<< Предыдущая

стр. 114
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Можно продолжать сокращать xl . При некоторой величине xl прирост прибыли от сделки
с господином High не будет покрывать падение прибыли от сделки с господином Low. По-
видимому, должна существовать некоторая величина xl , которая соответствует оптимальной
системе сделок, дающей монополисту максимальную прибыль.
Проанализируем теперь задачу отыскания оптимальной системы сделок формально. Мы
будем далее предполагать, что монополист имеет дело с ml > 0 одинаковыми участниками
типа «господин Low» и mh > 0 одинаковыми участниками типа «господин High». Таким
образом, оптимальная система сделок {(xP , tP ), (xP , tP )} определяется решением следующей
ll hh
задачи:
? = ml tl + mh th ? c(ml xl + mh xh ) > max
xl ,tl ,xh ,th 0

при ограничениях

tl vl (xl ), (1l )
th vh (xh ), (1h)
(условия участия)
vl (xl ) ? tl vl (xh ) ? th , (2l )
vh (xh ) ? th vh (xl ) ? tl . (2h)
(условия самовыявления)

Поскольку монополист максимизирует прибыль, то по крайней мере одно из каждой пары
{(1l ), (2l )} или {(1h), (2h)} ограничений является существенным в точке максимума. В про-
тивном случае возможно увеличить прибыль, повысив, не нарушая ограничений, плату для
того участника, для которого это не выполняется.
Покажем, что для господина Low активным окажется только первое из его ограничений
(добровольность), а для господина High, наоборот, только второе (самовыявление).
Предположим противное. Пусть выполнено соотношение tP = vh (xP ). Подставляя данное
h h
соотношение в ограничение самовыявления этого же участника и произведя соответствующие
упрощения, получим tP vh (xP ).
l l
И используя предположение, что vl (x) < vh (x) ?x > 0, придем к соотношению tP > vl (xP ),
l l
которое противоречит ограничению добровольности (1l ). Таким образом,

vh (xP ) ? tP , = vh (xP ) ? tP . (2h=)
h h l l
13.2. Ценовая дискриминация 488

Предположим теперь, что (2l ) выполнено как равенство, т. е. имеет место соотношение
vl (xP ) ? tP = vl (xP ) ? tP . Сложив его с (2h=), получим
l l h h

vh (xP ) ? vh (xP ) = vl (xP ) ? vl (xP ).
h l h l

/////?????Зачем здесь производные и интегралы? Представим это соотношение в виде

xP xP
h h
vh (x)dx = vl (x)dx.
xP xP
l l


Это равенство противоречит условию, что vl (x) < vh (x) ?x > 0, (подынтегральное выраже-
ние справа всегда меньше, чем подынтегральное выражение слева). Здесь предполагается, что
xP = xP , что читателю предлагается установить самостоятельно. Таким образом, для решения
h l
задачи выполняется соотношение
tP = vl (xP ), (1l =)
l l

Используя существенность ограничений (1l ) и (2h), т. е. соотношения (1l =) и (2h=), мы
можем упростить задачу монополиста, сведя ее к следующей задаче безусловной максимиза-
ции:
ml vl (xl ) + mh [vh (xh ) ? vh (xl ) + vl (xl )] ? c(ml xl + mh xh ) > max .
xl ,xh

В предположении, что монополист предлагает сделки покупателям обоих типов, т. е. xP , xP
l h
положительны, необходимым (и достаточным при данных предположениях о функциях полез-
ности) условием оптимальности сделок является, равенство нулю первых производных макси-
мизируемой функции, т. е. оптимум должен удовлетворять двум следующим соотношениям:

(ml + mh )vl (xP ) ? mh vh (xP ) = ml c (ml xP + mh xP ),
l l l h
vh (xP ) = c (ml xP + mh xP ).
h l h

Итак, в сделке, предназначенной господину High, предлагаемое количество xh совпадает
?
? , (которое он получил бы и при совершенной конкуренции,
с оптимальным количеством xh
и при идеальной дискриминации). Но присутствие господина High оказывает отрицательное
внешнее влияние на господина Low — в предлагаемой ему сделке количество блага ниже,
чем при идеальной дискриминации (и в условиях совершенной конкуренции). Действительно,
первое условие оптимальности, можно представить в виде

ml vl (xP ) = ml c (ml xP + mh xP ) + mh [vh (xP ) ? vl (xP )],
l l h l l

откуда следует, что
vl (xP ) > c (ml xP + mh xP ).
l l h

Поясним оптимальную систему сделок на графике в случае постоянных предельных издер-
жек, c (y) = c (см. Рис. 13.15).
Отметим, что оптимальный контракт для господина Low характеризуется тем, что в точке
xl = xP отношение расстояния между кривыми предельной полезности двух участников к рас-
l
стоянию между кривой предельной полезности господина Low и кривой предельных издержек
равно отношению количества участников типа господина Low к количеству участников типа
господина High:
vh (xP ) ? vl (xP ) vh (xP ) ? vl (xP ) ml
l l l l
= = .
vl (xP ) ? c (ml xP + mh xP ) vl (xP ) ? c mh
l l h l
Когда количество потребителей каждого типа одинаково, соответствующие отрезки равны,
что и изображено на графике.
13.2. Ценовая дискриминация 489

p
vl (x)
C



B vh (x)
F
G
c
E
A D x
x?
xP xP
l l h



Рис. 13.15.


