<< Предыдущая

стр. 107
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

 537. Рассмотрите модель Акерлова, в которой товар с вероятностью 1 ? s может иметь
дефект, из-за которого он негоден (s — вероятность того, что товар годен). Все потребители
ценят годный товар в 10 у. е., а негодный — в 0 у. е. Тип продавца определяется величиной
s. Тип s имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Издержки продавцов: c(s) =
(s + 1) у. е. Найдите и опишите равновесие.
 538. На рынке, описываемом моделью Акерлова, имеются товары трех разновидностей: L,
M и H . Оценки продавцов и покупателей приведены в таблице.

L M H
100 400 500
Оценка продавца
200 300 600
Оценка покупателя

а) Найдите равновесие в случае, когда качество товара наблюдают как продавцы, так и
покупатели, и объясните, почему оно будет оптимальным по Парето.
12.2. Модели рынка с асимметричной информацией 458

б) Найдите равновесие в случае, когда качество товара не могут наблюдать как продавцы,
так и покупатели, и объясните, почему оно будет оптимальным по Парето.
в) Найдите условия на доли товаров разного качества, при которых равновесие может быть
оптимальным по Парето (либо, если Парето-оптимум недостижим, приведите рассуждения,
доказывающие это).
 539. Рассмотрите модель Акерлова рынка с асимметричной информацией. Параметр каче-
ства товара q имеет равномерное распределение на отрезке [0, 30]. Пусть оценка продавцом
своего товара (резервная цена для продавца) равна 6 + 0,2q при q 15 и 3 + 0,4q при q 15,
а оценка товара покупателем равна 5 + 0,6q . Каким может быть равновесие на этом рынке?
 540. Решите предыдущую задачу, предполагая, что q имеет равномерное распределение на
отрезке [0, 20], оценка продавцом своего товара равна 150 + q 2 , а оценка товара покупателем
равна 100 + 30q .
 541. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет рав-
номерное распределение на отрезке [s1 , s2 ]. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная
цена для продавца) равна c(s), а оценка товара покупателем равна v(s). На рынке имеются
посредники (оценщики), которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за
цену ? > 0.
(1) Пусть s1 = 10, s2 = 10, c(s) = 2s, v(s) = 3s. Найдите равновесие на рынке в зависимо-
сти от параметра ?.
(2) Пусть s2 = 200, c(s) = 3s, v(s) = 5s, ? = 100. Найдите равновесие на рынке в
зависимости от параметра s1 .
(3) Пусть s1 = 3, s2 = 50, c(s) = 4s ? ? , v(s) = 5s, ? = 20. Найдите равновесие на рынке
в зависимости от параметра ? > 0.
(4) Пусть s1 = 1, s2 = 10, c(s) = 3s, v(s) = 4s + ? , ? = 3. Найдите равновесие на рынке в
зависимости от параметра ? > 0.
 542. Рассмотрите модель Акерлова с дискретным качеством, заданную следующей таблицей.


v1 = 10 у. е. v2 = 30 у. е. v3 = 50 у. е.
Оценки покупателей
c1 = 9 у. е. c2 = 21 у. е. c3 = 45 у. е.
Оценки продавцов
10 млн 10 млн 10 млн
Количество товаров


(А) Каким будет равновесие? Будет ли оно единственным?
(Б) Предположим, что государство вводит обязательный контроль, возмещая издержки
контроля налогом ? с каждого продавца (с единицы). При этом информация о качестве не
разглашается, а запрещается продажа товара самого низкого качества. Найдите равновесие в
зависимости от этих издержек (? у. е., 0 < ? < 9).
(В) Приведет ли введение контроля к росту благосостояния при некоторых параметрах?
 543. [Tirole] Рассмотрим рынок подержанных автомобилей с градациями качества, заданны-
ми непрерывной случайной величиной s, которая равномерно распределена на отрезке [s1 , s2 ].
Продавец оценивает единицу товара качества s как s, а покупатель — как ?s, где ? — ко-
эффициент разный для разных покупателей. Предполагаем, что ? распределены равномерно
на отрезке [?1 , ?2 ]. Покупатели нейтральны по отношению к риску (т. е. покупатель купит
автомобиль с ожидаемым качеством se тогда и только тогда, когда ?se > p.
(i) Найдите объем торговли в условиях полной информации.
(ii) Изобразите кривые спроса и предложения при асимметричной информации. Может ли
быть так, что кривая спроса имеет положительный наклон?
(iii) Найдите конкурентное равновесие. Будет ли объем торговли больше или меньше Па-
рето-оптимального?
12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта 459

(iv) Покажите, что на таком рынке равновесие может быть не единственным, и что равно-
весие с более высокой ценой доминирует по Парето равновесие с более низкой ценой.
(v) Государство вводит стандарт качества. Автомобили с качеством ниже s0 продавать
запрещено. Может ли это увеличить общее благосостояние (с точки зрения суммарного из-
лишка)?
 544. Рассмотрите модель Акерлова в предположении, что переговорная сила принадлежит
покупателю (можно интерпретировать такой рынок как рынок труда). Покажите, что если
c(s) ?s, то в одном из равновесий продавец назначает цену, равную предельным из-
v(s)
держкам.


