<< Предыдущая

стр. 8
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

тать, что резерв (страховой фонд) определяется как R’ = max {si}.
i
Рассмотрим целевые функции страхователей. Страхователь с
номером i получает доход Hi, выплачивает страховой взнос ri(s), где
s = (s1, ... , sn) – вектор сообщений страхователей. В благоприятной
ситуации страхователь несет затраты Ci, в неблагоприятной -
(Ci + hi). В неблагоприятной ситуации страхователь получает стра-
ховое возмещение si. Таким образом ожидаемое значение целевой
функции i-го страхователя определяется выражением:
47
(16) fi = Hi – ri(s) – Ci + pi (si – hi), i ? I = {1, 2, ..., n}.
Пусть страховщик использует следующую процедуру для оп-
ределения страхового взноса:
( pi si )
(17) ri ( s ) = R, i ? I,
n
?( s j p j )
j =1
то есть каждый страхователь делает в страховой фонд взнос, про-
n
? ri ( s ) = R ,
порциональный своей заявке (очевидно, ?s ?i?I
i =1
ri(s) - возрастает по si). Легко видеть, что максимум выражения
(pi si - ri(s)) по si при фиксированной обстановке s-i = (s1, s2, ... , si-1,
si+1, ... , sn) достигается при ˜i = max{ s j } . Очевидно, сообщение
s
j ?i
достоверной информации в общем случае не будет равновесием
Нэша. Более того, равновесной оказывается каждая ситуация игры,
в которой все исполнители сообщают одинаковые заявки.
Легко видеть, что вместо (17) достаточно взять ri(s) = pi si. То-
гда целевая функция страхователя не будет зависеть от s и в силу
гипотезы благожелательности он сообщит si = ri, i ? I. Итак, каж-
дый страхователь вносит в страховой фонд (фонд взаимного стра-
хования) взнос в точности равный ожидаемой нехватке средств. Но
при этом сумма взносов может оказаться меньше требуемых вы-
плат, то есть не исключена ситуация, в которой найдется страхова-
n
телем с номером j, таким, что h j > ? pi hi . Такую возможность
i =1
надо учитывать, и использовать ожидаемые значения следует очень
аккуратно.
Перейдем теперь к рассмотрению свойств механизмов страхо-
вания, обусловленных активностью их участников. Один аспект
активности мы уже учли: страховщик и страхователь не станут
заключать страховой контракт, если он не выгоден хотя бы одному
из них.
В [18] перечислены перспективные направления исследований
механизмов управления, которые в подобных ситуациях может
использовать страховщик.

48
Если центру известна нижняя оценка вероятности наступления
страхового случая, то оптимальный страховой контракт может
рассчитываться на основании этой оценки, что будет соответство-
вать использованию страховщиком принципа максимального га-
рантированного результата. В частности, в упомянутой работе
отмечалось, что возможно использование так называемых компен-
сационных процедур. Так как страхователю выгодно занижать
оценку вероятности наступления страхового случая, то «встраивая»
в механизм процедуру, снижающую доход страхователя от заниже-
ния оценки (то есть, компенсируя эффект от занижения) центр
может добиться сообщения страхователем, если не достоверной
информации, то, по крайней мере, более точной информации. В
случае, когда число страхователей велико и все они работают в
одинаковых условиях, можно устроить многоканальный конкурс
страхователей [13], результаты которого будут определяться сооб-
щенными страхователями оценками вероятностей наступления
страхового случая - сообщивший более «точную» (максимальную,
минимальную и т.д.) оценку получает льготные условия страхова-
ния. Если условия деятельности различных страхователей отлича-
ются, но все они имеют информацию друг о друге, то за счет сооб-
щения этой информации при использовании механизмов теории
реализуемости [16, 49, 51] существующая неопределенность может
быть уменьшена, а эффективность страхования - повышена.
В заключение настоящего раздела сделаем следующее замеча-
ние. Основные «технические» трудности анализа механизмов
страхования возникают из-за нелинейности функции полезности
страхователя. В то же время, именно эта нелинейность, отражаю-
щая его несклонность к риску, делает страхование возможным и
взаимовыгодным для страхователя и страховщика. Поэтому для
упрощения моделей рассмотрим возможные способы учета не-
склонности страхователя к риску, не использующие в явном виде
функции полезности. Для этого введем в его целевую функцию
рисковую премию, отражающую ценность страхового возмещения,
получаемого при наступлении страхового случая.
Пусть g – составляющая целевой функции страхователя, неза-
висящая от случайных событий, Q – его дополнительные затраты,
которые он несет при наступлении страхового случая (в экологиче-
ском страховании в качестве Q могут выступать затраты на ликви-
49
дацию последствий ЧС, проведение очистных мероприятий, ком-
пенсации третьим лицам, пострадавшим в результате загрязнения и
т.д.), ?h(h) – «ценность» страхового возмещения. Тогда ожидаемое
значение целевой функции страхователя может быть записано как:
(18) Ef = g - r + p (?h(h) – Q),
где p – вероятность наступления страхового случая. Заключение
страхового контракта будет выгодно для страхователя, если
(19) p ?h(h) ? r.
Из принципа эквивалентности следует, что нагрузка к нетто-
ставке есть (?h(h) – h), следовательно, страховой контракт будет
выгоден страховщику, если
(20) ?h(h) ? h.
Например, при ?h(h) = h e?, где ? ? 0 – константа, отражающая
несклонность страхователя к риску (нейтральности к риску соот-
ветствует равенство этой константы нулю), получаем, что при
малых ? из формулы Тейлора следует, что ?h(h) ? h + ? h, то есть ?
может интерпретироваться как максимальная нагрузка к нетто-
ставке. В дальнейшем мы будем использовать более простое выра-
жение, а именно будем считать, что
(21) ?h(h) = h (1 + ?).
Рассмотрев проблемы страхования и проведя обзор моделей
механизмов страхования, исследуемых в теории контрактов и
теории активных систем, перейдем к изложению оригинальных
результатов изучения механизмов страхования.




