<< Предыдущая

стр. 9
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(14) p1 ?1 ? p2 ?2 ? ... ? pn ?n,
тогда из (10), (13) и (14) следует, что ожидаемая полезность стра-
ховщика равна
n
Qi
?
(15) E?(?0) = ?0 ,
1 + ?i
i = m( ? 0 )
где
(16) m(?0) = min {i ? I | pi ?i ? ?0}.
1
Невыгодность понимается в том смысле, что ни один из участников не
получает при заключении страхового контракта строго большей полез-
ности, чем при его незаключении.
54
Мерой взаимовыгодности страхового контракта будет
pi? i Qi
n
?
(17) ? = .
1 + ?i
i = m( ? 0 )
Содержательно, при заданной нагрузке ?0 к нетто-ставке в
страховании будут участвовать те агенты, для которых величина
?i pi превышает эту нагрузку, то есть те агенты, у которых вероят-
ность наступления страхового случая и/или степень несклонности к
риску велика относительно нагрузки.
Задачу
(18) E?(?0) > max
? 0 ?0
определения нагрузки к нетто-ставке, которая максимизирует
ожидаемую полезность страховщика при условии добровольного
участия в страховании страхователей, назовем задачей определения
нагрузки к нетто-ставке.
Предположим, что страховщик фиксирует единый для всех
страхователей страховой тариф ?0. При известных вероятностях
наступления страхового случая (равных в силу принципа эквива-
лентности нетто-ставкам) можно вычислить «нагрузки к нетто-
ставкам»: ?0i = ?0 – pi. По аналогии с (13), получаем:
p ? + pi ? ? 0
Qi Qi
(19) ri = ? 0 , ?Efi = Qi i i , i ? I.
, hi =
1 + ?i 1 + ?i 1 + ?i
Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в сле-
дующем смысле:
(20) p1 (1 + ?1) ? p2 (1 + ?2) ? ... ? pn (1 + ?n),
тогда из (19) и (20) следует, что ожидаемая полезность страховщи-
ка равна
n
Qi
?
(21) E?(?0) = (?0 – pi),
1 + ?i
i = m( ? 0 )
где
(22) m(?0) = min {i ? I | pi (1 + ?i) ? ?0}.
Мерой взаимовыгодности страхового контракта остается вели-
чина ?, определяемая выражением (17), в которой нижний индекс
суммирования равен m(?0).


55
Содержательно, при заданном едином страховом тарифе ?0 в
страховании будут участвовать те агенты, для которых величина
(?i + 1) pi превышает этот тариф, то есть те агенты, у которых веро-
ятность наступления страхового случая и/или степень несклонно-
сти к риску велика относительно тарифа.
Задачу
(23) E?(?0) > max
? 0 ?0
определения страхового тарифа, который максимизирует ожидае-
мую полезность страховщика при условии добровольного участия в
страховании страхователей, назовем задачей определения страхо-
вого тарифа.
Выбор страховщиком принципа страхования – с единым тари-
фом или с единой нагрузкой – будем называть стратегией страхо-
вания в рассматриваемой модели.
Отметим, что величина ?, определяемая выражениями (15) или
(17), может интерпретироваться как величина «суммарной прибы-
ли», которую делят между собой стороны, участвующие в контрак-
те. Интересно, что абсолютная величина этой суммарной прибыли
не зависит от тарифов и нагрузок, а определяется только парамет-
рами страхователя. Поэтому задачи определения страховых тари-
фов и нагрузок могут рассматриваться как задачи распределения
прибыли [12, 43] (см. также раздел 2.3.). Нагрузка ?0 ? [0; p ?] или
тариф ?0 ? [0; p (1 + ?)] при этом есть ни что иное, как «доля» этой
прибыли, получаемая страховщиком, то есть
?0
p? ? ? 0
p?
?= Q = ?Ef(?0) + E?(?0) = Q Q,
+
1+? 1+? 1+?
? ?p
p + p? ? ? 0
p?
?= Q = ?Ef(?0) + E?(?0) = Q +0 Q.
1+? 1+? 1+?
Как следует из результатов, приведенных в [33] (см. описание
области компромисса и интерпретации процесса заключения тру-
дового контракта как торга между центром и агентом1), выигрыши
страховщика и страхователя существенно зависят от последова-

