<< Предыдущая

стр. 7
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

контракта имеет вид:
(7) U (E˜ ) ? U (Ex ) .
˜
x
Условие (7), совместно с Ф ? H, является критерием допусти-
мости страхового контракта. Однако, его использование при реше-
нии задачи синтеза оптимального страхового контракта достаточно
затруднительно - ограничения, накладываемые на параметры меха-
низма могут оказаться чрезвычайно громоздкими. Поэтому приве-
дем простые конструктивные и содержательно интерпретируемые
достаточные условия.
Из свойств вогнутых функций следует, что достаточным для
выполнения (7) в случае коммерческого страхования является
следующая система неравенств:
(8) x1 ? x' ( p ) ? ˜1 ? Ex ? ˜2 ;
x x



1
Подробное описание аксиоматики и результатов исследования функций
полезности, локальных (дифференциальных) и глобальных мер склонности
к риску, рисковых премий и других характеристик функций полезности,
приведено в работах [44, 71, 108].
41
а в случае некоммерческого страхования достаточно выполнения
следующего условия:
(9) x1 ? ˜1 ? Ex ? ˜2 ? x2 .
x x


u(x)
˜
U (x)




U(x)


x
˜
˜ Ex x2
0 x1 x2
x1 x’’
x’(p)


Рис. 7. Полезность и ожидаемая полезность страхователя

Рассмотрим для начала простейший случай - некоммерческое
страхование. Для некоммерческого страхования (при H = 0)
E˜ = Ex. Остальные условия системы неравенств (9) также выпол-
x
нены, причем для любого механизма (для исключения морального
риска, когда наступление страхового случая становится выгодным
для страхователя, и обеспечения ˜1 ? ˜2 , логично потребовать
x x
выполнения условия h ? ?x).
Выгодность для страхователя некоммерческого страхования
можно обосновать и не прибегая к системе неравенств (8)-(9).
Покажем, что имеет место (7). Действительно, независимо от вели-
чины страхового возмещения, в силу вогнутости функции u(?)
справедлива следующая оценка:
[u(x1 + ph ) ? u(x1 )](1 ? p ) + [u(x2 + h(1 ? p )) ? u(x2 )]p ?
? p (1 ? p )h[u?(x1 + ph ) ? u?(x2 ? h (1 ? p ))] ? 0.
Таким образом, мы пришли к следующему выводу: в рамках
рассматриваемой модели некоммерческое страхование всегда
42
выгодно для нейтрального или склонного к риску страхователя. Это
утверждение вполне соответствует интуитивному пониманию
страхования как перераспределения риска: при использовании
взаимовыгодного механизма некоммерческого страхования страхо-
ватель перекладывает на страховщика часть риска, что выгодно им
обоим, так как страхователь не склонен к риску, а страховщик
нейтрален к риску.
Определим наиболее выгодное для страхователя значение ве-
личины страхового возмещения. Из анализа зависимости U (h )
˜
следует, что, несмотря на то, что r = h (1 - p) и страховой взнос
растет с ростом страхового возмещения, оптимальное значение h
совпадает с максимально возможным - ?x. При этом
˜ = ˜ = E˜ = Ex и страхователь, фактически, исключает неопре-
x1 x2 x
деленность и получает ожидаемую полезность, равную u(Ex). Оче-
видно, что u(Ex) ? E u(x), то есть страхование действительно вы-
годно для страхователя, а страховщик безразличен между участием
и неучастием в страховом контракте.
Интересно отметить следующие свойства рассмотренного ме-
ханизма некоммерческого страхования: параметры механизма
(ограничения и оптимальные значения) не зависят от функции
полезности страхователя; параметры механизма (ограничения и
оптимальные значения) зависят только от ?x и не зависят от вели-
чин дохода по отдельности; страховое возмещение не превосходит
возможных потерь ?x от наступления страхового случая; при пре-
дельном переходе к детерминированной модели имеем: если
?x = 0, то h = r = 0, если p = 0, то h = r = ?x, если p = 1, то h = ?x,
r = 0 (но страховое возмещение выплачивается с нулевой вероятно-
стью); при фиксированном страховом возмещении величина стра-
хового взноса растет с ростом вероятности наступления страхового
случая; при фиксированной вероятности страхового случая величи-
на страхового взноса растет с ростом страхового возмещения; если
страхователь нейтрален к риску, то страхование (перераспределе-
ние риска с нейтральным к риску центром) не имеет смысла: его
