<< Предыдущая

стр. 109
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

MR y
yM


Рис. 13.3. Равновесие при монополии

Пример 61:
Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a ? by , и издержки заданы функцией
c(y) = cy (a, b, c - константы). Тогда прибыль монополии равна
?(y) = y(a ? by) ? cy = (a ? c)y ? by 2 .
Максимум прибыли будет достигнут при
a?c a+c
yM = и pM = .
2b 2
Условие равновесия при монополии можно представить в виде, явно демонстрирующем
зависимость монопольной цены от издержек производителя и эластичности спроса на его про-
дукцию.
Напомним определение эластичности спроса по цене в заданной точке:
p
?(p) = D (p) .
D(p)
С учетом наших предположений о функции спроса эластичность как функцию от объема
производства можно записать как
1 p(y)
?(y) = .
p (y) y
Поскольку мы предполагаем, что функция спроса убывает, то эластичность отрицательна, и
1 p(y)
|?(y)| = ??(y) = ? .
p (y) y
13.1. Классическая модель монополии 467

Используя эластичность, условие первого порядка можно записать в виде

1
p(y M ) 1 ? = c (y M )
|?(y )|
M



Заметим, что из условий первого порядка при естественном предположении о положитель-
ности предельных издержек (c (y) > 0) следует, что выбранный монополистом объем произ-
водства лежит на «эластичном» участке кривой спроса, т. е.

|?(y M )| > 1.

Другая форма записи условия первого порядка максимума прибыли монополии имеет вид:
p(y M ) ? c (y M ) 1
= .
|?(y M )|
p(y M )

— российского происхождения. ОнВыражение справа называется индексом Лернера5 . Он из-
меряет степень искажения из-за несовершенной конкуренции через относительную величину
отклонения цены от предельных издержек. Заметим, что индекс Лернера принимает значения
меньшие единицы и равен нулю в условиях, когда спрос на продукция данного производителя
является совершенно эластичным (при монопольном выпуске y M ). Стоящая справа обратная
эластичность измеряет степень монопольной власти производителя. Если эластичность спроса
бесконечна, то фирма является ценополучателем и не обладает рыночной властью.
Если обратная функция спроса p(·) и функция издержек монополиста c(·) дважды диф-
ференцируемы, то объем производства y M б максимизирующий прибыль, удовлетворяет также
и условию второго порядка:

2p (y M ) + y M p (y M ) ? c (y M ) 0.

Это условие можно также представить в виде

M R (y M ) M C (y M ).

Данное соотношение означает, что тангенс угла наклона кривой предельной выручки не
превышает тангенс угла наклона кривой предельных издержек в точке их пересечения y M . Дру-
гими словами, кривая предельной выручки пересекает кривую предельных издержек сверху
вниз. Удобно считать, что условие второго порядка выполняется как строгое неравенство, т. е.

2p (y M ) + y M p (y M ) ? c (y M ) < 0.

Это условие вместе с условием первого порядка гарантирует, что удовлетворяющий им объем
производства y M отвечает точке локального максимума прибыли.
Поскольку монополия учитывает, что ее выпуск влияет на цену, то она при прочих равных
условиях не может производить больше, чем фирма в условиях совершенной конкуренции,
которая этого не учитывает. Рассмотрим воображаемую фирму, имеющую ту же функцию
издержек и сталкивающуюся с тем же спросом, что и рассматриваемая фирма-монополист, но
являющуюся ценополучателем. Такая фирма выберет такой объем производства y , что при
?
при фиксированной цене p = p(?) он приносит максимум прибыли, т. е. решает задачу
y

py ? c(y) > max .
y0

5
Американский экономист Абба Лернер предложил использовать показатель монопольной силы, который
впоследствии был назван по его имени, в статье A. P. Lerner: The Concept of Monopoly and the Measurement
of Monopoly Power, Review of Economic Studies 1 (1934): 157–175.
13.1. Классическая модель монополии 468

При дифференцируемости равновесный выпуск y удовлетворяет условию p(?) ? c (?)
? y y 0
(цена не превышает предельные издержки). Если равновесие внутреннее ( y > 0), то цена
?
равна предельным издержкам:
p(?) ? c (?) = 0.
y y

Теорема 128:
Предположим, что (обратная) функция спроса убывает, y M — объем производства,
выбранный монополией, а y — объем производства, который был бы выбран фирмой с
?
такой же функцией издержек, но действующей как ценополучатель6 . Тогда

(i) y M y.
?

(ii) Если, кроме того, функция спроса и функция издержек дифференцируемы, y M > 0
и p (y M ) < 0, то y M < y .
?


Доказательство: По определению, y M максимизирует прибыль монополии. Поэтому

p(y M )y M ? c(y M ) p(?)? ? c(?).
yy y

С другой стороны, выпуск y обеспечивает максимальную прибыль фирме-ценополучателю
?
при неизменной цене p(?). Поэтому
y

p(?)y M ? c(y M ).
p(?)? ? c(?)
yy y y

Сложив эти два неравенства, получим

p(y M )y M p(?)y M .
y

Достаточно рассмотреть случай y M > 0 (при y M = 0 доказываемое утверждение тривиаль-
но). При этом p(y M ) p(?), откуда, учитывая убывание обратной функции спроса, следует,
y
что y M y .
?
Докажем вторую часть теоремы. Так как y M > 0, функции спроса и издержек дифферен-
цируемы, то выполнено условие первого порядка в виде равенства. Поскольку p (y M ) < 0, то
цена в равновесии выше предельных издержек:

p(y M ) ? c (y M ) = ?y M p (y M ) > 0,

Выпуск y , с другой стороны, удовлетворяет соотношению p(?) ? c (?)
? y y 0. Отсюда следует,
M M
что y не может совпадать с y , следовательно, y < y .
? ?