1
Общие результаты исследования влияния информированности и после-
довательности ходов на выигрыши игроков получены в теории иерархиче-
ских игр [27].
56
тельности их функционирования в процессе заключения страхового
контракта. Поясним последнее утверждение. Рассмотрим два «пре-
дельных» случая, соответствующих различной последовательности
выбора стратегий при заключении страхового контракта между
страховщиком и одним страхователем, параметры которого досто-
верно известны страховщику. В первом случае первый «ход» дела-
ет страховщик, назначая ?0 = p ? (или ?0 = (1 + ?) p). Тем самым он
забирает всю прибыль ? себе, вынуждая страхователя согласиться с
нулевой «прибылью». Во втором случае первый ход делает страхо-
ватель, сообщая страховщику, что он готов заключить страховой
контракт только при условии, что нагрузка к нетто ставке будет
равна нулю (страховой тариф равен вероятности наступления
страхового случая). При этом уже страхователь забирает всю при-
быль себе, вынуждая страховщика согласиться с нулевой «прибы-
лью». Все случаи (в том числе – все промежуточные между рас-
смотренными) являются Парето-эффективными по критериям
выигрыша страховщика и страхователя, поэтому заключение стра-
хового контракта может рассматриваться как процесс торгов или
процесс заключения сделок [12, 43, 104].
Обсудив существенность порядка функционирования, вернем-
ся к рассмотрению задач (18) и (23). Алгоритм их решения тривиа-
лен: заметим, что страховщику достаточно ограничиться рассмот-
рением n возможных значений нагрузки (соответственно – тарифа),
равных pi ?i (соответственно - pi (1 + ?i)), i ? I, следовательно, ему
достаточно сравнить n значений своего ожидаемого дохода и вы-
брать управляющий параметр, при котором это значение макси-
мально (в силу отмеченной выше дискретности задачи такой пара-
метр всегда существует). Следующий пример иллюстрирует
использование описанного алгоритма решения (таблицы 1, 2 и 3
реализованы в Excel) для пяти страхователей.
Пример 3. Параметры страхователей и ожидаемые значения
целевой функции центра при различных нагрузках и тарифах пере-
числены в таблице 1. Предполагается, что все страхователи одина-
ково относятся к риску и характеризуются одинаковыми вероятно-
стями наступления страхового случая1, но различными величинами

1
Понятно, что при этом в соответствии с выражениями (18) и (22)
оптимальным для страховщика является участие в страховании всех
57
потерь. Максимумы ожидаемой полезности центра - E?*(?0) и
E?*(?0) – при решении соответственно задач (18) и (23) совпадают
и равны 0.5 (соответствующие ячейки затенены).

?i pi ?i pi(?i+1) Qi E?(?0) E?(?0) E?*(?0) E?*(?0)
i pi
1 0,10 0,50 0,05 0,15 1,00 0,50 0,50
2 0,10 0,50 0,05 0,15 2,00 0,47 0,47
0,40 0,50 0,50
3 0,10 0,50 0,05 0,15 3,00 0,40
4 0,10 0,50 0,05 0,15 4,00 0,30 0,30
5 0,10 0,50 0,05 0,15 5,00 0,17 0,17
Таблица 1. Пример решения задач (18) и (23)

В таблице 2 рассмотрена ситуация, в которой вероятности на-
ступления страхового случая у различных страхователей различны.
При этом оказывается, что значение выражения (18) не меньше
значения выражения (23), причем при некоторых тарифах ожидае-
мая полезность страховщика отрицательна. Из таблицы 2 также
видно, что в общем случае оптимальное число страхователей зави-
сит от стратегии центра – при одном и том же наборе потенциаль-
ных страхователей при назначении единых страховых тарифов это
множество не шире, чем при назначении единой нагрузки к нетто-
ставке.

