<< Предыдущая

стр. 6
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где Q = При этом должно, очевидно, выполняться условие
i

Si* ? 0 или
qi 1
< , i = 1, n . (3.4)
Q n ?1
Если это условие нарушается, то соответствующие фирмы выбывают
из состава претендентов. С новыми значениями Q и n вычисления
следует повторить. Если при этом появляются новые фирмы, для
которых нарушается (3.4), то эти фирмы также выбывают, и т.д. За
конечное число шагов будет получена ситуация равновесия, такая,
что для всех фирм выполняется (3.4). Пусть фирмы упорядочены по
возрастанию qi, то есть q1 ? q2 ? ... ? qn. Для определения числа фирм -
претендентов на участие в социальных программах развития региона
необходимо найти максимальное k, такое что
k
Qk
, где Q k = ? q i , i = 1, k .
qi <
k ?1 1

Пример. Значения ai, li и qi приведены в таблице.
1 2 3 4 5 6
0,9 0,6 0,1 0,12 0,75 0,1
ai
1 2 3 2,2 0,5 1,5
li


36
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
qi
Нетрудно определить, что максимальное k = 3. Действительно:
q1 + q 2
= 0,3 > q 2 = 0,2 ,
1
в то же время
q1 + q 2 + q 3
= 0,3 = q 3 = 0,3 .
2
Таким образом, претендентами на участие в программе по схеме
смешанного финансирования являются первые две фирмы. Если
bi = li для всех i, то суммарный эффект от программы составляет
( n ? 1) R 1
L(S? ) = = 3 ?R,
Q3 3

S? = 2 7 R .
а суммарное финансирование Таким образом,
9

финансирование программы в 2 7 раза превышает бюджетные
9

средства. Заявки фирм в равновесии
2 5
S 1? = 2 , S2 ? = 2 .
9 9
В рассмотренном примере мы взяли li = bi, i = 1, n . Поставим

задачу определить механизм прямых приоритетов, обеспечивающий
максимум социального эффекта. Необходимо определить приоритеты
{li} таким образом, чтобы суммарный эффект был максимальным.
Задача сводится к определению {li ? 0}, таких что
b i ( n ? 1) R ? ( n ? 1)q i ?
n n

? =?
b i S? ?1 ? Q?
(3.5)
i
l iQ ? ?
i =1 i =1

принимает максимальное значение. Заменой li = (1-ai)/qi, qi/Q = ?i,
pi = (1-ai)/bi приведем (3.5) к виду




37
? 1)? i
n
i (n
[1 ? ( n ? 1)? i ] .
Ф=? (3.6)
pi
i =1

n

? ? i = 1,
Необходимо определить {?i ? 0}, при которых (3.6)
i =1

максимален. Применяя метод множителей Лагранжа, получим
1 + ( n ? 2 )? i pi
l0 = , ?i = , i = 1, n . (3.7)
?pj
2( n ? 1)
i

j

Соответственно
1? ai
l0 = , i = 1, n
i
?i0


(с точностью до постоянного множителя). Интересно отметить, что в
случае двух фирм оптимальные приоритеты не зависят от
коэффициентов при функциях социального эффекта b1 и b2.
Пример. Определим оптимальные приоритеты для задачи
предыдущего примера. Для случая двух фирм имеем
1
?1 = ? 0 =
0
2
2
и, подставляя в (3.6), получаем
p1 = 0,1; p2 = 0,2; ?1 = 1/3; ?2 = 2/3;
? ?1 0?
?0
( ) ( )
0
3
Ф=? 1 ? ?1 + 1? ?2 ? = 3 ,
0 2

? p1 ?
p2 4

31/3.
что весомо больше чем Увеличилось и суммарное
финансирование до 31/8.
При оптимальных приоритетах может измениться число фирм -
претендентов на участие в программе. Поэтому необходимо
проверить варианты с тремя фирмами и более. Рассмотрим вариант с
тремя фирмами. Имеем:


