<< Предыдущая

стр. 118
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

будем рассматривать и кооперативное поведение (картель). Для каждой из этих гипотез о
последовательности принятия решений можно, кроме того, предполагать, что стратегии всех
участников (при одновременном принятии решений) или лидера (при последовательном при-
нятии решений) сводятся к назначению либо цен, либо объемов выпуска. Таким образом, по-
лучаем четыре типа некооперативного поведения (см. Таблицу 14.1).

Таблица 14.1.

одновременно последовательно
модель
количество модель Курно
Штакельберга
модель
цена ценовое лидерство
Бертрана

В дальнейшем будем считать, что некоторую однородную продукцию производят n фирм,
технологии которых представлены возрастающими функциями издержек cj (yj ), j = 1, . . . , n,
1
Нужно оговориться, что модели монополии, особенно модели дискриминации, все же включают в себя
некоторые элементы теории игр, поскольку кроме решений монополиста рассматривается также реакция на
них потребителей.


503
14.1. Модель Курно 504

а спрос на продукцию задается убывающей обратной функцией спроса p(Y ). Областью опре-
деления для выпусков yj везде будем считать [0, +?). Кроме того в дальнейшем мы не будем
учитывать требование неотрицательности прибыли отдельного олигополиста. Под равновесием
совершенной конкуренции будем понимать такое равновесие, которое установилось бы, если
бы производители игнорировали влияние своего объема выпуска на цену, т. е. являлись бы
ценополучателями2 .


14.1 Модель Курно
В модели Курно производители принимают решение относительно объемов производства и
принимают эти решения одновременно, исходя из своих предположений о решениях, принятых
другими (их конкурентами).
Пусть yji — ожидаемый (производителем j ) объем производства производителя i, ye —
e
?j
e , . . . , ye e e ). Тогда при выпуске y
составленный из этих ожиданий вектор (yj1 j,j?1 , yj,j+1 , . . . , yjn j
e (y , ye ) = p(y + e ) · y ? c (y ). Выпуск,
его (ожидаемая) прибыль составит величину ?j j ?j i=j yji
j j jj
максимизирующий прибыль при ограничении yj 0, зависит, таким образом, от ожидаемого
объема производства других производителей. Если ожидаемые объемы производства совпада-
ют с фактическими, то такое состояние можно назвать равновесием олигополии. Описанное
понятие равновесия было введено в прошлом веке французом Антуаном Огюстеном Курно3 .
Это равновесие часто называют равновесием Курно. Следует отметить, однако, что было бы
точнее говорить о равновесии Нэша в модели Курно 4 .
Определение 82:
? ?
Равновесие Курно — это совокупность выпусков (y1 , . . . , yn ) и ожиданий (ye , . . . , ye ),
?n
?1
?
таких что выпуск любого производителя, yj , максимизирует его прибыль на [0, +?) при ожи-
даниях ye , и ожидания всех производителей оправдываются, т. е. ye = y? , j = 1, . . . , n.
?j ?j ?j

?
Другими словами, yj является решением задачи

?
yi ) · yj ? cj (yj ) > max .
?j (yj ) = p(yj +
yj 0
i=j

e
Зависимость оптимального объема производства yj от i=j yi называют функцией откли-
ка, если решение задачи единственно (отображением отклика в общем случае). Будем обозна-
чать ее через Rj (Y?j ), где Y?j = i=j yi — (ожидаемый) суммарный объем производства
блага всеми другими производителями. Если оптимальный отклик однозначен, то равновесие
? ?
Курно (y1 , . . . , yn ) является решением следующей системы уравнений5 :
? ?
yj = Rj ( yi ), j = 1, . . . , n.
i=j

? ?
Пусть (y1 , . . . , yn ) — равновесие Курно. Тогда выполняются следующие соотношения (усло-
вия первого порядка):
?j (yj ) = p(Y ? ) + p (Y ? ) · yj ? cj (yj ) 0,
? ? ?

n
где Y ? = ?
i=1 yi , причем
? ?
?j (yj ) = 0, если yj > 0.
2
Англ. price-taker.
3
A. Cournot: Recherches sur les principes math?matiques de la th?orie des richesses, Paris: Hachette, 1838.
e e
4
Часто равновесие в рассмотренной модели называют также равновесием по Нэшу — Курно.
5
Если отклики неоднозначны, то нужно решить аналогичную систему включений.
14.1. Модель Курно 505

Данные соотношения — необходимые условия первого порядка, представляют дифферен-
циальную характеристику равновесия Курно.
Проиллюстрируем с помощью графика равновесие Курно для случая двух фирм (дуопо-
лии) (Рис. 14.1). На рисунке изображены кривые постоянной прибыли (?1 (y1 , y2 ) = const и
?2 (y1 , y2 ) = const) и кривые отклика (y1 = R1 (y2 ) и y2 = R2 (y1 )), которые можно определить
как множество точек, где касательные к кривым равной прибыли параллельны соответствую-
щим осям координат. Точка пересечения кривых отклика является равновесием Нэша — Курно
(y? ).

y2 y1 =R1 (y2 )

?1 (y1 ,y2 )=const

?2 (y1 ,y2 )=const


y? y2 =R2 (y1 )




y1



Рис. 14.1.



