<< Предыдущая

стр. 2
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


9
? Si = ? Si + ? Si и
i?D i?D1 i?D 2


? ?i = ? ?i + ? ?i ,
i?D i?D1 i?D 2

то задача минимизации (1.8) эквивалентна задаче максимизации

? ?i (1.10)
i ?D 2

при условии

? Si ? ? Si ? ? . (1.11)
i ?D 2 i?D

Пример 1.1. Имеются четыре проекта, данные о которых приведены
в таблице 1.1 (? = 1).
Пусть А = 8.
I шаг. Решаем задачу о ранце. Обозначим xi = 1, если проект i
финансируется, и xi = 0 в противном случае. Задача о ранце имеет вид:
7x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 > max
6x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 ? 8.
Ее решение в этом случае очевидно: x2 = x3 = 1, остальные xi = 0, то есть Q1
= {2, 3}, Э(Q1) = 8.
II шаг. Проекты 1, 2 и 3 сразу входят в решение, то есть d = {1, 2, 3}.
Так как S1 + S2 + S3 = 13 > 8, то получено оптимальное решение, то есть Q2
= D. Имеем
Э(Q) = Э1 + Э2 + Э3 - ?(S1 + S2 + S3 - 1) = 10
max [Э(Q1); Э(Q2)] = Э(Q2) = 10,
поэтому оптимальный портфель проектов Q0 = {1, 2, 3}, или Q0 = {1, 2},
Э(Q0) = 10.
Пусть теперь ? = 1, 2. В этом случае ?i уменьшаются и будут равны
следующим величинам:
1 2 3 4
i

10
Таблица 1.1.
1 2 3 4
i
Эi 7 5 3 5
6 4 3 7
Si
?i 1 1 0 -2

?i -0,2 0,2 -0,6 -3,4
Множество D содержит всего один проект d = {2}. Так как S2 = 4 < 8, то
решаем задачу о ранце (находим множество нефинансируемых проектов):
0,2x1 + 0,6x2 + 3,4x3 > max
6x1 + 3x2 + 7x3 ? 12.
В данном случае решение также очевидно - x1 = 0, x2 = x3 = 1, или D1 = {1},
D2 = {2, 3}. Имеем:
Q2 = D ? D1 = {1, 2}
Э(Q2) = 7 + 5 - 1,2?(6 + 4 - 8) = 9,6.
По-прежнему Э(Q2) > Э(Q1) и поэтому оптимальное решение Q0 = {1, 2},
Э(Q0) = 9,6. В более сложных случаях для решения задачи достаточно
эффективным является метод динамического программирования. Для
применения метода предварительно на плоскости строим систему
координат, одна ось которой соответствует проектам, а вторая - объему
финансирования. По оси проектов отмечаем номера проектов 1, 2, 3, 4. Из
начала координат проводим две дуги - одна горизонтальная, в точку (1, 0),
а другая - в точку (1, S1). Первая дуга означает, что проект 1 не
финансируется, а вторая, - что он финансируется. Из каждой точки также
проводим по две дуги, уже для второго проекта. Получаем уже четыре
точки - (2, 0), (2, S1), (2, S2), (2, S1+S2), соответствующие четырем
возможным вариантам для двух первых проектов (если S1 = S2, то
получаем три точки). Продолжая таким образом, получаем сеть,
приведенную на рис. 1.1. Очевидно, что любой путь в сети из начальной
11
вершины (0, 0) в конечные вершины соответствует некоторому портфелю
проектов. И наоборот, любому портфелю проектов соответствует путь в
сети, соединяющий начальную координату с какой-либо конечной
вершиной.
Значение координаты по второй оси равно объему финансирования
соответствующих портфелей. Примем длины горизонтальных дуг равными
нулю, а длины наклонных дуг - эффективностям Эi соответствующих
проектов. В этом случае длина пути будет равна эффективности F(Q)
соответствующего портфеля Q. Следовательно, путь максимальной длины,
соединяющий начало координат и точку (4, S) будет соответствовать
портфелю максимальной эффективности, среди всех портфелей,
требующих объема финансирования S. Таким образом, мы получаем
оптимальные портфели при любых объемах финансирования. Если теперь
из полученных величин максимальных эффективностей вычесть стоимость
требуемых финансовых ресурсов L(S) и выбрать максимум из полученных
разностей, то мы получим оптимальное решение задачи (1.3). Заметим, что
описанный алгоритм можно применять для любых зависимостей L(S). На
рис.1.1 длины дуг указаны в круглых скобках , а в вершинах указаны
длины максимальных путей, ведущих в эти вершины. У конечных вершин
сети рядом с ними указаны значения L(S) - S (со знаком минус) и разности
F(Q) - L(S). Оптимальные варианты выделены. Естественно, мы получили
те же портфели Q0 = {1, 2, 3} и Q0 = {1, 2}.




