<< Предыдущая

стр. 8
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

si
fi = min ? i2 ; ?? ?
(3.3.5) .
? 2
1
? 2S s j ? 2riS
? ?
? ?
j

Предположим, что для всех предприятий минимум в
выражении (3.3.5) достигается на первом члене. В этом случае, как
легко видеть, максимум fi для каждого предприятия достигается при
сообщении оценки si = 1/2ri (при гипотезе слабого влияния). В этом
случае механизм обратных приоритетов эквивалентен механизму
компенсации.
Для того, чтобы минимум достигался на первом члене
необходимо и достаточно выполнение условия:
1
Ф?, или ФH ? 1 .
(3.3.6)
Н
Докажем этот факт. Для этого заметим, что величина 1/H равна
сумме компенсационных выплат всем предприятиям при
сообщении ими оценок si = 1/2ri, i = 1, n . Действительно,
n si 1 1
Фk = ? = =.
2 2S H
i =1 2S
Пусть r1 ? r2 ? ??? ? rn. Из выражения (3.3.5) следует, что чем
меньше коэффициент ri, тем больше доля фонда Ф, получаемая
согласно обратным приоритетам. Поэтому предприятие с
минимальной величиной параметра rn получит максимальную долю
фонда. А значит, это предприятие получит долю фонда, равную
величине компенсационных выплат при sn = 1/2rn. Вычитаем из
фонда Ф долю, равную компенсации предприятию n и повторяем
процедуру (3.3.5) для оставшихся предприятий. Продолжая таким

53
образом, получаем, что каждое предприятие получает долю фонда,
равную величине компенсации.
Пусть теперь Ф < 1/H. В этом случае, при s1 = r1/2,
предприятие 1 получит долю фонда меньше чем величина
компенсации, так как минимум будет достигаться на втором члене
под знаком минимума в выражении (3.3.5). Поэтому, в равновесии s1
Если
< r1/2.
s1 ? r2/2, то величина s1 определяется из уравнения
s1(1 + s1Q2,n) = 2(s1 +H2,n)2Ф,
n 1n
2
= ? , H 2, n = ? ri .
где Q 2, n
2 ri 22
Пусть число предприятий, для которых si < ? ri, равно k.
Покажем, что в этом случае для всех этих предприятий si = sk, i = 1, k .
Действительно, из условия равенства выражений под знаком
минимума получаем, что
2 ?S2Ф
=
si2 ,
1
?s
jj

то есть не зависит от i. Величина sk определяется из следующего
квадратного уравнения:
sk(k + skQk+1,n) = 2(ksk +Hk+1,n)2Ф.
(3.3.7)
Число k определяется путем последовательного решения уравнения
(3.3.7) для k = 1, 2, ??? , пока не будет получено k такое, что sk ? rk+1/2.
Таким образом, чем меньше фонд Ф, тем больше предприятий
будут сообщать одинаковые оценки параметров sk < ? rk, что
приводит к неоптимальному распределению нормативных
требований по предприятиям, а значит, к росту затрат на
54
достижение требуемого значения регионального уровня
промышленной безопасности. Этот качественный вывод
сохраняется для функций затрат более общего вида, например,
функций типа Кобба-Дугласа.




55
3.4. Дискретные функции
затрат. Выпуклый случай

Перейдем к исследованию эффективности рассмотренных
выше механизмов для дискретных зависимостей затрат (упущенной
выгоды) на развитие СУПБ до требуемого уровня. Далее для
однозначности будем понимать под величинами Qkj затраты, хотя
это может быть и упущенная выгода. Сначала рассмотрим так
называемый выпуклый случай, когда замена дискретной функции
соответствующей кусочно-линейной непрерывной функцией дает
выпуклую функцию.

А) Механизм стимулирования

Механизм стимулирования роста уровня СУПБ в дискретном
случае будет иметь вид

( )
3
Ф k = ? ?j ? s kj x kj ,
(3.4.1)
j=1
где skj – оценка затрат предприятия k, требуемых на достижение
уровня j, sk0 = 0, то есть, при установлении предприятию
нормативных требований ykT = j, предприятие получает либо из
централизованного фонда стимулирования, либо в виде налоговых
льгот, сумму ?j.
Примем, как и в непрерывном случае, гипотезу слабого
влияния оценок sk = {skj} отдельного предприятия на параметр
стимулирования ?. В этом случае, как показано в [ ], сообщение
достоверных оценок sk = Qk является доминантной стратегией
предприятия, если механизм управления является механизмом
56
открытого управления (честной игры). Согласно принципу честной
игры, план xk повышения уровня СУПБ k-го предприятия должен
удовлетворять следующим условиям совершенного согласования:

? (? j ? s kj )x kj = max (? j ? s kj ) .
3

j=1 j
Смысл этих условий в том, что предприятие должно получить
задание по росту уровня СУПБ до такой величины q, при которой
разность стимулов ?j и оценок затрат skj максимальна.
При сообщении достоверных оценок условия совершенного
согласования принимают вид

