<< Предыдущая

стр. 9
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

достаточно взять, например, хорошо известный принцип
пропорционального распределения [1] - окончательный результат
будет один и тот же. Более того, так как существенными оказываются

55
только несколько (l) первых моментов распределения ?, задачу
можно редуцировать к эквивалентной задаче, в которой имеется более
простое распределение, первые l моментов которого совпадают с
моментами исходного распределения.
Известно, что первые l - 2 моментов не всегда определяют
распределение однозначно. В силу теоремы 4.4, оптимальные
стратегии в механизмах распределения ресурса в условиях
вероятностной неопределенности, в некотором смысле, инвариантны
относительно классов распределений (факторизация по совпадению
моментов). Поэтому при синтезе реальных механизмов
представляется целесообразным создание библиотеки процедур
планирования и распределений и подборе их комбинации, наиболее
соответствующей рассматриваемой ситуации. Приводимый ниже
пример содержит конкретный алгоритм и хорошо иллюстрирует
возможности использования предложенных подходов.
Пример. Пусть n = 2, m = 100, Prob{R = Rj} = pj, j =1, 100 .
Предположим, что функции предпочтения элементов имеют вид:
12
? i ( x i , ri ) = x i ? x i , i = 1, 2 , (4.12)
2 ri
и используется принцип прямых приоритетов:
si
x i = ? i ( s1 , s2 , R ) = R, i = 1, 2 (4.13)
S
где S = s1 + s2.
Ожидаемая полезность i-го АЭ:
2 100
? si ?
s i 100
? ( R j ) p j , i = 1, 2
1
E? i = ? R j p j ?
2
?? (4.14)
? S?
S j= 1 2 ri j=1




56
Обозначим Mi - i-ый момент распределения (?, ?), Mi = E(R)i, где
E-оператор математического ожидания, и вычислим
100 100
M1 = ? R j p j , M 2 = ? ( R j ) p j , ? = M 2 ? (M1 ) ,
2 2

j=1 j= 1

первые два момента и стандартное уклонение. Решением системы
уравнений:
?pR 1 + (1 ? p) R 2 = M1
?
?2 (4.15)
?pR 1 + (1 ? p) R 2 = M 2
? 2

является
1? p p
R 1 ( p) = M 1 ± ? ? , R 2 ( p) = M 1 ± ??. (4.16)
1? p
p
Выражения (4.16) являются решениями системы (4.15) при
любых значениях p ? (0, 1) (интересно отметить, что вероятностную
задачу нельзя свести к полностью детерминированной, положив p = 0
или p = 1). Для простоты положим p = 1/2. Тогда, учитывая, что R1 ?
R2, получим:
R1 = M1 - ?, R2 = M1 + ?. (4.17)
Выбрав значения величин R1, R2 и p перейдем к рассмотрению
задачи распределения ресурса в активной системе с двумя АЭ,
имеющими те же функции предпочтения, но при m = 2 и
равновероятных значениях R1 и R2, определяемых (4.17).
Обозначим
? = ER = pR1 + (1-p)R2 . ? = ER2 = pR12 + (1-p)R22.
Ожидаемая полезность i-го элемента:
2
? ? si ?
si
E? i = ? ? ? s + s ? , i = 1, 2 .
s1 + s2 2 ri ? 1 2 ?



57
В силу (4.17) ? = M1, и ? = M2, а (4.18), очевидно, совпадает с
ожидаемой полезностью (4.14). Таким образом, мы редуцировали
задачу с m = 100 возможными значениями случайной величины
(количество распределяемого ресурса) к несомненно более простой
эквивалентной в качестве окончательного то же
(имеющей
распределение ресурса и те же равновесные заявки) задаче
распределения ресурса.
Найдем решение эквивалентной задачи. Рассмотрим
невырожденный случай, то есть предположим, что при максимальном
количестве ресурса первый АЭ является победителем.
Соответственно, в силу гипотезы дефицитности, второй АЭ при этом
получает строго меньше оптимального количества ресурса.
Следовательно, при распределении минимального количества ресурса
он тем более получает строго меньше r. Значит доминантная
стратегия второго АЭ - сообщение максимальной заявки.
Определим стратегию первого АЭ, максимизирующую его
ожидаемую полезность. Очевидно, пары стратегий, обращающей в
ноль производные ожидаемых полезности обоих АЭ не существует.
Приравнивая нулю производную ожидаемой полезности первого
элемента и принимая во внимание, что s1* = D, определяем
?r1 M 1 r1
?
=D =D
s1 .
? ? ?r1 M 2 ? M 1 r1
Оптимальная (проверяя знак второй производной, убеждаемся, что s1*
- точка максимума) стратегия первого АЭ является убывающей
функцией R1, то есть при достаточно малых значениях R1 максимум
ожидаемой полезности достигается при сообщении максимальной
заявки.


58
В процессе рассмотрения примера (учитывая результат теоремы
4.4), мы, фактически, доказали следующий факт:
Теорема Если функции предпочтения элементов
4.5. -
полиномы второй степени, то при любом m ? 2 задача распределения
ресурса в условиях вероятностной неопределенности эквивалентна
задаче распределения ресурса при m = 2 и R1,2 = M1 ± ?.
Результат теоремы 4.5, во-первых, существенно упрощает поиск
равновесных стратегий АЭ (см. (4.5)), а во-вторых, свидетельствует,
что на практике рассмотрение большого числа возможных будущих
значений распределяемого количества ресурса вряд ли целесообразно.




59
Заключение


Рассмотренные модели и механизмы распределения затрат и
доходов охватывают широкий класс прикладных задач, связанных с
выбором схем финансирования инвестиционных проектов,
распределением доходов в корпоративных структурах, реализацией
крупных социальных программ, затрагивающих федеральные и
региональные интересы и др.
Многие задачи в работе только поставлены и требуют
дополнительных исследований. Это, в первую очередь, задачи
синтеза оптимальных механизмов распределения затрат (доходов) и
учет риска в задачах финансирования инвестиционных проектов.
Кроме того, помимо исследований общих постановок крайне важно
описывать прикладные модели распределения затрат (доходов),
связанные с функционированием банковских и корпоративных
структур, реализацией федеральных и региональных программ и др.
С точки зрения методологии представляется важным исследование
коалиционного поведения агентов.




60
Литература


1.Бурков В.Н., Данев Б., Еналеев А.К. и др. Большие системы:
моделирование организационных механизмов. М.: Наука, 1989.

2.Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Механизмы
функционирования социально-экономических систем с собщением
информации // Автоматика и телемеханика, 1996, N 3. - С. 3 - 25.

3.Бурков В.Н., Новиков Д.А. Введение в теорию активных
систем. М.: ИПУ РАН, 1996. - 125 с.

4.Moulin H., Shenker S. Serial cost sharing // Econometrica, 1992.
Vol. 60. N 5. P. 1009-1037.




61

<< Предыдущая

стр. 9
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