<< Предыдущая

стр. 10
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где i
 61. Покажите, что функция полезности
1/?
?i x?
u(x) = lim i
?>0

(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция Кобба —
Дугласа.
 62. Покажите, что функция полезности
1/?
?i x?
u(x) = lim i
?>??

(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция min{x1 , x2 , . . . , xn }.
 63. Используя полученные в предыдущих задачах результаты, найдите в явной форме функ-
ции, представляющие те же предпочтения, что и функции
1/?
(?i xi )?
u(x) = lim ,
?>0

1/?
(?i xi )?
u(x) = lim .
?>??

 64. Пусть предпочтения представимы дифференцируемой функцией u(x). Покажите, что
предельная норма замены инвариантна относительно возрастающего преобразования функции
полезности. Как связаны M RSij (x) и M RSji (x)?
 65. В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция
полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид u(x) = u1 (x1 ) + u2 (x2 )) тогда и только тогда,
когда
? 2 M RS12 (x) ?M RS12 (x) ?M RS12 (x)
M RS12 (x) · ·
= .
?x1 ?x2 ?x1 ?x2
 66. Функция полезности аддитивно-сепарабельна: u(x) = ui (xi ), причем каждая из эле-
ментарных функций ui (·) вогнута. Покажите, что соответствующие предпочтения являются
выпуклыми.
 67. ??непонятно как решать.. Пусть некоторые выпуклые неоклассические предпочтения, за-
данные на R2 , представляются непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией вида u(x) =
+
v(x1 ) + v(x2 ). Покажите, что функция v(x) вогнута. (Подсказка: покажите, что для любых m
m m m m
и n справедливо v 2n x + (1 ? 2n )y 2n v(x) + 1 ? 2n v(y) и воспользуйтесь непрерывно-
стью.)
 68. Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость,
выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) облада-
ют предпочтения на R2 , представимые следующими функциями полезности?
+
(a) u(x) = x1 + x2 ;
v v
(b) u(x) = x1 + x2 ;
v
(c) u(x) = x1 + x2 ;
(d) u(x) = x1 x2 ;
x2
(e) u(x) = ln(x1 ) + 22 ;
35
Функция полезности, которой посвящено данное упражнение, имеет специальное название — функция с
постоянной эластичностью замены, или, CES-функция (constant elasticity of substitution). Впервые в контексте
микроэкономической теории она была рассмотрена в работе K. J. Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas, and
R. M. Solow: Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency, Review of Economics and Statistics 43 (1961):
225–250.
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 45

(f) u(x) = xx1 x22 ;
1 +x
(g) u(x) = x2 + x2 ;
1 2
(h) u(x) = min{x1 , x2 };
(i) u(x) = max{x1 , x2 };
(j) u(x) = min{2x1 ? x2 , 2x2 ? x1 };
(k) u(x) = 28x1 + 28x2 ? 2x2 ? 3x1 x2 ? 2x2 ;
1 2
(l) u(x) = ln(x1 ? 1) ? 2 ln(2 ? x2 ).
Какие из этих функций являются вогнутыми? Какие квазивогнутыми? Для каждой из этих
функций постройте эскизы кривых безразличия.


