<< Предыдущая

стр. 101
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Переходя к пределу при t > ? получим ?i > 0. Для этого надо воспользоваться тем, что
n ln(1 + 1/n) > 1 при n > ?.

Рассмотрим частный случай, когда x принимает два значения, 0 и 1 и доли ?i постоянны.
Считаем, что vi (0) = 0 ?i ? I и c(0) = 0. Величина vi = vi (1)?vi (0) = vi (1) представляет собой
резервную цену — максимальную цену, которую потребитель i готов заплатить за данное
благо, c = c(1) — издержки на производство общественного блага. Чистая полезность для
i-го потребителя при x = 1 равна

vi (1) ? ?i c(1) = vi ? ?i c,

а при x = 0 равна нулю (vi (0) ? ?i c(0) = 0).
Обозначим через ?i объявленные чистые полезности ?i (1) (считая, что действует ограни-
чение ?i (0) = 0).
Согласно механизму Гровса — Кларка y = 1, если
? i?I ?i (1) > i?I ?i (0), т. е. если
i?I ?i > 0, и y = 0, если
? i?I ?i < 0. Заметим, что в случае, когда i?I ?i = 0, потреби-
телям безразлично, производить ли общественное благо. Для определенности будем считать,
что в этом случае y = 1.
?
Если y = 1, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 0, то V(i) = 0 и налог Кларка
?
равен
?j (0) ? ?j (1) = V(i) ? ?j = ?
?i = ?j .
j=i j=i j=i j=i
11.8. Механизм Гровса—Кларка 431

Если же y = 0, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 1, то
?

V(i) = ?j (1) = ?j 0.
j=i j=i

и налог Кларка равен

?j (1) ? ?j (0) = V(i) ? 0 =
?i = ?j .
j=i j=i j=i

Выигрыш i-го потребителя равен
vi ? ?i c ? ?i ,

если будет принято решение о покупке телевизора и 0 в противном случае.
В Таблице 11.1 представлены возможные варианты равновесия с точки зрения s-го потре-
бителя.

Таблица 11.1.

Выигрыш s-го
Налог
Случай Выбор
Кларка (?s ) потребителя
vs ? ?s c
?j 0и i=s ?i 0 x = 1, x(s) = 1
? 0
i?I

? vs ??s c+
?j 0и i=s ?i <0 i=s ?i i=s ?i
x = 1, x(s) = 0
?
i?I

?
?j < 0 и i=s ?i 0 i=s ?i i=s ?i
x = 0, x(s) = 1
?
i?I

?j < 0 и i=s ?i <0 x = 0, x(s) = 0
? 0 0
i?I



Пример 58 ((расчет налога Кларка)):
Покупка телевизора ценой 6000 руб. тремя соседями по комнате при равных долях финан-
сирования, ?i = 1/3. ?? См. Табл.??


Таблица 11.2. ???

Оценка Полезность
Взнос
полезности телевизора за Налог
i потребителя,
Кларка, ?i
телевизора вычетом взноса,
?i c
?i = vi ? ?i c
потребителем, vi
?1000
1 2000 1000 0
2 2000 2000 0 0
3 2000 5000 3000 1000

Для рассматриваемой экономики с дискретным общественным благом можно формально
доказать, что при реплицировании экономики налоги Кларка становятся равными нулю.
Теорема 126:
Рассмотрим механизм Гровса — Кларка в случае дискретного общественного блага (x
принимает два значения, 0 и 1). Предположим, что потребители называют свои истинные
чистые полезности, и что i?I vi = c. Тогда каковы бы ни были доли ?i , найдется номер
? ?
реплики t такой, что для всех репликах t t , налоги Кларка равны нулю.
11.8. Механизм Гровса—Кларка 432

Доказательство: Пусть потребитель s платит налог Кларка. Тогда выполняется одно из усло-
вий:
(1) ?i 0 и ?i < 0
i?I i=s
или
(2) ?i < 0 и ?i 0,
i?I i=s

где ?i = vi ? ?i c. Рассмотрим первый случай (анализ второго оставляем читателю). Поскольку
по предположению i?I ?i = i?I vi ?c = 0, это означает, что i?I ?i > 0 и величина ?s отри-
цательная. Поэтому найдется ts такое, что ts i?I ?i ??s > 0. Это означает, что налог Кларка
для любого потребителя типа i в реплике t > ts равен нулю. Справедливость утверждения
следует тогда из того факта, что число потребителей в исходной экономике конечно.