Монотонности функции спроса, вообще говоря, недостаточно для справедливости второй
части утверждения (т. е. условие p (y M ) < 0 теоремы существенно), что показывает контрпри-
мер, показанный на Рис. 13.4, где p(y) = (y ? 1)3 + 1 и c(y) = y 2 /2. В этом примере кривая
предельной выручки касается кривой спроса в точке y = 1, и через ту же самую точку прохо-
дит кривая предельных издержек.
Помимо вышеприведенных свойств монопольного равновесия, представляет интерес пове-
дение решения и его характеристик при изменении параметров модели, что составляет предмет
сравнительной статики, рассматриваемой в следующем параграфе.
6
Понятно, что «конкурентного» объема y может не существовать, если предельные издержки убывают.
?
13.1. Классическая модель монополии 469

p


MC


D

MR
y


Рис. 13.4. Пример совпадения выпусков фирмы-ценополучателя и фирмы-монополиста


13.1.2 Сравнительная статика
Сравнительная статика — это изучение поведения оптимального решения или равнове-
сия при изменении экзогенных параметров. Мы рассмотрим здесь сравнительную статику
равновесия при монополии. Связь монопольного равновесия с функцией издержек описывает
следующее утверждение.
Теорема 129:
Пусть c1 (·) и c2 (·) — функции издержек такие, что разность c2 (y) ? c1 (y) возрастает
на [0, ?), и пусть7 y1 M
0 дает максимум прибыли монополии при издержках c1 (·), а
M M M
y2 0 — при издержках c2 (·). Тогда y1 y2 .
Пусть, кроме того, p(·), c1 (·) и c2 (·) — дифференцируемые функции, причем c1 (y) <
M M M M
c2 (y) при всех y 0. Тогда либо y1 = y2 = 0, либо y1 > y2 .

M M
Доказательство: По условиям максимальности прибыли в обеих сравниваемых точках y1 и y2
имеем:
M M M M M M
p(y1 )y1 ? c1 (y1 ) p(y2 )y2 ? c1 (y2 ),
M M M M M M
p(y2 )y2 ? c2 (y2 ) p(y1 )y1 ? c2 (y1 ).

Отсюда следует, что
M M M M
c2 (y1 ) ? c1 (y1 ) c2 (y2 ) ? c1 (y2 ).
Из возрастания функции c2 (y) ? c1 (y) получаем требуемое соотношение: y1
M M
y2 .
Вторая часть утверждения (с учетом доказанной первой части) следует из сравнения диф-
M M M M
ференциальных характеристик выпусков y1 и y2 при y1 = y2 > 0. (Читателю предлагается
провести соответствующие рассуждения самостоятельно.)

Доказанное утверждение можно проиллюстрировать с помощью рисунка, на котором кри-
вая предельных издержек смещается вверх (M C1 > M C2 , см. Рис. 13.5).
Для частного случая постоянных предельных издержек вышеприведенная теорема может
быть получена непосредственным использованием условий первого и второго порядка.
Условие первого порядка для случая постоянных предельных издержек (c (y) = c) имеет
следующий вид:
y M p (y M ) + p(y M ) = c.
7
Отметим, что мы не предполагаем единственности решения задачи монополиста. В случае множественности
каждое решение, соответствующее издержкам c1 (·) , больше каждого решения, соответствующего издержкам
c2 (·) .
13.1. Классическая модель монополии 470

p
MR

pM
2
M
p1
M C2 D
M C1 y
M M
y 1 y2


Рис. 13.5. Влияние роста предельных издержек на выпуск монополии


Оно задает в виде неявной функции зависимость объема производства, выбираемого моно-
полистом, от величины предельных издержек y M = y(c). В предположении существования
производных обратной функции спроса p(y) и функции y(c), продифференцируем по c тож-
дество
y(c)p (y(c)) + p(y(c)) = c.
Получим соотношение

2p (y(c))y (c) + y(c)p (y(c))y (c) = 1,

или
1
y (c) = .
2p (y(c)) + y(c)p (y(c))

В знаменателе дроби стоит вторая производная прибыли, которая (по условиям второго
порядка) неположительна. Отсюда следует, что y(c) — убывающая функция.
По изменению выпуска можно найти изменение цен по следующей формуле.
dp 1
= p (y(c))y (c) = > 0.
dc 2 + y(c)p (y(c))/p (y(c))
Это соотношение показывает, что равновесная цена растет при росте издержек.
Приведенные соотношения можно применять для анализа влияния на монопольное равно-
весие изменения в величине издержек (шоков со стороны предложения). В качестве примера
такого изменения можно рассмотреть введение налога с продаж. Так, при линейной функции

<< Предыдущая

стр. 109
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>