Приложение 2.A Связь выбора и предпочтений. Выявленные
предпочтения
Вернемся теперь от рассмотрения потребителя и его функции полезности к общей теории
выбора.
Как уже отмечалось, обычно в микроэкономике описание предпочтений с помощью бинар-
ных отношений используется в качестве отправной точки анализа выбора потребителя. В то же
время другой подход, отправной точкой которого непосредственно является выбор индивиду-
ума, может показаться более удачным, поскольку мы можем наблюдать выбор индивидуума,
но не то, как он упорядочивает альтернативы. Однако есть веские причины для сложившейся
в микроэкономике традиции:
• Полная функция выбора так же ненаблюдаема, как и бинарные отношения , ,? ,
т. е. является точно такой же умозрительной конструкцией. Наблюдаться могут только
отдельные случаи выбора, что не дает возможность предсказывать поведение индивиду-
ума в произвольной ситуации выбора. Кроме того, по конечному числу наблюдений за
выбором можно построить объясняющие их неоклассические предпочтения (если только
выполнено одно естественное предположение). Этому вопросу посвящен первый пункт
данного параграфа.
• В некотором достаточно широком классе случаев подход, основанный на функции вы-
бора, полностью эквивалентен подходу, основанному на бинарных отношениях, в том
смысле, что возможно по известной функции выбора построить неоклассические предпо-
чтения, которые порождают этот выбор. Для этого надо наложить на функцию выбора
и множество ситуаций выбора определенные ограничения. (Об этом речь идет во втором
пункте данного параграфа.) Если же не накладывать таких ограничений, то подход, ос-
нованный на функции выбора, становится бессодержательным и не позволяет построить
такую же богатую теорию, как традиционный подход, основанный на бинарных отноше-
ниях.
Заметим, с другой стороны, что хотя, как правило, выбор не используют в качестве от-
правной точки, но во многих моделях можно «забыть», что в основании выбора лежат нео-
классические предпочтения и соответствующая функция полезности. Так, потребительский
спрос представляет собой, фактически, функцию выбора, а его часто рассматривают сам по
себе, не ссылаясь на породившие его предпочтения.

2.A.1 Рационализация наблюдаемого выбора
Пусть даны наблюдения в виде набора ситуаций выбора и альтернатив, которые были
выбраны:
{(A1 , x1 ), (A2 , x2 ), . . . , (AN , xN )},
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 46

где предполагается, что xi ? C(Ai ) (i = 1, . . . , N ) для некоторой функции выбора C(·). Рас-
смотрим вопрос о том, возможно ли по этим данным подобрать неоклассические предпочтения,
которые бы им не противоречили, другими словами, рационализовать наблюдаемый выбор.
Упрощенное определение рационализации состоит в следующем:

Неоклассические предпочтения , , ? рационализуют выбор {(A1 , x1 ), . . . , (AN , xN )},
если для всех наблюдаемых выборов (Ai , xi ) из того, что x ? Ai следует, что xi x.

Однако при анализе рационализации обычно на основе имеющихся наблюдений делают
дополнительные выводы, исходя из того, что ситуации выбора Ai и предпочтения обладают
определенными свойствами. А именно, в определенных случаях делается вывод, что альтер-
натива x не могла быть выбрана в ситуации выбора Ai , несмотря на то, что она допустима.
Если рассматривается выбор потребителя, и Ai — бюджетное множество потребителя, то
основанием для подобных выводов могут служить следующие рассуждения:

• Если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы и x лежит внутри области, за-
даваемой бюджетным ограничением Ai , то альтернатива x хуже для потребителя, чем
xi , и, следовательно, не может быть выбрана в данной ситуации (x ? C(Ai )).
/

• Предпочтения потребителя и бюджетное ограничение Ai таковы, что xi — единственный
возможный выбор. Другими словами x ? C(Ai ) для всех альтернатив x ? Ai отличных
/
i.
от x

Смысл этих рассуждений будет ясен из материала гл. 3. Пока же для нас важно только то, что
для некоторых альтернатив x ? Ai мы можем сделать вывод, что x ? C(Ai ) 36 . В дальнейшем
/
мы будем всюду предполагать, особо не оговаривая, что такого рода сведения содержатся в
рассматриваемых данных о выборе. Наличие такой дополнительной информации заставляет
переформулировать определение рационализации.
Определение 16:
, , ? рационализуют выбор {(A1 , x1 ), . . ., (AN , xN )},
Неоклассические предпочтения
если

для всех наблюдаемых выборов (Ai , xi ) из того, что x ? Ai следует, что xi x.

для всех наблюдаемых выборов (Ai , xi ) из того, что x ? Ai и x ? C(Ai ) следует, что xi
/ x.