Заметим, что если предположение i?I vi = c не выполняется, это утверждение оказы-
вается неверным. Действительно, в этом случае потребитель s, для которого выполняется
соотношение i?I ?i = 0 и i=s ?i < 0 (и любой его двойник) в любой реплике платит налог,
равный величине ??s .
Рассмотрим теперь механизм Гровса — Кларка в контексте модели общего равновесия.
Если общественное благо приобретается на рынке в условиях совершенной конкуренции,
то в процедуре Гровса — Кларка надо c(x) заменить на px. Будем предполагать, в отличие от
рассмотренного выше подхода, что налоги Кларка собираются в денежном выражении, и что
в равновесии налог Кларка перераспределяется между потребителями посредством трансфер-
тов. При этом трансферты фиксированы априорно и решения потребителей не влияют на их
величину (точнее, потребители не учитывают это влияние).
Если G({?i (·)}i ) — функция коллективного выбора, соответствующая механизму Гровса —
Кларка, то спрос на общественное благо определяется на основе задач потребителя, которые
в данном случае имеют следующий вид:

vi (x) ? ?i (x)px ? ?i (?1 (·), . . . , ?m (·)) > max
{xi ,?i (·)}

x = G(?1 (·), . . . , ?m (·)), (11.7)
?i (·) ? ?i .

Данная задача, фактически, является частным случаем задачи потребителя (11.6). Отли-
чие заключается только в том, что мы, пользуясь квазилинейностью функции полезности,
подставили бюджетное ограничение в целевую функцию.
Предложение общественного блага определяется на основе задачи производителя:

py ? c(y) > max (11.8)
y

Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса — Кларка — это равнове-
сие с долевым финансированием и коллективным выбором на основе механизма G({?i (·)}i ).
Конкретизируем это определение для рассматриваемого случая.
Определение 81:
Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса — Кларка есть набор (?, x, y ,
p??
{?i (·)}i ), такой что
# x = y;
??
# объем потребления общественного блага x и оценка ?i (·) являются решениями задачи
?
потребителя (11.7);
# объем производства общественного блага y является решением задачи производителя
?
(11.8) при цене p .?
11.8. Механизм Гровса—Кларка 433

Для этого типа равновесия мы можем доказать аналог второй теоремы благосостояния.
Теорема 127:
Предположим, что в квазилинейной экономике с общественными благами функция из-
держек дифференцируема, и предельные издержки не убывают.
Пусть x — Парето-оптимальный объем общественного блага, и ?i (x) = vi (x) ? ?i (x)px.
?
Тогда (c (?), x, x, {?i (·)}i ) — равновесие с долевым финансированием и механизмом
x ??
Гровса — Кларка.

Доказательство: Очевидно, что x и ?i (·) — решение задачи потребителя. Доказательство,
?
практически совпадает с доказательством Теоремы 122. Кроме того, поскольку c (y) не убы-
вает, то x — решение задачи производителя при p = c (?).
? x

Мы не можем гарантировать справедливость первой теоремы благосостояния для любого
такого равновесия. Однако можно выделить класс равновесий, для которых этот результат
имеет место. Это равновесия, в которых оценка ?i (·) любого потребителя i максимизирует
его полезность при любых оценках, сообщаемых другими потребителями, то есть является
аналогом равновесия в доминирующих стратегиях. Выполнение условий предыдущей теоремы
гарантирует существование таких равновесий.