ожидаемая полезность одинакова при любых значениях страхового
возмещения.
Рассмотрим теперь механизм коммерческого страхования.
Система неравенств (8) позволяет найти ограничения на величину
43
страхового возмещения в зависимости от ожидаемого дохода стра-
ховщика для случая коммерческого страхования. Последовательно
учитывая следующие условия: x1 ? ˜1 , ˜1 ? Ex , Ex ? ˜2 , получа-
xx x
ем:
(10) H ? p h,
(11) H ? p [h - ?x],
(12) H ? (1 - p)?[?x - h].
Из (11) и (12) следует, что выполнено
(13) h ? ?x,
что исключает моральный риск, причем всегда имеет место:
˜ < x2. Более того, к ограничениям (10)-(13) добавляется следую-
x2
щее условие: x1 ? x' ( p ) ? ˜1 (см. также (8)). В приведенном на
x
рисунке 2 частном случае последнее условие нарушено.
Если функция полезности страхователя линейна, то
x' ( p ) = Ex и (8) может иметь место только при x' ( p ) = ˜1 = Ex ,
x
что в силу (13) приводит к H ? 0, то есть в случае нейтрального к
риску страхователя коммерческое страхование невозможно (нельзя
получить прибыль от перераспределения риска).
В [18] показано, что назначение граничных значений парамет-
ров механизма оптимально для страховщика (в смысле максималь-
ной эффективности, понимаемой как значение его ожидаемой
полезности). Обоснование этого утверждения следующее.
Из определений ˜1 и ˜2 получаем:
x x
Ф = p ( x2 ? ˜2 ) ? (1 ? p )(˜1 ? x1 ) .
x x
Видно, что эффективность механизма ? монотонна по ˜1 и
x
˜ , причем, чем меньше значения этих параметров, тем выше
x2
эффективность. С другой стороны, минимально возможные их
значения определяются именно (8). Таким образом, достаточно
выбрать параметры механизма, удовлетворяющие следующим
соотношениям:
(14) ˜1 = x' ( p ) , ˜2 = Ex .
x x
Вспомним, что условия (8) являются достаточными. Механизм,
удовлетворяющий (14) является допустимым, но не гарантирует
достижения максимально возможной ожидаемой полезности стра-
ховщика на множестве всех допустимых (выгодных для страхова-
44
теля) механизмов. Содержательно, (14) соответствует тому, что
страхователю предлагается вместо исходной лотереи принять
участие в новой лотерее, в которой его полезность от минимально
возможного дохода не меньше, чем полезность от ожидаемого
дохода в исходной лотерее. Понятно, что для страхователя это
выгодно. Страховщик при этом получит неотрицательную ожидае-
мую полезность (строго большую нуля, если p ? 0, p ? 1, ?x ? 0). Но
эта оценка в общем случае улучшаема. То есть использование
условий типа (14) упрощает анализ и позволяет найти параметры
механизма без трудоемких вычислений, но за простоту приходится
«платить» возможной потерей эффективности.
Рассмотрим в качестве иллюстрации частный случай (см. более
общую модель во второй главе), в котором доход страхователя при
наступлении страхового случая равен нулю, а страховое возмеще-
ние при этом равно x2, то есть x1 = 0, h = x2. Обозначим страховую
ставку ?. Страховая ставка складывается из нетто ставки ?0 и на-
грузки ?, то есть ? = ?0 (1+?). Из принципа эквивалентности следу-
ет, что ?0 = 1 – p. Записывая условия выгодности страхового кон-
тракта для страхователя можно получить следующую оценку
максимального значения нагрузки ?max (очевидно, что страховщик
заинтересован в максимизации нагрузки):
px2 ? u ?1( pu( x 2 ))
(15) ?max = .
( 1 ? p ) x2
Легко видеть, что ?max возрастает по p и x2 и вогнута по x2. Со-
держательные интерпретации такой монотонности очевидны. Если
страхователь нейтрален к риску, то ?max = 0, то есть страховщик не
может получить прибыль от заключения страхового контракта со
страхователем, который также как и он сам относится к риску. Если
функция полезности страхователя строго вогнута, то значение ?max
строго положительно. Например, при u(x) = x из (15) следует,
что ?max = p.
Из проведенного анализа механизма страхования видно, что
выгодность перераспределения риска обусловлена различным к
нему отношением страхователя и страховщика. Несклонность к
риску страхователя достаточно понятна. Поэтому рассмотрим
почему страховщик может быть нейтрален к риску и каковы каче-

