<< Предыдущая

стр. 11
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

полезности и соответствующие предпочтения рационализуют данные37 .


Мы сконструировали предпочтения на конечном множестве точек X(n) = {xi }i=1,...,n . Если
множество допустимых альтернатив X более широкое, то нужно каким-то образом непротиво-
речиво распространить найденные предпочтения на остальные альтернативы из X . Важный
пример такого построения в частном случае модели поведения потребителя представляет собой
теорема Африата (см. пункт 3.B.2). Есть и более простой, но содержательно менее интересный
способ достроить предпочтения — разделить оставшиеся альтернативы X\X(n) на несколько
«больших» множеств безразличия, и упорядочить их и альтернативы из X(n) соответствую-
щим образом (см. задачу 73).



37
Фактически, мы доказали для конечного множества альтернатив следующее утверждение (теорему о
продолжении, см. напр. П. Фишбёрн: Теория полезности для принятия решений, М.: Наука, 1978, с. 31):

Если отношение R0 транзитивно и иррефлексивно (т. е. представляет собой так называемое стро-
гое частичное упорядочение), то существует его продолжение R , являющееся также транзитив-
ным и иррефлексивным, причем такое, что если x = y , то либо x R y , либо y R x (другими
словами, продолжение R является строгим упорядочением).

Продолжением R0 называется такое отношение R , что x R0 y ? x R y .
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 49

2.A.2 Построение неоклассических предпочтений по функции выбора
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких условиях можно рационализо-
вать не отдельные наблюдения за выбором индивидуума, а в целом функцию выбора C(A),
заданную на некотором достаточно богатом множестве ситуаций выбора A, другими словами,
при каких условиях можно сказать, что эта функция выбора могла быть порождена неоклас-
сическими предпочтениями38 .
Определение 18:
, , ? рационализуют правило выбора C(·) на множе-
Неоклассические предпочтения
стве ситуаций выбора A, если множество выбора C ? (·), порожденное этими предпочтениями,
совпадает с исходным:
C(A) = C ? (A) для всех A ? A

Если потребитель имеет неоклассические предпочтения и делает выбор на их основе, то
соответствующая функция выбора обладает следующими очевидными свойствами:

• Все альтернативы из C(A) эквивалентны:

x, y ? C(A) ? x ? y;

• Если альтернативы x и y принадлежат ситуации выбора A, причем x может быть
выбрана, а y нет, то x лучше, чем y . Т. е.

x ? C(A), y ? A, y ? C(A) ? x
/ y;

По аналогии с предыдущим разделом (пункт 2.A.1) можем ввести понятие выявленных
предпочтений. Идея этого понятия состоит в том, что если была выбрана альтернатива x в
ситуации выбора, когда была доступна также альтернатива y , значит, x не может быть хуже
y . Если же, дополнительно известно, что альтернатива y не могла быть выбрана, значит, x
лучше y .
Определение 19:
Альтернатива x непосредственно нестрого выявленно предпочитается альтернативе y , если
существует ситуация выбора A, такая что x, y ? A и x ? C(A).
Альтернатива x непосредственно строго выявленно предпочитается альтернативе y , если
существует ситуация выбора A, такая что x, y ? A и x ? C(A), но y ? C(A).
/

Нам понадобятся здесь только непосредственные выявленные предпочтения (в отличие от
многошаговых косвенных, которые использовались ранее). Для обозначения непосредственных
выявленных предпочтений будем использовать символы и.
Если C(A) — неоклассическое правило выбора, то, оно должно удовлетворять ряду свойств.
В частности, как обсуждалось выше, отношения и обладают очевидными свойствами:

x y влечет x y,
( )
x y влечет x y.

Интуитивно ясно, что если бы для произвольной функции выбора C(A) мы нашли нео-
классические предпочтения, удовлетворяющие этим свойствам, то тем самым мы бы «почти»
рационализовали C(A). Следующая теорема подтверждает эту интуицию.
38
См. K. J. Arrow: Rational Choice Functions and Orderings, Economica 26 (1959): 121–127.
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 50
Теорема 13:
, , ? связаны с правилом выбора C(A) усло-
Пусть неоклассические предпочтения
? (A), порожденное этими предпочтениями, совпадает
виями ( ). Тогда правило выбора C
с правилом выбора C(A) на всех ситуациях выбора из A, для которых выбор согласно
C(A) не пуст, т. е.

C ? (A) = C(A) для всех A ? A, таких что C(A) = ?.


Доказательство:
(C(A) ? C ? (A))
Пусть x ? C(A). Тогда по определению нестрогого выявленного предпочтения x y для
? (A).
всех y ? A. Следовательно, x y для всех y ? A. Отсюда видно, что x ? C
(C ? (A) ? C(A))
Пусть x ? C ? (A), где C(A) непусто, и пусть y — некоторая альтернатива из C(A). По-
скольку y ? A, то из условия x ? C ? (A) следует, что x y и поэтому x y . Выполнение
соотношения x ? C(A), означало бы, что y x (так как y ? C(A)), т. е. что y
/ x y, а
этого быть не может. Значит, x ? C(A).