38
p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; ?1 = 1/6; ?2 = 1/3; ?3 = 1/2;
1 + ?1 1 + ?2 1 1 + ?3 3
7
?= = ; ?2 = = ; ?3 = =.
0 0 0
1
4 24 4 3 4 8
Поскольку все {?i0} меньше 1/2, то условия (3.4) выполнены.
Подставляя в (3.6), получаем:
??1 0?
?0 ?0
( ) ( ) ( )
0
1
Ф = 2? 1 ? 2? 1 + 1 ? 2? 2 + 1 ? 2? 3 ? = 4 .
0 0
2 3

? p1 ?
p2 p3 6

Как видим, эффективность механизма смешанного финансирования
увеличилась. Рассмотрим случай четырех фирм. Имеем:
p1 = ?1 = 0,1; p2 = ?2 = 0,2; p3 = ?3 = 0,3; p4 = ?4 = 0,4;
1 + 2?1 1 + 2? 2 7 4
?1 = = 0,2; ? 0 = = ; ? 0 = ; ? 0 = 0,3 .
0
2 3 4
6 6 30 15
Условия (3.4) по-прежнему выполняются. Суммарный социальный
эффект составит:
?0
( )
Ф 4
= 3? i 1 ? 3? 0 =
i
R pi
i =1

? 0,2 ? 0,4 7 ? 0,3 ? 0,5 8 ? 5 1
+ + + 0,1 ? 0,3 ? 2,5? = 4 >4 .
3?
? 0,1 ?
30 45 24 6
Поскольку социальный эффект опять увеличился, необходимо
проверить случай n = 5. Имеем:
p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; p4 = 0,4; p5 = 0,5;
?1 = 1/15; ?2 = 2/15; ?3 = 1/5; ?1 = 4/15; ?2 = 1/3;
1 + 3? 1 6 7 8 9 10
?1 = = ; ?0 = ; ? 0 = ; ? 0 = ; ?5 =
0 0
.
2 3 4
8 40 40 40 40 40
Условие не выполняется для пятой фирмы. Поэтому
(3.4)
оптимальное решение включает четыре фирмы претендента с
45/24.
суммарным социальным эффектом За счет выбора
оптимального механизма смешанного финансирования удалось


39
увеличить социальный эффект примерно на 25% при том же объеме
бюджетного финансирования.
Рассмотрим теперь нелинейный случай. Примем, что эффект от
реализации проектов для i-ой фирмы составляет
1 1? ?
? i (S i ) = ri , 0 < ? < 1 (3.8)
?
В этом случае интересы фирмы описываются выражением
1 ? 1? ?
? i (S i ) ? y i = S i ri ? (S i ? x i ) . (3.9)
?
Проведем анализ механизма прямых приоритетов
Si
? i (S) = .
?S j
j

Примем, что имеет место гипотеза слабого влияния, согласно которой
фирмы не учитывают влияния своей заявки на общий множитель

(? S )
?1
. В этом случае равновесная заявка i-ой фирмы определяется
j

из условия
1? ?
? ri ? 1
= 1?
?? (3.10)
? Si ? S

или
1
?
? 1? 1? ?
S i = ri ? 1 ? ? (3.11)
,
? S?

где S определяется из уравнения
1
? 1 ? 1? ?
, H = ? rj .
H = S? 1 ? ? (3.12)
? S? j




40
Нетрудно видеть, что уравнение (3.12) всегда имеет единственное
решение S* > 1. Покажем, что всегда имеет место S* > H. Это
следует из очевидного неравенства в случае H > 1:
1
? 1 ? 1??
?1 ? ? < 1.
? H?
Таким образом механизм смешанного финансирования
обеспечивает привлечение средств частных фирм, большее чем в
случае непосредственного финансирования фирмами проектов.
Действительно, при непосредственном финансировании фирма i

<< Предыдущая

стр. 6
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>