14.1.1 Свойства равновесия Курно в случае постоянных и одинаковых
предельных издержек
Проведем анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные
издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т. е. cj (yj ) = c. Кроме того будем
предполагать выполнение условий:
(C 1 ) p(0) > c,
? ?
(C 2 ) существует Y , такой что p(Y ) < c,
(C 3 ) функция p(·) дифференцируема и p (y) < 0 ?y > 0.

Симметричность равновесия и положительность выпусков
Докажем, что объемы производства у всех олигополистов совпадают. Пусть это не так, и
? ?
существуют два производителя, j и k , такие что yj > yk . Запишем условия первого порядка,
? ?
учитывая, что выпуск yj положителен, а yk может быть равен нулю:

p(Y ? ) + p (Y ? ) · yj ? c = 0
?


и
p(Y ? ) + p (Y ? ) · yk ? c
?
0.

Вычитая из второго неравенства первое, получим

p (Y ? )(yk ? yj )
? ?
0.
14.1. Модель Курно 506

Поскольку p (Y ? ) < 0, то yk
? ?
yj . Получили противоречие. Таким образом, объем произ-
водства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков: yj = Y ? /n ?j = 1, . . . , n, а условия
?

первого порядка совпадают и приобретают вид
Y?
? ?
?c
p(Y ) + p (Y ) 0,
n
причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск Y ? положителен.
Если p(0) > c, то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, посколь-
ку, подставляя Y ? = 0 в условия первого порядка, получаем

p(0) ? c 0.

Существование и единственность равновесия
Таким образом, при p(0) > c, выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют
вид
?
?Y
?
? c = 0,
p(Y ) + p (Y )
n
Заметим, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполнены
условия C 1 -C 3 и, кроме того, функция p(·) непрерывно дифференцируема, поскольку в этих
условиях непрерывная функция p(Y ) + p (Y ) Y ? c принимает значения разных знаков на
n
? ].
концах интервала [0, Y
Если дополнительно потребовать, чтобы функция p(y +y )·y была вогнута по y при любом
? ?
0, то можно утверждать, что ( Yn , . . . , Yn ) — равновесие Курно (выполнено условие
y
второго порядка).
Заметим при этом, что поскольку при сделанном предположении функция p(y)y вогнута, то
равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.
Действительно, функцию p(Y ) + p (Y ) Y ? c можно представить в виде
n

n?1
1
? c.
[p(Y ) + p (Y )Y ] + p(Y )
n n
Первое слагаемое здесь не возрастает, а второе убывает при n > 1, поэтому функция p(Y ) +
p (Y ) Y ? c убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.
n
В точке Y = 0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство)
равновесия быть не может, поскольку, как мы предположили, p(0) > c.

Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной кон-
куренции
Следует отметить три характеристики равновесия Курно:
1. Объем выпуска Y ? в равновесии Курно выше, чем объем выпуска y M при монополии (или
картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).
?
2. Объем выпуска Y ? в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска Y в условиях
совершенной конкуренции (ситуации, когда производители рассматривают цены как данные).
3. При росте числа участников объем выпуска в равновесии Курно приближается к равно-
весию при совершенной конкуренции.
Теорема 133:
? ?
Пусть (y1 , . . . , yn ) — равновесие Курно, и (?1 , . . . , yn ) — равновесие при совершенной
y ?
6 . Предположим, что выполнены условия
M
конкуренции, y — равновесие при монополии
6
Как нетрудно показать, тот же самый объем производства будет выбран, если олигополисты образуют
картель (см. ниже).
14.1. Модель Курно 507

C 1 -C 3 . Тогда
n n
? ?
? yi > y M .
Y= yi > Y =
?
i=1 i=1


Доказательство: Как было показано выше, равновесие Курно удовлетворяет условию
Y?
? ?
? c = 0.
p(Y ) + p (Y )
n
Как было доказано в главе о монополии, выполнение C 1 -C 3 гарантирует, что y M > 0, поэтому
y M удовлетворяет условию первого порядка

p(y M ) + p (y M )y M ? c = 0.

С другой стороны, при совершенной конкуренции, как известно, цена равна предельным из-
держкам:
?
p(Y ) ? c = 0.
Вычитая из третьего соотношения первое, получим
?
Y

<< Предыдущая

стр. 118
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>