? (?j ? Q kj )x kj = max (?j ? Q kj ),
3
k = 1, n , Q k 0 = 0 .
(3.4.2)
j=1 j
Возникает вопрос, всегда ли существует параметр стимулирования
? такой, что оптимальный план x* является эписогласованным, то
есть, удовлетворяет условиям (3.4.2). Ответ на этот вопрос дает
следующая теорема.
Теорема 3.1. Для любых Qkj, j = 1, 2, 3, k = 1, n , существует
параметр ? такой, что условия совершенного согласования
выполняются для оптимального плана x*.
Доказательство. Рассмотрим задачу оптимального
планирования нормативных уровней к СУПБ предприятий:
минимизировать
? Q k ,i x k , j
(3.4.3)
i, j

при ограничениях: xkj = {0, 1},
? x k , j ? 1, k = 1, n ,
(3.4.4)
j

57
? j ? x k, j ? R T .
(3.4.5)
k, j

Ограничение xkj = {0, 1} можно заменить условием xkj ? 0,так
как при этом условии задача всегда имеет целочисленное решение.
Сформулируем двойственную задачу, введя двойственные
переменные uk ? 0, k = 1, n и ? ? 0: максимизировать
n
? uk
?RT -
k =1
при ограничениях
?j - uk ? Qkj, j = 1, 2, 3, k = 1, n ,
или
( )
u k = max ? ? j ? Q kj , k = 1, n .
(3.4.6)
j
Поскольку прямая задача имеет решение, то двойственная задача
тоже имеет решение, то есть существует ? ? 0, uk, k = 1, n ,
удовлетворяющие (3.4.6), а значит, условия совершенного
согласования имеют место. Теорема доказана.
Величину стимулирующего параметра легко определить, зная
оптимальный план x*. Если обозначить через jk – уровень СУПБ
k-го предприятия в оптимальном плане, то минимальная величина ?
определяется выражением
( )
? = max Q k , jk ? Q k , jk ?1 .
(3.4.7)
k
Пример 3.3. Значения Qkj для пяти предприятий приведены в
таблице 3.1.
Таблица 3.1.
k
1 2 3 4 5
j

58
2 1 3 2 1
1
5 4 7 3 3
2
10 10 14 6 7
3

Пусть RT = 10. Применяя алгоритм, описанный в пункте 2.3,
получаем оптимальное решение:
x12 = 1, x22 = 1, x31 = 1, x43 = 1, x52 = 1,
остальные xkj = 0. Минимальные затраты равны
5 + 4 + 3 + 6 + 3 = 21.
Имеем:
? = max (5 – 2; 4 – 1; 3 – 0; 6 – 3; 3 – 1) = 3.
Теорема 3.1 справедлива при гипотезе слабого влияния.
Насколько правомерна эта гипотеза? Для ответа на этот вопрос
рассмотрим сначала случай одинаковых предприятий. Имеет место
Теорема 3.2. Если RT = kn + s, где 0 < s < n, k = 0, 1 или 2, то
сообщение достоверной информации является равновесной
стратегией каждого предприятия.
Доказательство. Примем для определенности (и без
ограничения общности) k = 1. Так как 0 < s < n, то s предприятий
имеют задание yT = 2, а (n – s) предприятий имеют задания yT = 1.
Очевидно, что предприятия, у которых yT = 1, не могут повлиять на
величину стимулирующего параметра ?, так как ? определяется
группой предприятий, у которых yT = 2. Поэтому примем, что они
сообщают достоверные оценки Qkj. С другой стороны, попытка
предприятия со значением yT = 2 повысить разницу Qk2 – Qk1 и тем
самым увеличить ? сразу же приведет к уменьшению его задания до
yT = 1. При этом, одно из предприятий с yT = 1 получит более
выгодное задание yT = 2, а величина ? не изменится. В
59
определенном смысле сообщение достоверной информации
является доминантной стратегией каждого предприятия.
Исключение составляет маловероятный случай, когда все
предприятия с заданием yT = 1 вдруг повысят свои оценки Sk2 > Qk2.
В этом случае любому из предприятий q с заданием yT = 2 выгодно
повысить свою оценку до величины Sq2 < Sk2. При этом параметр ?
увеличится. Однако, такая ситуация не является равновесной.
Теорема доказана.
Пусть теперь RT = k?n, 0 < k < 3. В этом случае любое
предприятие q может увеличить параметр стимулирования,
увеличивая одновременно оценки Qq,k и Qq,k+1, как показано на рис.
3.2 для случая k = 1 (точки A1, B1). Максимальное увеличение ?
определяется точками A и B и равно, как легко видеть из рисунка,
Qk2 – 2Qk1. При этом А увеличивается до величины Qk2 – Qk1.
Для случая k = 2 максимальное увеличение ? определяется
величиной Qk3 + 2Qk2 – Qk1 (точки A и B на рис.3.3). Максимальная
величина ? составит Qk3 –Qk2.
На основе поведенного анализа случая одинаковых
предприятий можно сделать определенные выводы для общего
случая. Степень искажения информации зависит от первых
разностей функции затрат. Более того, если jk – задание для k-го
предприятия, то величина




60
Qkj
B

B1
A
A1 Qk2
Qk1
j
0 1 2 3
Рис. 3.2.




Qkj B

<< Предыдущая

стр. 8
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>