<< Предыдущая

стр. 108
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

max{c, v1 }?(c, v)g(c)dcf (v)dv
x
v1 c1

или
E[max{?, v1 }?(?, v )].
E t(?, v )
c? c xc?
Для продавца рассуждения аналогичны. Из Uc2 (c2 ) 0 следует
c2
P c (c) cX c (c) + X c (z)dz
c
или v2
c
P (c) min{c2 , v}?(c, v)f (v)dv.
x
v1
Отсюда получим оценку снизу для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:
c2
E t(?, v ) = E P c (?) = P c (c)g(c)dc
c? c
c1
v2 c2
min{c2 , v}?(c, v)g(c)dcf (v)dv
x
v1 c1

или
E[min{c2 , v }?(?, v )].
E t(?, v )
c? ?xc?
Окончательно получаем

E[min{c2 , v }?(?, v )] E[max{?, v1 }?(?, v )].
?xc? E t(?, v )
c? c xc?

Для любой оценки покупателя v ? [v1 , v2 ] и любых издержках продавца c ? [c1 , c2 ], таких
что v > c, выполнено min{c2 , v} > max{c, v1 }, поскольку v1 < c2 . Кроме того, поскольку
12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта 462

c1 < v2 , то вероятность того, что v > c , т. е. того, что x(?, v ) = 1, не равна нулю. Отсюда
? ? ?c?
следует
E[max{?, v1 }?(?, v )] < E[min{c2 , v }?(?, v )].
c xc? ?xc?
Тем самым, получено противоречие, что и доказывает несовместимость трех условий: участия,
самовыявления и эффективности.
Есть вариант этой теоремы для модели, в которой сумма, выплаченная покупателем, не
обязательно равняется сумме, полученной продавцом. Данная модель позволяет рассматри-
вать и такие механизмы торга, которые требуют издержек для своего осуществления, а также
такие, которые предусматривают субсидии третьих лиц. Этот вариант теоремы Майерсона —
Саттертуэйта утверждает, что несовместимы четыре условия. Четвертым условием является
сбалансированность платежей: ожидаемая сумма, выплаченная покупателем, не меньше ожи-
даемой суммы, полученной продавцом. Это условие можно интерпретировать как отсутствие
субсидий со стороны. Заметим, что имеются в виду субсидии не для каждой реализации ти-
пов (?, v ), а в среднем. (Т. е., неявно предполагается возможность воспользоваться услугами
c?
нейтрального к риску стороннего страховщика. Ясно, что это довольно слабое требование.)
Действительно, если в приведенном доказательстве рассмотреть плату, которая может не
совпадать для продавца и покупателя, т. е. tc (c, v) и tv (c, v), то, по аналогии с приведенным
выше доказательством, можно получить неравенство

E tc (?, v ) E tv (?, v ).
E[min{c2 , v }?(?, v )] > E[max{?, v1 }?(?, v )]
c? ?xc? c xc? c?

Таким образом, в такой модели двусторонней монополии Парето-оптимальность равновесия
может иметь место только в играх торга с недобровольным участием или же с субсидиями.
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава




13
Монополия

Как показывают теоремы благосостояния (см. параграф 5.5), мир совершенной конкурен-
ции достаточно просто и хорошо устроен: каждое равновесие оказывается (при естественных
предположениях) Парето-оптимальным и каждое оптимальное по Парето состояние экономики
можно реализовать (при подходящем перераспределении начальных запасов, прав собствен-
ности, налогах и т. д.) как равновесие. Предположения совершенной конкуренции, однако, не
всегда достаточно удовлетворительно описывают ситуации на существующих рынках. Так, с
гипотезой рационального поведения несовместимо предположение о том, что производитель
является ценополучателем (рассматривает цену как неизменную) в ситуации, когда у него
нет конкурентов или их немного. В этой главе мы изучим, чем принципиально рынки, где
отсутствуют условия совершенной конкуренции (так называемые несовершенные рынки), от-
личаются от совершенных рынков.
Анализ несовершенной конкуренции традиционно проводится в рамках квазилинейной эко-
номики (см. гл. 6). При этом предполагается, что рынок данного продукта не связан с осталь-
ными рынками, т. е. неявно подразумевается, что экономика не только квазилинейна, но и
сепарабельна по рассматриваемому благу. Это предположение позволяет проводить частный
равновесный анализ, что существенно упрощает рассуждения. Если бы анализ проводился в
рамках общей модели общего равновесия, то это не позволило бы сделать конкретные предска-
зания о результатах функционирования рынка. Естественно начать с наиболее простого случая
несовершенного рынка, когда имеется всего один производитель рассматриваемого продукта.