Посмотрим, какие выводы можно сделать об отношениях между альтернативами x1 , x2 ,
. . . , xN по имеющимся данным.
В соответствии с вышесказанным, для любой пары альтернатив xi и xj , таких что xj ? Ai
должно быть выполнено xi xj . (Поскольку в ситуации Ai выбрана альтернатива xi , а xj
была при этом доступна, то xj не лучше xi .) В подобном случае принято говорит, что xj
непосредственно выявленно не лучше xi .
Далее, если по цепочке для альтернатив xi , xj , xk , . . . , xq , xr выполнена цепочка соотноше-
ний xj ? Ai , xk ? Aj , . . . xr ? Aq , то xi xj , xj xk , . . . xq xr , т. е. каждая альтернатива
не лучше предыдущей, откуда по транзитивности xi xr . В этом случае говорят, что xi
косвенным образом выявленно не хуже, чем xr . Мы будем обозначать этот факт следующим
образом: xi xr .
Аналогичным образом, для любой пары альтернатив xi и xj из наблюдаемых данных,
таких что xj ? Ai и xj ? C(Ai ), должно быть выполнено xi xj . (Поскольку в ситуации Ai
/
выбрана альтернатива xi , а xj была при этом доступна, но заведомо не могла быть выбрана,
36
Если бы таких сведений не было, то задача рационализации стала бы неинтересной, поскольку достаточно
было бы положить, что все альтернативы из X эквивалентны.
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 47

то xj хуже xi .) В подобном случае принято говорит, что xi непосредственно выявленно лучше,
чем xj .
Если же по цепочке для альтернатив xi , xj , xk , . . . , xq , xr выполнены соотношения xj ? Ai ,
xk ? Aj , . . . xr ? Aq , причем одна из альтернатив не могла быть выбрана в предшествую-
щей ситуации выбора (например, xj ? C(Ai )), то xi xj , xj xk , . . . xq xr , и одно из
/
соотношений строгое (например, xi xj ), откуда xi xr . В этом случае говорят, что xi кос-
венным образом выявленно лучше, чем xr . По аналогии с нестрогим отношением выявленного
мы будем обозначать этот факт следующим образом: xi xr .
предпочтения
Предположим теперь, что мы имеем цепочку альтернатив i, j, k, . . . , q, r и опять i, такую
что xj ? Ai , xk ? Aj , . . . xr ? Aq , xi ? Ar . Другими словами, в этой цепочке по кругу каждая
альтернатива выявленно не хуже последующей. Из этого следует, что каждая из альтернатив
может быть выбрана в предыдущей по циклу ситуации выбора, т. е. xj ? C(A)i , xk ? C(A)j ,
. . . xr ? C(A)q , xi ? C(A)r . Действительно, пусть, например, xi ? C(Ar ). Но это влекло бы
/
xi xi , т. е. xi xi (альтернатива лучше самой себя), что невозможно. Можно сказать это и
по другому: одновременное выполнение для двух альтернатив xi и xr соотношений xi xr
и xr xi невозможно.
Предположение о том, что альтернатива по цепочке не может быть выявленно лучше самой
себя, называется обобщенной аксиомой выявленных предпочтений (Generalized Axiom of Revealed
Preference, GARP).
Определение 17:
Говорят, что набор данных о сделанном выборе {(A1 , x1 ), (A2 , x2 ), . . . , (AN , xN )} удовле-
творяет обобщенной аксиоме выявленных предпочтений, если ни для одной из выбранных
альтернатив не выполнено соотношение xi xi .