12
Анализируя приведенные решения (рис 1.1) можно заметить
любопытный парадокс. При финансировании проектов в объеме 11 мы
получаем максимальную эффективность портфеля 10, что меньше, чем при
меньшем финансировании в объеме 10. Парадокс в том, что если задать
вопрос, в каком случае будет бoльшая эффективность оптимальных
портфелей, - при финансировании в объеме 10 или в объеме 11 единиц, то
любой здравомыслящий человек ответит, что чем больше объем




20 20 -12 = 8

(5)
17 -9 = 8
15 -8 = 7
15 (5)
13 -6 = 7
15 15 -5 = 10
(3) (5)
10 -3 = 7
(0)
12 -2 = 10
10 12 12
10 10 -1 = 9
(5) (5)
(5) (3)
8 8 -0 = 8
(0) (0)
7 -0 = 7
7 7 7
(3) (5) (5)
5
(0) 5 -0 = 5
5 5
3 3 -0 = 3
(7) (5) (5)
(3)
(0) (0) (0) (0)
0 0 0 0
0 1 2 3 4

Рис. 1.1.




13
финансирования, тем больше эффективность оптимального при этом
объеме портфеля!
Полученные значения Э(Q) при различных объемах финансирования
выпишем в таблицу:
Таблица 1.2.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Объем финансирования 3 4 6 7 9 10 13 17 20
Эффективность портфеля 3 5 7 8 10 12 15 17 20


Варианты, нарушающие монотонность (парадоксальные варианты) мы,
естественно, не выписываем. Имея такую таблицу можно решать задачи
выбора оптимального портфеля проектов при различных зависимостях
стоимости финансовых ресурсов от объема финансирования,
определяемых используемыми схемами финансирования.
Помимо затрат на реализацию проекта и его эффективности, важной
характеристикой является надежность проекта или уровень риска. Под
надежностью проекта будем понимать вероятность его реализации в
требуемые сроки при выделенных ресурсах. При таком определении
предполагается, что затраты на реализацию проекта в заданные сроки
являются случайной величиной, имеющей функцию распределения P(S).
Смысл этой величины в том, что она равна вероятности реализации
проекта при объеме финансирования S.
Как правило, надежность проекта оценивается экспертами при
нескольких значениях затрат с последующей аппроксимацией. Зная
характеристики надежности проектов Pi(Si) (или риски Ri (Si) = 1 - Pi(Si)),
можно оценить ожидаемый доход как произведение Fi ? Pi(Si). Поставим
задачу определить объем финансирования проектов так, чтобы суммарный
ожидаемый доход

14
m
F = ? Fi Pi (S i ) (1.12)
i =1

был максимален при заданном объеме финансирования S. Сложность
решения этой задачи связана с тем, что функции Pi(Si) не являются
вогнутыми, а следовательно задача является многоэкстремальной.
Примем, что эксперты дают дискретные оценки надежности для
любого проекта.
Задача достаточно эффективно решается методом динамического
программирования. Для этого достаточно внести небольшие изменения
при построении сети рисунка 1.1. А именно, вместо двух дуг (проект
финансируется или не финансируется) необходимо ввести столько дуг,
сколько вариантов финансирования данного проекта имеется.
Соответственно, для каждой дуги следует задать длину, соответствующую
ожидаемой эффективности при данном финансировании.
Пример 1.2. Рассмотрим этот метод решения на задаче 1.1,
ограничившись тремя первыми проектами. Примем, что для каждого
проекта имеются два варианта финансирования, один - с высоким риском,
но с малым объемом финансирования, а другой - с низким риском, но,
соответственно, с бoльшим объемом финансирования. Данные о проектах
приведены в таблице 1.3.
Сеть возможных вариантов выбора портфеля приведена на рис . 1.2.


Таблица 1.3.
1 2 3
i
1 2 1 2 1 2
4 7 3 5 2 3
FiPi
3 6 2 4 1 3
Si



15
В данном случае при ? = 1 получаем три оптимальных варианта,
причем во всех вариантах финансируются все проекты, но по разному. В
первом варианте проекты 1 и 2 получают максимальное финансирование,
во втором максимальное финансирование получает только первый проект,
а в третьем только второй. Таким образом рассмотренная задача
позволяет выбрать максимальный диверсифицированный портфель
проектов при различных схемах финансирования.
До сих пор мы предполагали, что риск проекта не зависит от
выбранной схемы финансирования. Однако, во многих случаях выбор
схемы финансирования существенно влияет на проектный риск. Особенно
такая зависимость имеет место в случаях, когда финансирование
осуществляется за счет выпуска ценных бумаг (например, организация




15-5=10
13
12 3
11 14-3=11
2
[12]
12-2=10
10
3 3
9 12-1=11
2
5 [10] 11-0=11
8 2
[9]
9-0 = 9
7
[7] 3
[7]
6 9-0 = 9
5 [7]
7-0 = 7
5
3 [5]
4 6-0 = 6
[4]
7 [4] 5-0 = 5
3
5 [3]
4 3-0 = 3
2
3
2-0 = 2
1 [0]
0 1 2 3

Рис. 1.2.


<< Предыдущая

стр. 2
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>