<< Предыдущая

стр. 110
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

спроса и постоянных средних издержках введение налога с единицы продукции при ставке t
приводит к росту цены на t/2. В случае же функции спроса с постоянной эластичностью ? < 0
(т. е., y(p) = ap? ) введение такого налога приводит к росту цены на величину t|?|/(1 + |?|).
(Справедливость этих утверждений проверьте самостоятельно.)
Приведенные свойства позволяют провести анализ потерь благосостояния, связанных с
монопольной организацией рынка, что является основной задачей нашего анализа несовер-
шенных рынков.

13.1.3 Анализ благосостояния в условиях монополии
Как известно, если предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями
полезности, то в качестве индикатора благосостояния может использоваться величина
m
vi (xi ) ? c(y)
W=
i=1
13.1. Классическая модель монополии 471

(см. гл. 6). При этом множество объемов, которые максимизируют благосостояние, является
множеством Парето-оптимальных состояний. При анализе благосостояния вместо m исходных
потребителей можем использовать одного репрезентативного, и записать благосостояние как
функцию производства/потребления рассматриваемого блага:

W (y) = v(y) ? c(y).

Покажем, что объем производства данного блага при монополии не может превышать Па-
рето-оптимальный объем производства. Более того, при естественных предположениях он не
может совпадать с оптимальным, и поэтому меньше оптимального. Доказательство во многом
похоже на доказательство Теоремы 128.
Теорема 130:
Если обратная функция спроса p(y) порождается решением задачи репрезентативного
потребителя и убывает, y M — объем производства, выбранный монополией, а y > 0 —
?
8
Парето-оптимальный объем производства, то

(i) y M y.
?

(ii) Если, кроме того, функция спроса и функция издержек дифференцируемы и p (y M ) <
0 9 , то y M < y .
?


Доказательство: Пусть v(y) + z — функция полезности рассматриваемого репрезентативного
потребителя. Так как p(y) — его обратная функция спроса, то должно выполняться неравен-
ство
v(y M ) ? p(y M )y M v(?) ? p(y M )?.
y y
С другой стороны, по определению оптимума Парето

v(y M ) ? c(y M ) = W (y M ).
W (?) = v(?) ? c(?)
y y y

Сложим эти два неравенства:

p(y M )? ? c(?) p(y M )y M ? c(y M ).
y y

Поскольку y M максимизирует прибыль монополии, то

p(y M )y M ? c(y M ) p(?)? ? c(?).
yy y

Таким образом,
p(y M )?
y p(?)?.
yy
Поскольку, по предположению y > 0, а p(y) убывает, то y M y .
? ?
Докажем теперь вторую часть теоремы. Предположим противное, т. е. y M = y .
?
M
Выбор монополиста при y > 0 должен удовлетворять условиям первого порядка:

p(y M ) + p (y M )y M ? c (y M ) = 0,

откуда p(y M ) ? c (y M ) > 0 (цена выше предельных издержек).
8
В доказательстве не используется ни единственность монопольного равновесия, ни единственность опти-
мального с точки зрения общества объема выпуска. Результат теоремы следует понимать как соотношение
между двумя любыми представителями соответствующих множеств.
9
Это можно гарантировать, если вторые производные vi (·) существуют и отрицательны.
13.1. Классическая модель монополии 472

Рассматривая задачу репрезентативного потребителя для квазилинейной функции полез-
ности легко получить, что обратная функция спроса p(·) задается формулой

p(y) = v (y) ?y > 0,

поэтому, учитывая, что y M = y > 0,
?

v (y M ) ? c (y M ) > 0.

Однако v (y M ) ? c (y M ) есть значение производной функции благосостояния в точке y M . Таким
образом, W (y) не достигает максимума в точке y M . Мы получили противоречие. Значит, y M <
y.
?

Отметим, что, принимая во внимание первую теорему благосостояния, говорящую о Па-
рето-оптимальности множества конкурентных равновесий, из только что доказанной теоремы
следуют все результаты, доказанные нами ранее в Теореме 128.
В предположениях доказанной только что теоремы (пункт 2) имеет место неравенство
W (y M ) > 0, из которого следует, что уровень благосостояния в ситуации монополии ниже
оптимального, т. е.
W (y M ) < W (?).
y
Другими словами, при монополии возникают чистые потери благосостояния (DL > 0), кото-
рые вычисляются по формуле:

DL = W (?) ? W (y M ) = v(?) ? c(?) ? [v(y M ) ? c(y M )] =
y y y
= [(v(?) ? p?) ? (v(y M ) ? py M )] + [(p? ? c(?)) ? (py M ? c(y M ))] =
y y y y
= ?CS + ?P S,