Согласно оптимальной системе сделок господин High заплатит за свой пакет сумму, равную
площади A+B +D+E +F +G, а господин Low заплатит за свой пакет сумму, равную площади
A + B.
Приведем сравнение оптимальной пакетной дискриминации с идеальной в частном слу-
чае, когда предельные издержки постоянны. Напомним, что при идеальной дискриминации
монополист предлагает два пакета {(x? , t? ), (x? , t? )}, такие что
ll hh

vl (x? ) = c и vh (x? ) = c,
l h
t? = vi (x? ) и t? = vi (x? ).
l l h h


1. Поскольку vh (xP ) = c (ml xP + mh xP ) = c, то xP = x? , т. е. господин High приобретает
h l h h h
то же количество благ. Однако он заплатит меньше, чем при идеальной дискриминации.
Действительно плата господина High, t? = vi (x? ), равна площади A+B+C+D+E+F +G,
h h
что больше, чем
tP = t? + tP ? vh (xP ) = t? ? [vh (xP ) ? vl (xP )]
h h l l h l l

(см. равенство (2h=)), что равно площади A+B +D +E +F +G. Разница, vh (xP )?vl (xP ),
l l
есть площадь фигуры C . Таким образом присутствие господина Low (и то обстоятель-
ство, что монополист их не может различать) оказывает благоприятное влияние на уро-
вень благосостояния господина High (тем большее, чем больше число участников первого
типа).

2. При идеальной дискриминации если vl (0) > c (и, следовательно, vh (0) > 0), то x? > 0
l
? > 0. При оптимальной пакетной дискриминации эти условия гарантируют лишь,
и xh
что xP > 0 (вне зависимости от количества участников обоих типов, ml и mh ), т. е.
h
любой участник типа «господин High» будет обслуживаться. Однако участники типа
«господин Low» будут обслуживаться только если доля таких участников достаточно
велика. (Докажите это самостоятельно.)

3. Если присутствует хотя бы один участник типа «господин High», объем потребления
блага потребителями типа «господин Low» будет меньше, чем при идеальной дискрими-
нации. Это означает, что будут иметь место потери благосостояния:

DL = ml · [vl (x? ) + vh (x? ) ? (x? + x? )c] ? [vl (xP ) + vh (xP ) ? (xP + xP )c] =
l h l h l h l h

= ml · vl (x? ) ? vl (xP ) ? (x? ? xP )c > 0.
l l l l
13.2. Ценовая дискриминация 490

Итак, от невозможности различения участников монополистом при пакетной дискримина-
ции Low ничего не выиграл и не проиграл (он выплачивает весь свой потребительский из-
лишек), хотя его уровень потребления изменился, выиграл High (получил выигрыш, равный
площади C ), а монополист проиграл (его прибыль уменьшилась на величину mh · ( площадь
C) + ml · ( площадь G)). В результате возникли чистые потери благосостояния, измеряемые
величиной ml · ( площадь G).
На Рис. 13.16 представлена оптимальная схема в другой системе координат. Поскольку у
господина Low не остается потребительского излишка, то его кривая безразличия, проходящая
через точку (xP , tP ), должна также проходить через начало координат (напомним, что мы
ll
приняли vl (0) = 0). Господин High безразличен к выбору между пакетами, поэтому его кривая
безразличия, проходящая через точку (xP , tP ), должна проходить также и через точку (xP , tP ).
ll hh


vh (x)?[vh (xP )?tP ]
h h
t(x)
tP
h
vl (x)

tP
l




x
xP xP
l h



Рис. 13.16.


Пример 67:
v
Пусть функции полезности господина Low и господина High имеют вид ul (xl , zl ) = xl + zl
v
и uh (xh , zh ) = 2 xh + zh , соответственно, а функция издержек линейна: c(x) = cx. Тогда
оптимальные объемы xP , где i = l, h, для этих типов потребителей находятся из системы
i
уравнений:

1 1
? mh
(ml + mh ) = ml c,
P P
2 xl xl
1
= c.
P
xh

Если ml > mh , то решение этой системы уравнений существует (в противном случае будут
предлагаться сделки только одного типа):

2
ml ? mh 1
P
xP =
xl = , .
h
c2
2ml c

При этом плата за приобретаемое благо будет равна:

ml ? mh
tP = vl (xP ) = ,
l l
2ml c
3ml + mh
tP = vh (xP ) ? vh (xP ) + vl (xP ) = .
h h l l
2ml c
13.2. Ценовая дискриминация 491

В частном случае, когда ml относится к mh как 2 к 1, получим
1 1
xP = , xP = 2 ,

<< Предыдущая

стр. 114
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>