Одним из непосредственных следствий неоклассической рациональности выбора являет-
ся так называемая «слабая аксиома выявленных предпочтений» (Weak Axiom of Revealed
Preference, WARP), являющаяся ослабленным вариантом обобщенной аксиомы выявленных
предпочтений из предыдущего раздела39 .
Определение 20:
Слабая аксиома выявленных предпочтений: Пусть A и A — две ситуации выбора, и аль-
тернативы x, y принадлежат как A, так и A . Если x ? C(A), а y ? C(A ), то x ? C(A ).

То, что неоклассическое правило выбора действительно должно удовлетворять слабой ак-
сиоме выявленных предпочтений, следует из ( ). Для того, чтобы это показать, переформу-
лируем слабую аксиому выявленных предпочтений в терминах выявленных предпочтений:

Если x (непосредственно) выявленно не хуже y , то y не может быть (непосред-
ственно) выявленно лучше x, т. е. соотношения x y и y x не могут быть
верными одновременно.

Для того, чтобы данное условие было верным, на самом деле достаточно менее строгой
рациональности (см. параграф 2.B на с. 54). А именно, достаточно, чтобы нестрогое отношение
предпочтения было транзитивным, как демонстрирует следующая теорема.
Теорема 14:
Пусть правило выбора задано на основе нестрогого отношения предпочтения следу-
ющим образом (так, же как выше для неоклассических предпочтений; см. Определение 6):

C(A) = { x ? A | ?y ? A x y},

и отношение транзитивно. Тогда это правило выбора удовлетворяет слабой аксиоме
выявленных предпочтений.
39
«. . . Если индивидуум выбирает комплект один, отвергая комплект два, то он не может одновременно
выбирать второй комплект, отвергая первый» (P. A. Samuelson: A Note on the Pure Theory of Consumer’s
Behaviour, Economica 5 (1938): 61–71). Фактически, требование Самуэльсона несколько слабее слабой аксиомы
выявленных предпочтений, как она здесь сформулирована вслед за Эрроу, поскольку он предполагает, что
выбор потребителя однозначен. Самуэльсон говорит о том, что соотношения x y и y x не могут быть
верными одновременно.
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 51

Доказательство: Пусть в некоторой ситуации выбора A как x, так и y можно было выбрать
(x, y ? A) и среди выбранных альтернатив была альтернатива x (x ? C(A)), другими слова-
ми, пусть x y . По определению правила выбора C(A) это влечет x y . Пусть в некоторой
другой ситуации выбора A как x, так и y можно было выбрать (x, y ? A ) и среди вы-
бранных альтернатив была альтернатива y (y ? C(A )). По определению правила выбора это
означает, что y z ?z ? A . Из транзитивности следует, что то же самое должно быть верным
z ?z ? A . Таким образом, x ? C(A ), то есть слабая аксиома выявленных
для x, т. е. x
предпочтений выполнена.

Другое следствие того, что выбор делается на основе неоклассических предпочтений, со-
стоит в том, что из конечного набора альтернатив индивидуум всегда может сделать выбор.
Другими словами, выполнено следующее утверждение.
Теорема 15:
Если ситуация выбора A ? A состоит из конечного числа альтернатив, то для правила
выбора C(·), соответствующего неоклассическим предпочтениям, выполнено C(A) = ?.


Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения (см. задачу 34 на с. 34).

Таким образом, выполнение «слабой аксиомы выявленных предпочтений» и непустота вы-
бора из конечного числа альтернатив являются необходимыми условиями рационализуемости
функции выбора.
Следующая теорема указывает возможный набор достаточных условий для рационализуе-
мости в смысле условий ( ). В ней указанные необходимые условия рационализуемости функ-
ции выбора дополняются предположением о том, что множество ситуаций выбора является
достаточно «богатым»40 .
Теорема 16:
Пусть правило выбора C(·) определено на множестве ситуаций выбора A и при этом

если ситуация выбора A ? A состоит из конечного числа альтернатив, то множество
C(A) непусто;

C(A) удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений;

множество ситуаций выбора A содержит все двух- и трехэлементные подмножества X ;

и пусть на основе этого правила выбора задано нестрогое отношение предпочтения так,
что оно совпадает с нестрогим отношением выявленного предпочтения , а на основе
,,
нестрогого отношения предпочтения определенны обычным образом предпочтения
?.
, , ? являются неоклассическими и связаны с C(A) соотноше-
Тогда предпочтения
ниями ( ).
40
В частности, предполагается, что оно содержит все двухэлементные подмножества X . Это предположение
в определенном смысле естественно. Действительно, если известно, что неоклассические предпочтения рацио-
нализуют правило выбора C(·) , и все двухэлементные подмножества X входят в A то можно восстановить
предпочтения по C(·) по следующему принципу:

C({x, y}) = x ? x y,
C({x, y}) = {x, y} ? x. ? y
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 52