13.1 Классическая модель монополии
Монополией называют фирму, которая является единственным производителем некоторого
блага. Напомним классическую модель поведения монополиста.
Предположим, что существует «много» потребителей данного блага, и поэтому условия
совершенной конкуренции выполняются «на стороне потребителей». Мы предполагаем, таким
образом, что потребители рассматривают условия покупки, предлагаемые монополистом, как
данные. В классической модели монополии фирма-монополист предлагает всем потребителям
производимое благо по одной и той же цене p. Исходя из этой цены (являясь ценополучате-
лем), каждый потребитель предъявляет свой спрос на благо. Функцию совокупного спроса,
т. е. сумму индивидуальных функций спроса, мы обозначим через D(p). Будем считать, что
рассматриваемое благо — нормальное, т. е. функция спроса D(p) не возрастает.
Предположим далее, что допустимые технологии фирмы-монополиста описывает функция
издержек c(y). Обычно предполагается, что цель монополиста состоит в максимизации прибы-
ли1 . Таким образом, монополист выбирает цену, являющуюся решением следующей задачи:

?(p) = pD(p) ? c(D(p)) > max .
p

1
Здесь и далее, если не оговорено противное, мы не накладываем ограничение на положительность прибыли.
Предполагается, что производитель не может свернуть производство и уйти из отрасли.


463
13.1. Классическая модель монополии 464

Монополист
p

Потребитель
x
px?c(x)
v(x)?px
Рис. 13.1. Представление классической модели монополии в виде игры


Эту цену pM и соответствующий ему объем производства y M = D(pM ) будем называть равно-
весием при монополии.
Заметим, что модель монополии можно рассматривать как двухэтапную игру с почти совер-
шенной информацией. На первом этапе монополия выбирает цену. На втором этапе потребите-
ли одновременно выбирают количества блага, которые они хотели бы приобрести при данной
цене. Модель монополии является при такой интерпретации редуцированной игрой первого
этапа для описанной динамической игры, а равновесие при монополии можно рассматривать
как исход, соответствующий совершенному в подыграх равновесию этой игры.
Потребители i = 1, . . . , m моделируются квазилинейными функциями полезности вида
ui (xi , zi ) = vi (xi ) + zi , где xi 0 — потребление блага, производимого монополией, zi —
потребление «квазилинейного» блага, которое можно интерпретировать как деньги, оставши-
еся на покупку других благ, а vi (xi ) — денежная оценка данным потребителем потребления
производимого монополией блага в объеме xi . Если монополия предлагает благо по цене p,
то выбор потребителя является решением следующей задачи максимизации потребительского
излишка:
vi (xi ) ? pxi > max .
xi


Поскольку в классической модели монополии цена одинаковая для всех потребителей, то
можно упростить анализ за счет агрегирования потребителей, заменив m исходных потребите-
лей на одного репрезентативного с функцией полезности u(x, z) = v(x) + z . (Способ получения
оценки v(·) на основе оценок vi (·) подробно описан в гл. 6.) Репрезентативный потребитель
является ценополучателем и предъявляет такой же спрос, как и m исходных потребителей.
Модель монополии удобно представить в виде игры с двумя игроками — монополистом
и репрезентативным потребителем. Монополист делает первый ход, выбирая цену p, затем
репрезентативный потребитель выбирает величину покупки (потребления) x 0. Выигрыш
монополиста — это его прибыль px ? c(x), а выигрыш репрезентативного потребителя — его
излишек v(x) ? px. Рис. 13.1 демонстрирует дерево такой игры.
Задачу монополиста можно преобразовать к виду, который во многих случаях бывает более
удобным. Обозначим через p(y) = D?1 (y) обратную функцию спроса. Будем предполагать,
что она определена при2 y 0 (т. е. область значений прямой функции спроса — интервал
[0, ?)). Тогда объем производства монополиста y M находится как решение следующей задачи:

?(y) = p(y)y ? c(y) > max .
y0




2
Данное условие подразумевает, в числе прочего, что функция p(y) определена при y = 0 , что, безусловно,
v
является слишком ограничительным предположением. Так, оно не выполнено для функции p(y) = 1/ y . Тем
не менее, несложно переформулировать дальнейший анализ так, чтобы он подходил для этой и ей подобных
функций.
13.1. Классическая модель монополии 465

13.1.1 Свойства монопольного равновесия
Предположим, что обратная функция спроса и функция издержек являются дифференци-
руемыми при y 0. Производная функции прибыли ?(y) равна

? (y) = p(y) + p (y)y ? c (y).

Объем производства y M , являющийся решением задачи максимизации прибыли, должен удо-
влетворять условию первого порядка

? (y M ) = p(y M ) + p (y M )y M ? c (y M ) 0,

причем по условию дополняющей нежесткости, если решение задачи внутреннее (y M > 0), то
производная равна нулю, т. е.
p(y M ) + y M p (y M ) = c (y M ).
Из условия первого порядка следует, что если p(0) > c (0), то выпуск монополии будет
положительным (y M > 0). Максимум не может достигаться в нуле, так как если y M = 0, то
должно быть выполнено
? (0) = p(0) ? c (0) 0,
что противоречит предположению p(0) > c (0). Если разность p(y) ? c (y) убывает, то условие
p(0) > c (0) является не только достаточным, но и необходимым условием положительности
монопольного выпуска (докажите это самостоятельно). Выполнение этого условия необходимо,
чтобы сделать анализ содержательным, так как при p(0) c (0) нулевой объем производства
выгоден как с точки зрения монополиста, так и с точки зрения общества, и предмет анализа —
рынок — отсутствует3 .
Будем предполагать, что приведенное условие выполнено, так что y M > 0. Условие первого
порядка в этом случае означает, что так же, как и в условиях совершенной конкуренции,
предельная выручка равна предельным издержкам:

p(y M ) + y M p (y M ) = M R(y M ) = M C(y M ) = c (y M ).

Отличие состоит в том, что в ситуации монополии цена, по которой фирма-монополист может
продать продукцию, p(y), меняется в зависимости от количества, поэтому предельная выручка
не равна цене.
Приведем стандартную графическую иллюстрацию равновесия при монополии. Укажем
сначала простой способ4 построения на графике точек кривой предельной выручки M R(y).
Проведем касательную к кривой спроса в точке, соответствующей некоторому объему про-
изводства y . Соответствующая объему производства y точка кривой предельной выручки
? ?
строится следующим образом: проекция точки (?, p(?)) на ось ординат отстоит от точки пере-
yy
сечения с этой осью касательной на в два раза большее расстояние, чем проекция самой этой
точки (?, M R(?)) на кривую спроса (см. Рис. 13.2).
y y
Другими словами, точка предельной выручки для объема производства y лежит на меди-
?
ане треугольника, отсекаемого от положительного ортанта касательной к кривой спроса в той
же точке y . В случае же линейной функции спроса кривая предельной выручки оказывается
?
просто соответствующей медианой треугольника, гипотенуза которого — кривая спроса.
Для решения монополиста можно привести графическую иллюстрацию (Рис. 13.3). Здесь
M R(y) = p(y)+p (y)y — кривая предельной выручки монополиста, а M C(y) = c (y) — кривая
предельных издержек.
3
Анализ равновесия на монопольном рынке с точки зрения благосостояния проводится ниже. Для квазили-
нейной экономики верно p(y) = v (y) , поэтому p(y) ? c (y) = v (y) ? c (y) = W (y) .
4
. Этот способ построения кривой предельной выручки основывается на определении и свойствах касатель-
ной в точке y к кривой спроса.
?
13.1. Классическая модель монополии 466

p


p(?)
y

D
M R(?)
y


MR
y
y
?


Рис. 13.2. Построение кривой предельной выручки

p


pM
D
MC

<< Предыдущая

стр. 108
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>