<< Предыдущая

стр. 6
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

38
y1T = 1, y2T = 2, y3T = 3, y4T = 0.
Оценка второго подмножества равна:
Q(y3T ? 2) = 1 + 51/3 + 9 = 151/3.
Выберем первое подмножество, имеющее меньшую оценку.
Так как в оптимальном решении оценочной задачи для первого под-
множества имеет место Q 4 (1) < Q4(1), то разбиваем его на два под-
˜

множества. В первом подмножестве y4T ? 1, а во втором – y4T ? 1.
Оценка подмножества y3T ? 2, y4T ? 1.
Оптимальное решение оценочной задачи имеет вид:
y1T = 1, y2T = 3, y3T = 1, y4T = 1.
Оценка подмножества равна
Q(y3T ? 2, y4T ? 1) = 1 + 8 + 2 + 5 = 16.
Заметим, что эта оценка является точной нижней оценкой, так как
˜
Q k = Qk для всех предприятий.
Оценка подмножества y3T ? 2, y4T ? 1.
Оптимальное решение оценочной задачи имеет вид:
y1T = 1, y2T = 2, y3T = 1, y4T = 2.
Оценка подмножества равна
Q(y3T ? 2, y4T ? 1) = 1 + 51/3 + 2 + 6 = 141/3.
Выбираем подмножество y3T ? 2, y4T ? 1 с минимальной оценкой.
Так как в оптимальном решении оценочной задачи имеет ме-
сто Q 2 (2 ) < Q2(2), то разбиваем это подмножество на два. В одном
˜

из них y2T ? 2, а во втором – y2T ? 2.
Оценка подмножества {y2T ? 2, y3T ? 2, y4T ? 1}.
Оптимальное решение оценочной задачи имеет вид:
y1T = 1, y2T = 2, y3T = 1, y4T = 2.
Оценка подмножества равна
39
Q(y2T ? 2, y3T ? 2, y4T ? 1) = 1 + 6 + 2 + 6 = 15,
и является точной нижней оценкой.
Оценка подмножества {y2T ? 2, y3T ? 2, y4T ? 1}.
Оптимальное решение оценочной задачи имеет вид:
y1T = 1, y2T = 3, y3T = 0, y4T = 2.
Оценка подмножества равна
Q(y2T ? 2, y3T ? 2, y4T ? 1) = 1 + 8 + 0 + 6 = 15,
и также является точной нижней оценкой.
Окончательно получаем два оптимальных решения:
y1T = 1, y2T = 2, y3T = 1, y4T = 2, и
y1T = 1, y2T = 3, y3T = 0, y4T = 2
с величиной упущенной выгоды равной 15.
Дерево ветвлений, в вершинах которого указаны оценки сни-
зу соответствующих подмножеств, приведено на рис. 2.11. Толсты-
ми дугами выделены подмножества решений, в которых
определены оптимальные решения.

14
y3T ? 2 y3T ? 2

151/3
14
y4T ? 1 y4T ? 1

141/3
16
y2T ? 2 y2T ? 2

15 15

Рис. 2.11.




40
2.7. Метод динамического программирования

Метод динамического программирования в ряде случаев яв-
ляется более эффективным по сравнению с методом ветвей и гра-
ниц, особенно, в случае малых n и RT.
Идея метода в том, что последовательно определяется мини-
мальная величина упущенной выгоды для возможных значений
0 ? R ? RT, если региональный уровень R обеспечивается за счет
первых двух предприятий, затем первых трех, и т.д. Обозначим
через Фm(R) – минимальную величину упущенной выгоды в случае,
если уровень R обеспечивается только за счет первых m предпри-
ятий. Величины Фm+1(R) определяются на основе уравнения Белл-
мана:
Ф m +1 (R ) = min [Ф m (R ? i ) + Q m +1 (i )] .
(2.7.1)
0?i?3

Сложность алгоритма прямопропорциональна RT?n или, учи-
тывая, что RT ? 3n, прямопропорциональна n2. Заметим, однако, что
в методе ветвей и границ оценка n4 достигается в самом худшем
случае. Средняя оценка, как показали многочисленные примеры,
также имеет порядок n2. В то же время, во многих случаях метод
ветвей и границ имел сложность порядка n. Рассмотрим примене-
ние метода на примере 2.5.
Значения Ф1(R), 0 ? R ? 3, приведены ниже.
Таблица 2.16.
0 1 2 3
R
Ф1(R) 0 1 6 8


Вычислим Ф2(R), 0 ? R ? 6. Имеем:

41
Ф2(0) = 0,
Ф2(1) = min(Ф1(0) + Q21; Ф1(1) + Q20) = 1,
Ф2(2) = min(Ф1(0) + Q22; Ф1(1) + Q21; Ф1(2) + Q20) = min(6; 6; 6) = 6,
Ф2(3) = min(Ф1(0) + Q23; Ф1(1) + Q22; Ф1(2) + Q21; Ф1(3) + Q20) =
= min(8; 7; 11; 8) = 7,
Ф2(4) = min(Ф1(1) + Q23; Ф1(2) + Q22; Ф1(3) + Q21) = min(9; 12; 13) =
9,
Ф2(5) = min(Ф1(2) + Q23; Ф1(3) + Q22) = 14,
Ф2(6) = Ф1(3) + Q23 = 16.
Вычислим Ф3(R). Заметим, что так как RT = 6, то первые три
предприятия должны обеспечить по крайней мере уровень не менее
R = 3. Имеем:
Ф3(3) = min(Ф2(0) + Q33; Ф2(1) + Q32; Ф2(2) + Q31; Ф2(3) + Q30) =
= min(9; 9; 8; 7) = 7,
Ф3(4) = min(Ф2(1) + Q33; Ф2(2) + Q32; Ф2(3) + Q31; Ф2(4) + Q30) =
= min(10; 14; 9; 9) = 9,
Ф3(5) = min(Ф2(2) + Q33; Ф2(3) + Q32; Ф2(4) + Q31; Ф2(5) + Q30) =
= min(14; 15; 11; 14) = 11,
Ф3(6) = min(Ф2(3) + Q33; Ф2(4) + Q32; Ф2(5) + Q31; Ф2(6) + Q30) =
= min(16; 17; 16; 16) = 16.
Наконец, вычислим Ф4(RT).
Ф4(6) = min(Ф3(3) + Q43; Ф3(4) + Q42; Ф3(5) + Q41; Ф3(6) + Q40) =
= min(16; 15; 16; 16) = 15.
Естественно, мы получили те же самые оптимальные
решения.