11.8.1 Задачи
 516. Отметьте верные из нижеприведенных утверждений, и заполните пробел. Если предпо-
чтения потребителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , тогда механизм Гровса — Кларка приводит
1) к Парето-оптимальному состоянию экономики;
2) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если начальные запасы всех потребите-
лями строго положительны;
3) к Парето-оптимальному состоянию экономики при отсутствии ключевых участников;
4) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;
5) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;
6) к тому, что участники объявляют истинные предпочтения.
7) Все вышеприведенные утверждения неверны.
 517. В процедуре Гровса — Кларка налоги Кларка . . .
а) идут на финансирование общественного блага;
б) распределяются пропорционально между участниками;
в) передаются участникам, пострадавшим от выбора того, с кого взят налог;
г) не передаются ни кому из участников.
 518. Укажите, какие из свойств функций полезности (вогнутость, квазилинейность, непре-
рывность, дифференцируемость, локальная ненасыщаемость) и другие дополнительные ха-
рактеристики механизма Гровса — Кларка являются достаточными и/или необходимыми для
того, чтобы этот механизм
1) был применим: . . .
2) корректно выявлял предпочтения: . . .
3) обеспечивал эффективный уровень общественного блага: . . .
4) обеспечивал Парето-эффективное для голосующих состояние: . . .
 519. Три соседа по дому решают, приобрести ли в складчину спутниковую антенну. В про-
даже имеются антенны двух типов — дорогие (ценой 3000 руб.) и дешевые (ценой 1200 руб.).
Каждый из соседей определил лично для себя ценность антенны. Денежные выражения этих
ценностей помещены в таблице:???////////
Чтобы каждый из соседей правдиво сообщил свою оценку, используется механизм Гровса —
Кларка, с равными долями финансирования. Какой из вариантов будет выбран: не покупать
11.9. Задачи к главе 434

Полезность дорогой Полезность дешевой
Имя
антенны, руб. антенны, руб.
A 500 150
B 900 450
C 2000 550


антенну, купить дешевую, купить дорогую? Укажите численные значения результирующих
налогов Кларка. Какой вариант будет выбран при голосовании по правилу простого большин-
ства? Какой выбор является Парето-оптимальным?


11.9 Задачи к главе
 520. Экономика состоит из трех соседей, потребляющих коллективное благо y — внешний
вид их общего двора. Каждый может затрачивать труд hi по уходу за двором, причем y = h1 +
h2 + h3 . Каждый имеет неограниченный запас труда. Функции полезности имеют следующий
вид:
ui = ?h2 + iy.
i

(а) Найдите нерегулируемое равновесие в данной экономике.
(б) Найдите равновесие с равно-долевым финансированием и голосованием по правилу
простого большинства.
(в) Найдите равновесие Линдаля.
 521. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех
потребителей имеют вид ui = ?(i + 1 ? x)2 + zi , а функция издержек имеет вид c(y) = 12y .
1) Найдите Парето-границу.
2) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.
3) Найдите равновесие при финансировании равными долями и голосовании простым боль-
шинством.
4) Найдите доли финансирования, при которых налоги Кларка в процедуре Гровса — Клар-
ка равны нулю.
 522. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех
потребителей имеют вид ui = ?(i + 4 ? x)2 + zi , а функция издержек имеет вид c(y) = 12y .
1) Найдите Парето-границу.
2) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.
3) Найдите условия на доли финансирования, которые гарантируют Парето-оптимальный
исход голосования простым большинством.
 523. Пусть три соседа по даче хотели ли бы подвести к имеющейся общей емкости водопро-
вод с мощностью подачи X тонн/сутки, стоимостью 4 рубля за тонну/сутки, выбирая размер
мощности. Функции полезности имеют вид

ui (X, zi ) = (i + 2) ln X + zi .

(1) Охарактеризуйте Парето-оптимум.

<< Предыдущая

стр. 101
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>