45
ственные отличия механизмов страхования в многоэлементных
системах от описанной выше одноэлементной модели.
Пусть активная система (АС) состоит из n страхователей (ин-
декс i = 1, n соответствует номеру страхователя). Суммарный
n
? ri , ожидаемое страховое воз-
страховой взнос элементов равен
i =1
n
? (1 ? pi ) hi . Задача синтеза оптимального страхового
мещение -
i =1
контракта заключается в поиске допустимого набора {ri, hi}, мак-
симизирующего ожидаемую полезность центра:

[( )]
)
n
Ф = ? pi x2i ? ˜2i ? (1 ? pi )(˜1i ? x1i ,
x x
i =1
где hi = ?xi ? ?˜i , ri = x2i ? ˜2i .
x x
Известно, что страхование выгодно при большом числе стра-
хователей. Это объясняется, во-первых, тем, что с ростом числа
страхователей вероятность разорения страховщика уменьшается
(при этом, помимо ожидаемой полезности, необходимо анализиро-
вать и вторые моменты, то есть целевые функции и ограничения
механизма могут отличаться от рассмотренных выше). Во-вторых,
даже если страховщик не склонен к риску, страхование может
оказаться выгодным для него. Поясним последнее утверждение.
Пусть имеются n одинаковых страхователей, а страховщик
имеет ту же функцию полезности (предположим, что функции
полезности строго вогнуты), что и страхователи. Если n = 1, то
страхование никому не выгодно - перераспределять риск между
агентами, одинаково к нему относящимися, бессмысленно. Из
рассмотренных выше моделей следует, что страхование выгодно
когда премии за риск страхователя и страховщика различаются. С
ростом n при строго вогнутой функции полезности страховщика
его премия за риск уменьшается, в то время, как у каждого из стра-
хователей остается постоянной (система событий - возможных
исходов при этом будет, естественно, более сложной, чем в одно-
элементном случае). Иными словами, перераспределение риска
между двумя агентами взаимовыгодно, если один из них имеет
«менее вогнутую» функцию полезности, чем другой.
46
Модели взаимного страхования, исследуемые в теории ак-
тивных систем, описаны в [18]. Рассмотрим кратко основные под-
ходы и результаты. Пусть имеются n страхователей. Результатом
деятельности каждого страхователя является случайная величина,
принимающая одно из двух значений, соответствующих благопри-
ятной ситуации и неблагоприятной ситуации (страховому случаю).
Вероятность наступления страхового случая у i-го страхователя
равна pi и известна «страховщику», которым может являться объе-
динение страхователей (в последнем случае получаем, что все
вероятности известны всем страхователям, участвующим во взаим-
ном страховании). Отметим, что рассматриваемая модель непо-
средственно обобщается на случай любого конечного числа воз-
можных результатов деятельности страхователей. Для простоты
пока положим, что страховой случай может наступить у одного и
только одного страхователя.
Пусть при наступлении страхового случая у i-го страхователя
требуется страховое возмещение в объеме hi, отражающее, напри-
мер, стоимость восстановительных работ и компенсационных
выплат третьим лицам в результате ущерба, нанесенного аварией
на предприятии, представленном данным страхователем.
Предположим, что величина hi известна только i-му страхова-
телю и неизвестна остальным. Тогда при разработке механизма
страхования придется использовать либо некоторые оценки вели-
чин {hi}, восстанавливаемые по косвенной информации (например,
в результате проведения экологической экспертизы, или по имею-
щимся статистическим данным), либо оценки {si}, сообщаемые
страхователями. Если требуется обеспечить полное гарантирован-
ное покрытие возможного ущерба, то для этого необходимо иметь
резерв R’ = max {hi}. Но так как {hi} неизвестны, то будем счи-
i

<< Предыдущая

стр. 7
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>