<< Предыдущая

стр. 100
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Доказательство: Покажем сначала, что максимум функций
vi (?)
x
?i (x) = vi (x) ? c(x),
vj (?)
x
j?I

достигается при x = x . Действительно производная функции ?i (x) в точке x = x равна нулю:
? ?
vi (?)
x
?i (?) = vi (?) ?
x x c (?) = 0.
x
vj (?)
x
j?I

Поскольку ?i (·) — вогнутая функция, c(·) — выпуклая функция, а доли финансирования
общественного блага не зависят от объема его потребления, то, значит, необходимые условия
оптимальности здесь являются достаточными. Следовательно, при x = x функция достигает
?
максимального значения, то есть
x ? argmax ?i (x).
?
x
Отсюда следует, что
x ? argmax
? ?i (x).
x
i?I

Более того, несложно понять, что для любого x ? argmaxx
? ?i (x) имеет место равен-
i?I
23 ? (?) = ? (?), и поэтому
ix ix
ство

V(i) = ?j (?) =
x ?j (?).
x
j=i j=i

Простое вычисление показывает, что ?i = 0 ?i.

Имеет место и обратное утверждение о том, что если налоги Кларка оказались равными
нулю, то это говорит о том, что доли финансирования были пропорциональны предельным
полезностям.
Теорема 125:
Пусть
функции полезности и функция издержек дифференцируемы;
доли финансирования общественного блага не зависят от объема;
все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

?i (x) = vi (x) ? ?i c(x);

был выбран уровень общественного блага x , такой что
?

x ? int X (1) ;
?
23
Читателю предлагается доказать этот факт самостоятельно.
11.8. Механизм Гровса—Кларка 428

налоги Кларка равны нулю.
Тогда выполнено соотношение

vi (?)
x
?i = .
j?I vj (?)
x


Доказательство: Равенство всех налогов Кларка нулю означает, что

?j (?) ?i.
max ?j (x) = x
x
j=i j=i

Это означает, что
?j (?) = 0 ?i.
x
j=i

С другой стороны, из того, что x определяется из условия
?

x ? argmax
? ?i (x)
x
i?I

следует, что
?j (?) = 0.
x
j?I

Таким образом,
?i (?) = 0 ?i.
x
т. е.
vi (?) = ?i c (?) ?i
x x
или
vi (?)
x
?i.
?i =
c (?)
x
А это означает, что
vi (?)
x
?i.
?i =
j?I vj (?)
x

В «достаточно большой» экономике влияние отдельного потребителя на результат рабо-
ты механизма Гровса — Кларка незначителен, соответственно, можно ожидать, что в такой
экономике размер налогов Кларка мал.
Проиллюстрируем это утверждение на примере, показав, что размер налогов Кларка убы-
вает в «достаточно больших» экономиках, являющихся t-репликами исходной.
Чтобы исследовать влияние изменений только размера экономики на величину налога
Кларка и элиминировать влияние изменений оценок общественного блага при росте числа
потребителей, определим реплику следующим образом.
Будем называть экономику t-репликой исходной экономики, если в ней
list??? — существует технология, позволяющая производить x единиц общественного бла-
га, затратив tc(x) единиц частного;
— имеется t ? 1 «двойник» для каждого потребителя исходной экономики и таким обра-
зом t потребителей каждого типа. Соответственно, доля каждого из них в финансировании
общественного блага равна ?i /t. Поэтому чистая полезность x единиц общественного блага у
каждого такого потребителя есть величина

?i (x) = vi (x) ? ?i (x)c(x)
11.8. Механизм Гровса—Кларка 429
Пример 57:
Пусть опять
vi (x) = 2?i ln x, c(y) = y 2 ,
и потребители финансируют общественное благо поровну, т. е. ?i = 1/m. В данном случае
истинная оценка i-го потребителя равна

vi (x) ? c(x)/m = 2?i ln x ? x2 /m.

Если все потребители сообщат свои истинные оценки, то выбранный уровень общественного
блага окажется равным

(2?i ln x ? x2 /m),
x = argmax
? ?i (x) = argmax
i?I i?I

откуда ? ?
v
2?
?i ln x ? x
x = argmax ?2
? = ?i = m? = y .
??
i?I i?I

Далее, ? ?
m ? 1 2?
?j ln x ?
V(i) = max ?j (x) = max ?2 x,
m
j=i j=i
откуда
? ?
m
?j ? ?
V(i) = ?j ln ? ?j =
m?1
j=i j=i j=i
m? ? ?i
?
= (m? ? ?i ) ln m ? (m? ? ?i ),
? ?
m?1
Поскольку
? ?
m?1
?i ? ?
?j (?) =
x ?j ln ? ?i =
m
i?I i?I
j=i j=i

= (m? ? ?i ) ln(m? ) ? (m ? 1)? ,
? ? ?

то налог Кларка для i-го потребителя равен

?i = V(i) ? ?j (?) =
x
j=i

= (m? ? ?i )(ln(m ? ?i /? ) ? ln(m ? 1)) + ?i ? ?.
? ? ?

Покажем, что если реплицировать эту экономику, то налоги Кларка в ней стремятся к
нулю. В t-й реплике будет mt потребителей, которых удобно нумеровать двумя индексами —
i и t, где индекс i означает, что этот потребитель совпадает с i-м потребителем исходной
экономики, т. е. ?it = ?i . Функция издержек в t-й реплике будет иметь вид

c[t] (y) = tc(y) = ty 2 .

Пусть опять потребители сообщают истинные оценки, равные

?it (x) = vit (x) ? c[t] (x)/(mt) = 2?i ln x ? x2 /m.
11.8. Механизм Гровса—Кларка 430

Сумма этих оценок равна
? ?

(2?i ln x ? x2 /m) = t ?2 ?i ln x ? x2 ? =
?it (x) =
t t
i?I i?I i?I

= 2tm? ln x ? tx2 .
?

Отсюда v
[t]
x
? = argmax ?it (x) = m? ,
?
t i?I
то есть выбираемый уровень общественного блага остается таким же, как в исходной экономи-
ке. С другой стороны, для потребителя is
? ?

?jt (x) ?
V(is) = max ? ?is (x)? =
x
t j?I??? i?I
tm ? 1 2
= max 2 (tm? ? ?i ) ln x ?
? x=
m
x
tm? ? ?i
?
= (tm? ? ?i ) ln m ? (tm? ? ?i ),
? ?
tm ? 1
и

?jt (?) ?
x ?is (?) =
x
t i?I i?I
= (tm? ? ?i ) ln(m? ) ? (tm ? 1)? ,
? ? ?

откуда получаем налог Кларка

?is = V(is) ? ?jt (?) +
x ?is (?) =
x
t i?I i?I
= (tm? ? ?i )(ln(1 ? ?i /(? tm)) ? ln(1 ? 1/tm)) + ?i ? ?.
? ? ?

<< Предыдущая

стр. 100
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>