойство: в це-
левых функциях страхователя и страховщика используются ожи-
даемые значения, и неявно предполагая, что все участники актив-
ной системы (АС) (страховщик и страхователи) при выборе
стратегии своего поведения ориентируются именно на усредненные

38
значения. Откажемся от этого предположения и рассмотрим слу-
чай, когда страхователи несклонны к риску.
Опишем модель с одним страхователем и одним страховщиком
[18]. Пусть страхователь не склонен к риску и имеет строго моно-
тонно возрастающую непрерывно дифференцируемую вогнутую
функцию полезности u(?), а страховщик нейтрален к риску и имеет
линейную функцию полезности.
Предположим, что возможны два значения дохода x ? R1 стра-
хователя: 0 < x1 < x2, реализующиеся, соответственно, с вероятно-
стями (1 - p) и p (p ? [0; 1]), т.е. вероятность наступления страхово-
го случая (который заключается в получении страхователем
меньшего дохода) равна (1 - p). Ожидаемая полезность центра
имеет вид:
(4) Ф = r ? h (1 ? p ) ,
где r ? 0 - страховой взнос, h ? 0 - страховое возмещение. В случае
заключения страхового контракта страхователь либо получает
доход: ˜1 = x1 ? r + h - при наступлении страхового случая, либо
x
доход: ˜2 = x2 ? r - если страхового случая не происходит.
x
Ожидаемая полезность страхователя без заключения страхово-
го контракта равна: U = u ( x1 ) ? (1 ? p ) + u ( x2 ) ? p , а при заключении
страхового контракта: U = u (˜1 ) ? (1 ? p ) + u (˜2 ) ? p .
˜
x x
Будем считать, что центр заключает страховой контракт только
в том случае, если этот контракт обеспечивает ему некоторую
неотрицательную ожидаемую полезность H, то есть Ф = H > 0
(условие участия).
Под некоммерческим страхованием будем понимать страхова-
ние, при котором ожидаемая полезность страховщика в точности
равна нулю, то есть H = 0. Под коммерческим страхованием будем
понимать страхование, обеспечивающее страховщику строго поло-
жительное значение ожидаемой полезности.
Страховой контракт в рассматриваемой модели описывается
кортежем {h, r, H ; x, x, p, u(?)}, причем параметры x, x, p, u(?) явля-
ются параметрами собственно страхователя, а h, r и H (или, что
тоже самое ˜1 и ˜2 ) - параметры механизма страхования, выби-
x x
раемые страховщиком.

39
Под допустимым страховым контрактом понимают такой
набор неотрицательных чисел {h, r, H}, что выполняется Ф ? H и
страхование выгодно для страхователя, то есть допустимым явля-
ется страховой контракт, выгодный и для страховщика, и для стра-
хователя. Последнее условие означает, что в случае заключения
страхового контракта, предлагаемого страховщиком, ожидаемая
полезность страхователя будет не меньше, чем без участия в дан-
ном контракте (или в более общем случае, чем при участии в дру-
гом контракте).
Найдем ограничения на параметры страхового контракта, то
есть область возможных значений (h, H), при которых страхование
выгодно для страхователя. Подставляя условие Ф = H в целевую
функцию центра, выразим величину страхового взноса через стра-
ховое возмещение и ожидаемый доход страховщика. Получим
(5) ˜1 = x1 + ph ? H ,
x
(6) ˜2 = x2 ? (1 ? p ) h ? H .
x
Вычислим ожидаемые значения дохода страхователя:
Ex = (1 ? p )x1 + px2 - без заключения страхового контракта;
E˜ = (1 ? p )˜1 + p˜2 - при заключении страхового контракта.
x x x
Легко видеть, что E˜ = Ex ? H . Введем в рассмотрение сле-
x
дующие функции и величины (при ?x = x1 - x2 = 0, как и при h = ?x
задача вырождается):
[u(x2 ) ? u(x1 )]x + u(x1 )x2 ? u(x2 )x1 , x ? [x1 ,x 2 ] ;
U (x ) =
x2 ? x1
[u(˜2 ) ? u(˜1 )]x + u(˜1 )˜2 ? u(˜2 )˜1 , x ? [˜ ,˜ ] ;
U (x ) =
x x xx xx
˜
x1 x 2
˜ ?˜
x2 x1
{ }
x' ( p ) = max x ? R1 u ( x ) ? U (Ex ) = u ?1 (U ) , где u-1(?) - функция,
обратная к функции полезности страхователя. Так как Ex ? [x1; x2],
то в силу вогнутости функции полезности ? p ? [0; 1]
x’(p) ? [x1; Ex]. Содержательно, при x = Ex (соответственно, при
˜
x = E˜ ) U(x) (U (x)) - ожидаемая полезность страхователя от уча-
x
стия в лотерее между альтернативами x1 и x2 ( ˜1 и ˜2 ) с вероятно-
xx
стями (1 - p) и р, соответственно.

40
Величина ?u = u(x) - U(x) ? 0 может интерпретироваться как
премия за риск1, измеренная в единицах полезности и характери-
зующая минимальную величину дополнительных гарантированных
выплат страхователю, при которой он будет безразличен (с точки
зрения ожидаемой полезности) между участием в лотерее и безус-
ловным получением дохода, равного Ex. Положительность ?u
обусловлена неприятием риска страхователем. Для нейтрального к
риску страхователя премия за риск тождественно равна нулю. Если
же страхователь склонен к риску, то есть имеет выпуклую функцию
полезности, то, повторяя приведенные выше рассуждения, можно
сделать вывод, что премия за риск будет неположительна, то есть
такой страхователь готов заплатить за возможность участия в лоте-
рее (в общем случае дифференциальной мерой склонности к риску
может считаться, например, логарифмическая производная функ-
ции полезности). Поэтому x’(p) - действие, эквивалентное (с точки
зрения ожидаемой полезности) для страхователя участию в лотерее
(см. рисунок 7).
Условие выгодности для страхователя заключения страхового

<< Предыдущая

стр. 6
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>