50
Глава 2. Модели и механизмы страхования

В данной главе рассматриваются теоретико-игровые и оптими-
зационные модели механизмов страхования, основывающиеся на
методологии теории активных систем [6, 10-21, 45-53] и теории
игр [27, 90, 104, 106]; содержательные интерпретации приводятся
на примере экологического страхования. В частности, в разделе 2.1
описывается модель экологического страхования и формулируется
задача управления, в разделе 2.2 исследуются механизмы опреде-
ления страховых тарифов, в разделе 2.3 – модели взаимного стра-
хования, в разделе 2.4 – механизмы смешанного страхования, в
разделе 2.5 изучается предупредительная и мотивационная роль
страхования, в разделе 2.6 обсуждается специфика страхования в
многоэлементных системах (то есть специфика взаимодействия
страховщика с несколькими страхователями, действия и результаты
деятельности которых взаимосвязаны). Активность страховщика и
страхователей учитывается следующим образом. Во-первых, как
отмечалось выше, «в первом приближении» учет активности про-
изводится при анализе выгодности условий страхового контракта
для всех его участников (условия участия). Во-вторых, в разделах
2.2, 2.3 и 2.4 предполагается, что имеет место неполная информи-
рованность страховщика о параметрах страхователей и учитывается
возможность манипулирования информацией со стороны послед-
них, то есть решаются задачи синтеза неманипулируемых механиз-
мов планирования. В разделах 2.5 и 2.6 предполагается, что страхо-
ватели обладают свободой выбора своих состояний (и
целенаправленностью поведения), которые влияют на вероятности
наступления страховых случаев и другие параметры модели, то
есть, помимо задач перераспределения риска, решаются задачи
синтеза согласованных механизмов стимулирования.