?i pi ?i pi(?i+1) Qi E?(?0) E?(?0) E?*(?0) E?*(?0)
i pi
1 0,05 0,50 0,03 0,08 1,00 0,25 -0,56
2 0,10 0,50 0,05 0,15 2,00 0,47 0,12
0,29 0,48 0,35
3 0,12 0,50 0,06 0,18 3,00 0,48
4 0,14 0,50 0,07 0,21 4,00 0,42 0,35
5 0,16 0,50 0,08 0,24 5,00 0,27 0,27
Таблица 2. Пример решения задач (18) и (23)

В таблице 3 рассмотрена ситуация, в которой последователь-
ности pi ?i и pi (1+ ?i) различаются. При этом также как и в случае,


потенциальных страхователей. Различие эффективностей в строках
таблицы 1 объясняется последовательным включением страхователей в
число участников страхового взаимодействия.
58
соответствующем таблице 2, оптимальное число страхователей и
максимальный ожидаемый выигрыш страховщика зависят от стра-
тегии последнего. •

?i pi ?i pi(?i+1) Qi E?(?0) E?(?0) E?*(?0) E?*(?0)
i pi
1 0,05 0,70 0,04 0,09 1,00 0,28 -0,43
2 0,10 0,80 0,08 0,18 2,00 0,60 0,26
0,40 0,67 0,50
3 0,11 0,95 0,10 0,21 3,00 0,67
4 0,13 0,70 0,09 0,22 4,00 0,44 0,27
5 0,20 1,00 0,20 0,40 5,00 0,50 0,50
Таблица 3. Пример решения задач (18) и (23)

Сравним эффективности страхования (понимаемые как мак-
симальные значения целевой функции страховщика) при использо-
вании им различных стратегий.
Утверждение 1. Если страхователи одинаково относятся к рис-
ку, то эффективность страхования при использовании единого
страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагруз-
ки к нетто-ставке.
Доказательство утверждения 1. В соответствии с (15), (21) и
предположении об одинаковом отношении страхователей к риску,
ожидаемые выигрыши страховщика можно записать в виде:
(24) E?(?0) = ? / (1 + ?) max {pn Qn; pn-1 (Qn-1 + Qn); p1 (Q1 + ... Qn)},
pn ?1 ? pn
(25) E?(?0) = ? / (1 + ?) max {pn Qn; pn-1 (Qn-1 + Qn) + Qn;
?
p ? p2 p ? pn
p1 (Q1 + ... Qn) + 1 Q2 + ...+ 1 Qn}.
? ?
Сравнивая с учетом (14) и (20) попарно соответствующие вы-
ражения под максимумом в (24) и (25), получаем, что
E?(?0) ? E?(?0). Равенство достигается, в частности, при одном
или нескольких одинаковых страхователях. •
С содержательной точки зрения результат утверждения 1 объ-
ясняется тем, что использование единого для всех страхователей
страхового тарифа «сглаживает» их индивидуальные различия и с
учетом принципа эквивалентности нагрузка становится зависящей
от конкретного страхователя (то есть от соответствующей вероят-
59
ности наступления страхового случая), в то время как при назначе-
нии единой нагрузки индивидуальные характеристики страховате-
лей учитываются «автоматически» в силу того же принципа экви-
валентности и нейтральности страховщика к риску.
В заключение настоящего раздела обсудим возможность ис-
пользования предложенной модели экологического страхования
при описании моделей перестрахования.
Схема перестрахования изображена на рисунке 8: имеется
трехуровневая система, которая может рассматриваться как сово-
купность двух двухуровневых систем, имеющих один общий эле-
мент.


Страховщик
Перестраховщик




Страхователь
Перестрахователь
= Страховщик




Страхователь
Страхователь



Рис. 8. Структура взаимодействия участников перестрахования

В «нижней» подсистеме участник нижнего уровня является
страхователем, участник верхнего уровня - страховщиком. В
«верхней» подсистеме участник нижнего уровня (который был в

<< Предыдущая

стр. 9
(из 17 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>