, , ? являются неокласси-
Доказательство: Для того, чтобы доказать, что предпочтения
ческими, достаточно доказать, что бинарное отношение (и, следовательно, ) является
полным и транзитивным.
Полнота. Пусть x, y — две альтернативы из X . Ситуация выбора {x, y} должна при-
надлежать A, так как это двухэлементное подмножество X . Поскольку по условию C({x, y})
непусто, то либо x ? C({x, y}), либо y ? C({x, y}). То есть выполнено хотя бы одно из
соотношений x y, y x.
Транзитивность. Пусть x, y , z — три альтернативы из X , такие что x yиy z. Си-
туация выбора {x, y, z} должна принадлежать A, так как это трехэлементное подмножество
X.
Покажем, что x ? C({x, y, z}). Если y ? C({x, y, z}), то из слабой аксиомы выявленных
предпочтений следует, что x ? C({x, y, z}), поскольку x y . Если же z ? C({x, y, z}), то,
аналогично, y ? C({x, y, z}) и поэтому опять x ? C({x, y, z}). Поскольку C({x, y, z}) непусто,
то в любом случае x ? C({x, y, z}). Это влечет за собой, что x z.
Условие, что x y влечет x y , выполнено по определению . Докажем, что x y
влечет x y .
Из x y по слабой аксиоме выявленных предпочтений следует, что y x не может
выполняться, т. е. не может быть y x. Как только что доказано, отношение полное,
поэтому x y , откуда по обычному определению отношения следует x y .
Сформулированные утверждения (Теоремы 13 и 16) показывают, что при определенных
условиях подход, берущий за основу правило выбора, эквивалентен подходу, берущему за осно-
ву предпочтения, т. е. правило выбора можно рационализовать неоклассическими предпочте-
ниями. Для этого достаточно предположить, что множество ситуаций выбора A, на котором
определено правило выбора, достаточно богато, правило выбора удовлетворяет слабой аксиоме
выявленных предпочтений, и выбор на A непуст.
Теорема 17:
Пусть правило выбора C(·) определено на множестве ситуаций выбора A и при этом
множество C(A) непусто для всех ситуаций выбора A ? A;
C(A) удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений;
множество ситуаций выбора A содержит все двух- и трехэлементные подмножества X .
Тогда существуют неоклассические предпочтения которые рационализуют это правило
выбора.


2.A.3 Задачи
 69. Множество альтернатив имеет вид X = {a, b, c, d,e,f }. Имеется четыре ситуации выбора:
A1 = {a, c[?] , d[?] , f [+] }, A2 = {a[?] , b[?] , c, d[+] }, A3 = {b, c[?] , e[+] }, A4 = {a[?] , b[+] , e}.
Здесь [+] рядом с альтернативой означает, что она могла быть выбрана в данной ситуации, а
[?] — что она не могла быть выбрана.

(A) Найдите неоклассические предпочтения и, по возможности, функцию полезности, ра-
ционализующие эти данные.
(B) Является ли ответ на предыдущий вопрос единственным?
(C) Удовлетворяет ли этот набор данных обобщенной аксиоме выявленных предпочтений?
 70. Объясните, почему косвенные отношения выявленного предпочтения и облада-
ют следующими свойствами:
z) ? x z) ? x
(x yиy z, (x yиy z,
z) ? x z) ? x
(x yиy z, (x yиy z.
2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения 53

Объясните, почему непосредственные отношения выявленного предпочтения и могут,
вообще говоря, не обладать этими свойствами, если для их построения используется конечный
набор наблюдений за выбором. Приведите соответствующие примеры.
 71. Объясните, почему условия ( ) и ( ) эквивалентны Определению 16.
 72. Измените доказательство Теоремы 12 так, чтобы оно учитывало случай наличия в наборе
данных выявленно эквивалентных альтернатив.
 73. Опишите, каким способом можно с учетом выявленных предпочтений распространить
предпочтения, заданные для конечного числа альтернатив (полученные так, как описано в
Теореме 12), на все множество X .
 74. Каким из следующих свойств и при каких условиях обладает непосредственное нестрогое
отношение выявленного предпочтения (построенное по некоторой функции выбора):
полнота; транзитивность; рефлексивность?
 75. Пусть множество альтернатив X конечно. Тогда функция выбора C(·), определенная на
всех подмножествах множества X , удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений,
если (выберите правильный ответ). . .
• правило выбора всегда непусто;
• выбор индивидуума может быть описан полным и транзитивным нестрогим отношением
предпочтения;
• правило выбора удовлетворяет условию C(A) = A при всех A.
 76. Множество альтернатив X состоит из 3 элементов, x, y и z. Индивидуум осуществ-
ляет свой выбор на его подмножествах A1 = {x, y}, A2 = {x, y, z}. Его выбор описывается
правилом выбора C(·). Какие из нижеприведенных правил выбора не удовлетворяют слабой
аксиоме выявленных предпочтений:

<< Предыдущая

стр. 11
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>