42
ГЛАВА 3. Механизмы стимулирования
роста уровня промышленной
безопасности


3.1. Постановка задачи

В предыдущей главе рассмотрена модель определения
оптимальной стратегии повышения регионального уровня
промышленной безопасности. В основе модели лежит задача
определения нормативных требований к СУПБ предприятий таким
образом, чтобы обеспечить требуемый региональный уровень ПБ с
минимальной величиной упущенной выгоды. Для того, чтобы
решить эту задачу, территориальные органы Госгортехнадзора
должны получить от предприятий информацию о величине
упущенной выгоды Qkj при переходе за период T на j-ый уровень
СУПБ. Центральной проблемой является создание условий,
исключающих сознательное искажение этой информации.
Механизмы управления, стимулирующие представление
достоверной информации, называются механизмами честной игры
или неманипулируемыми механизмами. В работе [ ] рассмотрен
механизм такого рода, в котором в качестве фактора,
стимулирующего рост уровня СУПБ выступает уменьшение платы
за риск, налоговые льготы (уменьшение налогооблагаемой прибыли
с ростом уровня СУПБ и т.д.).
Обозначим через a величину стимулирующего норматива
(например, уменьшение налогооблагаемой прибыли при росте
уровня СУПБ на единицу). Тогда при планируемом уровне для k-го

43
предприятия, равном xk, эффект для предприятия будет равен axk.
Обозначая упущенную выгоду через ?k(xk) мы можем представить
целевую функцию k-го предприятия в виде разности стимулов axk и
упущенной выгоды ?k(xk), то есть
fk(xk) = axk - ?k(xk).
(3.1.1)
Пусть ?k(xk) – вогнутые, непрерывно дифференцируемые
функции xk. В этом случае условие максимума (3.1.1) можно
записать в виде
d?k (x k )
=a
(3.1.2)
dx k
(предполагаем, что максимум достигается в точке xk > 0). Разрешая
уравнение (3.1.2) относительно xk, получаем
xk = ?(a).
(3.1.3)
Определим параметр a из условия
n
? ? k (a ) = R T ,
(3.1.4)
k =1
где RT – требуемое значение регионального ПБ.
Примем, что информация о функции ?k(xk), сообщаемая
отдельным предприятием слабо влияет на параметр a, то есть даже
при больших изменениях ?k(xk) величина a, получаемая из решения
уравнения (3.1.4) изменяется незначительно (гипотеза слабого
влияния). В этом случае, как известно [ ], представление
достоверной информации является доминантной стратегией
каждого предприятия.

Пример 3.1. [ ]. Пусть ?k (x k ) =
12
xk .
2rk


44
Обозначим через sk оценку параметра rk, сообщаемую
предприятием k. В этом случае уравнение (3.1.2) принимает вид
x
a? k =0
sk
или
(3.1.5) xk = ask.
Из условия (3.1.4) получаем
RT
, где S = ? s k .
a=
(3.1.6)
S k
Подставляя (3.1.5) и (3.1.6) в (3.1.1) имеем
? s?
f k = a 2s k ? 1 ? k ? .
(3.1.7) ? 2r ?
? k?
Очевидно, что если пренебречь влиянием sk на a, то максимум
(3.1.7) достигается в точке sk = rk, что соответствует представлению
предприятием достоверной информации.
Если учесть влияние sk на a, то равновесная ситуация s*
(точка Нэша) определяется из системы уравнений [ ]
??
s? , где ?? = ? s? .
= rk k
rk + ??
k k i
i?k
k
Если предприятия близки по значениям rk, то
n ?1 ? 1?
s? ? rk = rk ?1 ? ? .
k
? n?
n
Относительная погрешность (сознательное искажение информации)
составляет:
r ?s 1
?= k k = .
rk n

45
Если n = 10, то ? = 10%.
Приведенный анализ не учитывает ряда особенностей задачи
определения стратегии повышения регионального уровня ПБ. Дело
в том, что зависимости ?k(xk) не являются не только выпуклыми, но
и просто непрерывными. Они заданы в дискретных точках и
принимают значения Qkj, j = 0, 3 .
Далее, предложенный механизм стимулирования не является
единственно возможным. Так, возможен вариант компенсации
предприятиям затрат на создание и развитие СУПБ (именно затрат,
а не упущенной выгоды), если компенсация затрат производится в
начале периода, что позволяет предприятиям направить средства на
развитие производства.
Конечно, если компенсация происходит в конце периода, то
компенсировать следует величину упущенной выгоды. Фактически,
механизм компенсаций затрат можно рассматривать как некоторый
механизм централизованного финансирования мероприятий по
созданию и развитию СУПБ.


3.2. Сравнение механизмов стимулирования
и компенсации

Рассмотрим механизм компенсации упущенной выгоды на
простой модели из примера (3.1).
12

<< Предыдущая

стр. 6
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>