где ?CS — изменение потребительского излишка, а ?P S — изменение излишка производи-
теля.

p
D

pM Треугольник
Харбергера

DL
p
? MC

MR
y
y
?
yM


Рис. 13.6. Иллюстрация чистых потерь благосостояния в монопольной отрасли

Напомним, что величины излишков потребителя и производителя можно с точностью до
константы рассчитать по формулам
y y
[v (t) ? p(y)]dt = [p(t) ? p(y)]dt + const
CS(y) =
0 0
и y
[p(y) ? c (t)]dt + const.
P S(y) =
0
13.1. Классическая модель монополии 473

Сумма излишков потребителя и производителя — это совокупный излишек, совпадающий с
индикатором благосостояния. Таким образом,
y
[p(t) ? c (t)]dt + const.
W (y) =
0

Другими словами, совокупный излишек соответствует площади фигуры заключенной между
кривой спроса, кривой предельных издержек, осью ординат и параллельной ей прямой, про-
ходящей через точку (y, 0).
Чистые потери от монополии также можно представить в виде интеграла:

yM
[p(t) ? c (t)]dt.
DL =
y
?

Графически чистые потери благосостояния, которые несет общество от монополизации рынка,
представляют собой площадь (криволинейного) «треугольника», называемого треугольником
Харбергера (см. Рис. 13.6).10

Пример 62 ((продолжение Примера 61)):
Вычислим чистые потери от монополии в случае линейной функции спроса и постоянных
предельных издержек, т. е. когда p(y) = a ? by и c (y) = c.
Оптимальный объем производства составит
a?c
y=
? ,
b
монополия же, как мы видели, будет производить
a?c
yM = ,
2b
т. е. выпуск монополии в два раза меньше Парето-оптимального количества блага. Чистые
потери от монополии составляют величину

(a ? c)2
y
?
[(a ? bt) ? c]dt =
DL = .
8b
yM

Таким образом, чистые потери от монополии в данном случае составляют четверть (исход-
ного) потребительского излишка:

(a ? c)2
y
?
[(a ? bt) ? (a ? b?)]dt =
CS(?) =
y y .
2b
0

Рассматриваемый пример изображен на Рис. 13.7.

10
По-видимому, впервые понятие чистых потерь было использовано французским инженером Жюлем Дю-
пюи (J. Dupuit: De la Mesure de l’Utilit? des Travaux Publics, Annales des Ponts et Chauss?es 8 (1844): 332–375;
e e
рус. пер. Ж. Дюпюи: О мере полезности гражданских сооружений, в кн. Теория потребительского поведе-
ния и спроса, В. М. Гальперин (ред.), СПб.: Экономическая школа, 1993: 28–66. См. также статью Гарольда
Хотеллинга: H. Hotelling: The General Welfare in Relation to Problems of Taxation and of Railway and Utility
Rates, Econometrica 6 (1938): 242–269; рус. пер. Г. Хотеллинг: Общее благосостояние в связи с проблемами
налогообложения и установления железнодорожных тарифов и тарифов на коммунальные услуги, в кн. Теория
потребительского поведения и спроса, В. М. Гальперин (ред.), СПб.: Экономическая школа, 1993: 142–175.) Ко-
личественные измерения потерь благосостояния были популяризированы Арнольдом Харбергером (A. C. Har-
berger: The Measurement of Waste, American Economic Review 54 (1964): 58–76).
13.1. Классическая модель монополии 474

p
a

pM

DL
c
y
y
?
yM


Рис. 13.7.


13.1.4 Существование равновесия при монополии
Заметим, что множество допустимых решений задачи монополиста (y 0) неограниченно,
и поэтому мы можем гарантировать существование равновесия лишь при некоторых предпо-
ложениях относительно поведения функций спроса и издержек. Приведенная ниже теорема
существования указывает на такие условия.
Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество «возможных» монополь-
ных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функ-
ций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстре-
мумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы доказываем,
что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса задача максимиза-
ции прибыли монополиста на y 0, эквивалентна задаче максимизации на некотором отрезке
действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих двух задач совпадают). А
для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка ниже, чем в какой-либо точке,
принадлежащей этому отрезку.
Теорема 131:
Пусть выполнены следующие условия:

• функция издержек, c(y), непрерывна на [0, ?),

• обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает на [0, ?),

• существует y > 0 такой, что W (y)
? W (?) при y
y y.
?

Тогда равновесие при монополии существует.

Доказательство: Докажем, что при сделанных предположениях ?(y) < ?(?) при y > y .

<< Предыдущая

стр. 110
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>