51
2.1. Модели страхования и перестрахования

Рассмотрим следующую модель страхования1. Пусть ожидае-
мое значение целевой функции страхователя имеет вид (см. описа-
ние отношения к риску в разделе 1.5):
(1) Ef = H – c – v – r + p [(1 + ?) h – Q],
где H – доход от хозяйственной деятельности страхователя, c – его
затраты на эту деятельность, v – затраты на проведение предупре-
дительных мероприятий, r – страховой взнос, h – страховое возме-
щение, p – вероятность наступления страхового случая, ? - коэффи-
циент, отражающий отношение страхователя к риску, Q – потери
при наступлении страхового случая.
Пусть ожидаемое значение целевой функции страховщика
имеет вид: E? = r – p h, а страховой тариф определяется как сумма
нетто-ставки (равной в силу принципа эквивалентности – см. выше
– вероятности наступления страхового случая p) и нагрузки к нет-
то-ставке, которую мы обозначим ?0 (напомним, что нагрузка к
нетто-ставке включает рисковую надбавку, коммерческую надбав-
ку и предупредительную надбавку – см. главу 1), то есть
(2) r = (p + ?0) h.
Условие выгодности страхования для страхователя имеет вид:
(3) r ? p (1 + ?) h,
для страховщика:
(4) r ? p h,
условие «морального риска» (отражающее непобуждение страхова-
теля к заинтересованности в наступлении страхового случая):
(5) (1 + ?) h ? Q.
Объединяя условия (2)-(4), получим
(6) 0 ? ?0 ? p ?.
Содержательно, условие (6) означает, что коммерческая эф-
фективность страхования с точки зрения страховщика ограничена
отношением страхователя к риску. Чем выше вероятность наступ-


1
Рассматриваемая в настоящем разделе модель страхования является
базовой для всей второй главы – в последующих разделах изучаются
модификации (усложнения) этой модели, учитывающие те или иные
характерные свойства исследуемых классов механизмов страхования.
52
ления страхового случая и чем более страхователь несклонен к
риску, тем более выгодно страхование для страховщика.
Пусть имеет место полная компенсация ущерба, то есть (5) вы-
полняется как равенство. Тогда справедливо:
p + ?0
Q,
(7) r =
1+?
Q
(8) h = .
1+?
Из (7)-(8) следует, что величина страхового взноса растет с
увеличением вероятности наступления страхового случая, потерь и
нагрузки к нетто-ставке. В то же время, размер страхового возме-
щения растет с ростом потерь, убывает с ростом коэффициента ? и
не зависит от вероятности наступления страхового случая и нагруз-
ки к нетто-ставке (что обусловлено введенным выше предположе-
нием о полной компенсации ущерба).
Подставляя выражения (7) и (8) в целевые функции страхова-
теля и страховщика и обозначая g = H – c – v, получим:
p + ?0
Q,
(9) Ef = g –
1+?
?0
Q.
(10) E? =
1+?
Из (9)-(10) видно, что полезность страхователя убывает с уве-
личением потерь, вероятности наступления страхового случая и
нагрузки к нетто-ставке, а ожидаемая полезность страховщика не
зависит от вероятности наступления страхового случая (что объяс-
няется тем, что он несклонен к риску) и возрастает с увеличением
потерь и нагрузки к нетто-ставке.
Выгодность страхования для страховщика оценивается вели-
чиной E? (см. выражение (10)), так как в отсутствии страхового
контракта его полезность равна нулю. Выгодность страхования для
страхователя может быть оценена разностью ?Ef между его полез-
ностью в случае заключения страхового контракта и в случае его
отсутствия:
p? ? ? 0
(11) ?Ef = Q .
1+?
53
Сумма (E? + ?Ef), которую мы обозначим ? может рассмат-
риваться как «мера» взаимовыгодности страхового контракта:
p?
(12) ? = Q .
1+?
В предельном случае – при нейтральном к риску страхователе
(чему соответствует ? = 0) из (4) следует, что страховой взнос
равен ожидаемому страховому возмещению, из (6) следует, что
?0 = 0 (коммерческое страхование невыгодно1, то есть ? = 0 и
E? = 0 – см. выражения (10) и (12), а ожидаемая полезность стра-
хователя (9) одинакова как при заключении страхового контракта,
так и при его незаключении).
Рассмотрев страховой контракт между страховщиком и одним
страхователем, перейдем к описанию моделей взаимодействия
между одним страховщиком и несколькими страхователями, харак-
теризуемыми отношением к риску {?i} и потерями {Qi},
i ? I = {1, 2, ..., n}, где n – число страхователей.
Предположим, что страховщик фиксирует нагрузку ?0 к нетто-
ставке. Тогда при различных вероятностях наступления страхового
случая страховые тарифы ?0i для различных страхователей также
будут различны: ?0i = pi + ?0. По аналогии с одноэлементной сис-
темой имеем:
pi + ? 0 p ? ? ?0
Qi
, ?Efi = Qi i i , i ? I.
Qi , hi =
(13) ri =
1 + ?i 1 + ?i 1 + ?i
Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в сле-
дующем смысле:

<< Предыдущая

стр. 8
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>