Как мы видим, если потребитель рационален, то наличие «нестрогого» цикла xj ? Ai ,
xk ? Aj , . . . xr ? Aq , xi ? Ar означает, что все альтернативы здесь эквивалентны для
потребителя: xi ? xj ? xk ? · · · ? xr . Мы будем говорить, что эти альтернативы выявленно
эквивалентны.
Рассмотрим сначала вопрос о том, можно ли набор данных (Ai , xi ), i = 1, . . . , n рацио-
нализовать в случае, когда множество допустимых альтернатив совпадает с наблюдаемыми
выборами: X = X(n) = {xi }i=1,...,n . Требуется найти неоклассические предпочтения , ,?
на X(n), которые могли бы породить такой набор данных.
Отметим, что данное выше определение рационализуемости эквивалентно следующим двум
требованиям:

xi x ? xi x, ( )
xi x ? xi x. ( )

(Доказательство эквивалентности двух определений рационализуемости довольно простое и
оставлено в качестве упражнения. См. задачу 71.)
Итак, если мы найдем неоклассические предпочтения на X(n), которые удовлетворяют
условиям ( ), и ( ), то они рационализуют наблюдаемый нами выбор потребителя. Оказы-
вается, что найти такие предпочтения можно тогда и только тогда, когда наблюдаемый набор
данных удовлетворяет требованиям обобщенной аксиомы выявленных предпочтений. (То, что
это необходимое условие, мы уже видели. Нетривиальным утверждением здесь является до-
статочность.)
Теорема 12:
Набор данных {(A1 , x1 ), (A2 , x2 ), . . . , (AN , xN )} удовлетворяет обобщенной аксиоме вы-
явленных предпочтений тогда и только тогда, когда на X(n) = {xi }i=1,...,n существуют
предпочтения, рационализующие эти данные.
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 48

Доказательство: Поскольку необходимость очевидна, докажем только достаточность.
Докажем менее общее утверждение, предположив для упрощения, что в наших данных нет
выявленно эквивалентных альтернатив, т. е. циклы выявленного предпочтения отсутствуют
(даже «нестрогие»; наличие строгих циклов прямо противоречит GARP). В случае наличия
в наборе данных выявленно эквивалентных альтернатив, приходится вводить множества без-
различия и строить отношения между ними. Это только делает рассуждения несколько более
громоздкими, не меняя их сути (см. задачу 72).
Пользуясь этим упрощением, будем конструировать такие предпочтения на X(n), что лю-
бые две различные альтернативы из X(n) находятся в отношении xi xj или же xj xi .
Требуется упорядочить имеющиеся наблюдения, присвоив им порядковые номера от 1 до n,
таким образом, чтобы x[1] x[2] x[n] , где x[s] — s-е по порядку наблюдение, и что-
···
бы новый порядок соответствовал выявленным предпочтениям, т. е. чтобы для любой пары
альтернатив, такой что xi xj (xi = xj ), выполнялось xi xj .
Будем рассуждать по индукции. На m-м шаге имеем две группы альтернатив: m нуме-
рованных альтернатив, составляющих последовательность x[1] x[2] x[m] , и n ? m
···
ненумерованных. Процедура сортировки построена так, что среди нумерованных альтерна-
тив нет таких, которые бы были выявленно хуже одной из ненумерованных. Найдем среди
ненумерованных альтернатив такую альтернативу, чтобы не нашлось другой, еще ненумеро-
ванной, альтернативы, которая была бы выявленно не хуже ее. Такая альтернатива всегда
найдется, поскольку по предположению выполнена GARP, и выявленно эквивалентных аль-
тернатив тоже нет. (Это доказывается от противного. Начнем с произвольной ненумерованной
альтернативы и найдем ненумерованную альтернативу, которая выявленно не хуже ее. Для
найденной альтернативы найдем ненумерованную альтернативу, которая выявленно не хуже
ее. Поскольку у нас конечное число альтернатив, то этот поиск в конце концов закончится,
иначе получим цикл вида xi xj xr xi , которого, как мы предположили,
···
быть не может.) Присвоим найденной альтернативе номер m + 1, т. е. переведем ее в разряд
ненумерованных. Продолжаем эту процедуру, пока не пронумеруем все альтернативы.
По сути, присвоив указанным образом каждой альтернативе xi порядковый номер [i],
мы построили на X(n) функцию полезности u(xi ) = ?[i]. По построению для любой пары
альтернатив, такой что xi xj , выполняется соотношение u(xi ) > u(xj ). Т. е. эта функция

<< Предыдущая

стр. 10
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>