Приложение 12.A Доказательство теоремы
Майерсона—Саттертуэйта
??
Введем обозначение для ожидаемой платы с точки зрения продавца:
v2
c ?? ?
P (c) = E t(c, v ) = t(c, v)f (v)dv
v1

и с точки зрения покупателя:
c2
v ?c ?
P (v) = E t(?, v) = t(c, v)g(c)dc,
c1

а также ожидаемого объема торговли с точки зрения продавца:
v2
c
X (c) = E x(c, v ) =
?? x(c, v)f (v)dv
?
v1

и с точки зрения покупателя:
c2
X v (v) = E x(?, v) =
?c x(c, v)g(c)dc.
?
c1

В этих обозначениях
Uv (v) = v X v (v) ? P v (v),
?
?

и
Uc (c) = P c (c) ? cX c (c).
?
?

По условиям самовыявления для двух оценок покупателя, v и v , мы можем записать следую-
?
щие два неравенства:
Uv (v) Uv (?) и Uv (?) Uv (v).
v ?v ?

Из этих неравенств следует, что

Uv (v) ? Uv (v) Uv (v) ? Uv (?) Uv (?) ? Uv (?)
?v v ?v
?

или
(v ? v )X v (v) (v ? v )X v (?).
Uv (v) ? Uv (?)
? ?v ? v
Переходя к пределу в этих неравенствах ( v > v ), получим, что
?

dUv (v)
= X v (v).
dv
12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта 460

Отсюда, беря интеграл16 ,
v
X v (z)dz.
Uv (v) = Uv1 (v1 ) +
v1
Поскольку ожидаемый объем торговли X v (z) неотрицателен, то коль скоро условие добро-
вольности участия выполнено для покупателя с оценкой v1 , то оно выполнено для всех поку-
пателей:
Uv1 (v1 ) 0 ? Uv (v) 0 ?v.
Применяя аналогичные рассуждения к поведению продавцов разных типов, получим, что
dUc (c)
= ?X c (c),
dc
откуда
c2
X c (z)dz.
Uc (c) = Uc2 (c2 ) +
c
Кроме того, коль скоро условие добровольности участия выполнено для продавца с издержка-
ми c2 , то оно выполнено для всех продавцов.
0 ? Uc (c) 0 ?c.
Uc2 (c2 )
Вспомним, что
Uv (v) = vX v (v) ? P v (v), Uc (c) = P c (c) ? cX c (c).
и
Отсюда
v
v v
X v (z)dz
P (v) = vX (v) ? Uv1 (v1 ) ?
v1
и c2
P c (c) = cX c (c) + Uc2 (c2 ) + X c (z)dz.
c
Предположим теперь, что равновесие является оптимальным по Парето, т. е. объем тор-
говли в этом равновесии должен удовлетворять условиям x(c, v) = 1 при v > c и x(c, v) = 0
? ?
при v < c.
Покажем, что справедливо следующее соотношение для ожидаемой платы в равновесии:
E[min{c2 , v }?(?, v )] E[max{?, v1 }?(?, v )].
?xc? E t(?, v )
c? c xc?
Рассмотрим сначала покупателя и получим оценку сверху для ожидаемой платы в равно-
весии, т. е. E t(?, v ) E[max{?, v1 }?(?, v )].
c? c xc?
Поскольку Uv1 (v1 ) 0, то
v
v v
X v (z)dz.
vX (v) ?
P (v)
v1
c2
Подставляя X v (v) = x(c, v)g(c)dc, получим, что величина в правой части неравенства равна
?
c1

v c2 v c2
v v
vX (v) ? x(c, v)g(c)dc ?
X (z)dz = v ? x(c, z)g(c)dcdz =
?
v1 c1 v 1 c1
c2 c2 v
v?(c, v)g(c)dc ?
= x x(c, z)dzg(c)dc =
?
c1 c1 v1
c2 v
[v?(c, v) ?
= x x(c, z)dz]g(c)dc =
?
c1 v1
c2
max{c, v1 }?(c, v)g(c)dc.
= x
c1
16
Из приведенных неравенств следует, что Xv (v) — неубывающая функция. Таким образом, она интегриру-
ема.
12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта 461

В последнем равенстве мы использовали, что в Парето-оптимальном равновесии выполнено
v
v?(c, v) ? x(c, z)dz = max{c, v1 }?(c, v).
x ? x
v1

Это равенство можно установить на основе перебора возможных случаев:
Если c = v , то интеграл равен нулю и max{c, v1 } = v .
Если c > v , то x(c, z) = 0 при z v , и таким образом, обе части доказываемого равенства
?
равны нулю.
Если c < v и c v1 , то x(c, z) = 1 при z ? (v1 , v] и поэтому
?
v
x(c, z)dz = v ? v1 = (v ? v1 )?(c, v).
? x
v1

v1 , то x(c, z) = 1 при z ? (c, v] и поэтому
Если c < v и c ?
v
x(c, z)dz = v ? c = (v ? c)?(c, v).
? x
v1

Учитывая это соотношение,
c2
P v (v) max{c, v1 }?(c, v)g(c)dc.
x
c1

Беря интеграл по v , получим оценку сверху для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:
v2
v
P v (v)f (v)dv
E t(?, v ) = E P (?) =
c? v
v1
v2 c2

<< Предыдущая

стр. 107
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>