<< Предыдущая

стр. 119
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

p(Y ) ? p(Y ? ) = p (Y ? ) .
?
n
Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция p(·) убывает, то

Y ? > Y.
?

Предположим, что y M > Y ? . Тогда увеличение выпуска одного из производителей (напри-
мер, первого) на величину Y ? ? y M приводит к росту суммарной прибыли (до монопольно вы-
сокой). Поскольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться,
прибыль первого возрастает, что противоречит предположению о том, что Y ? — совокупный
выпуск в равновесии Курно.

Рост выпуска с ростом числа участников
Теорема 134:
Предположим, что выполнены условия C 1 -C 3 и, кроме того, функция p(·) непрерывно
?
дифференцируема. Пусть Yn — суммарный выпуск в равновесие Курно с n участниками.
Тогда
? ?
lim Yn = Y.
n>?


?
Доказательство: Для любого Yn выполняются соотношения (условия первого порядка)
?
Yn
? ?
? c = 0.
p(Yn ) + p (Yn )
n
?
? ?
Предыдущая теорема гарантирует ограниченность последовательности Yn (Yn ? (0, Y )).
Так как функция p(·) непрерывно дифференцируема, то из этого следует ограниченность
? ?
p (Yn )Yn . Отсюда
?
? Yn
lim p (Yn ) = 0.
n
n>?

Следовательно,
?
lim p(Yn ) = c.
n>?
14.1. Модель Курно 508

14.1.2 Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о функ-
ции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результаров при
отказе от этого предположения.

Существование равновесия
Прежде обсудим условия на функции издержек и функции спроса, при которых равновесие
Курно существует.
Теорема 135:
Предположим, что в модели Курно выполнены следующие условия:
1) функции издержек cj (y) дифференцируемы при всех возможных объемах выпуска
(неотрицательных y ),
2) мбратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает при всех неотрицательных y ,
3) функция p(y + y ) · y вогнута по y при любом y 0,
4) функции издержек cj (y) выпуклы (функции предельных издержек не убывают)7 ,
5) существуют yj > 0 (j = 1, . . . , n) такие, что p(yj ) < cj (yj ) при yj yj .
? ?

? ? ?
yj < yj ?j 8 .
Тогда равновесие Курно (y1 , . . . , yn ) существует, причем 0 ?

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. Ниже приводится воз-
можная схема такого доказательства.
1) Докажите, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов
ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем
yj . Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством.
?
Можно использовать тот же способ доказательства, что и для монополии. При этом анало-
y
гом совокупного излишка будут функции 0 p(t)dt ? cj (y) ? cj (0). При доказательстве удобно
учитывать, что для каждой фирмы j суммарный выпуск других фирм Y?j есть константа,
поэтому задача максимизации прибыли по yj сводится к максимизации прибыли по Y при
ограничении Y Y?j .
2) Докажите непрерывность и вогнутость функции прибыли каждого участника при любых
ожиданиях относительно выбора других.
3) Воспользуйтесь теоремой Нэша.
8
Условия данной теоремы гарантируют нам существование равновесия Нэша — Курно в чистых стратегиях.
Если мы откажемся от предположений 3)-4), то, применяя теорему Гликсберга:
??«Пусть I, {Xi }I , {ui }I — игра m лиц в нормальной форме. Если для каждого iXi — компакт-
ное выпуклое подмножество метрического пространства, а ui — непрерывная функция, тогда в
этой игре существует равновесие Нэша в смешанных стратегиях» —
(см. I. L. Glicksberg: A Further Generalization of the Kakutani Fixed Point Theorem with Application to Nash
Equilibrium Points, Proceedings of the American Mathematical Society 3 (1952): 170–174, рус. пер. И. Л. Гликс-
берг: Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с приложением к ситуациям равнове-
сия в смысле Нэша, в кн. Бесконечные антагонистические игры, Н. Н. Воробьев (ред.), М.: Физматгиз, 1963:
493–503), можно доказать существование равновесия в смешанных стратегиях. При этом поменяется только
второй этап доказательства теоремы.
8
Обычно условия 3) и 4) теоремы существования заменяют следующие условия Хана: p (Y ) + p (Y )yj < 0
и p (Y ) ? cj (yj ) < 0 ?j, Y, yj (F. H. Hahn: The Stability of the Cournot Oligopoly Solution, Review of Economic
Studies 29 (1962): 329–331). Заметим, что они также гарантирует строгую вогнутость функции прибыли и,
таким образом, вместе с другими условиями теоремы — существование равновесия Курно. Анализ поведения
олигополии в ситуации, когда выполнено условие Хана, оказывается достаточно простым и приводится в за-
? ?
дачах. Условие 5) заменяет условие: существуют Y такое, что p(Y ) = 0 для всех Y Y . В приводимых
ниже доказательствах существования и свойств равновесия Курно акцент делается на свойствах равновесия и
рационального поведения, которые можно рассматривать как аналоги выявленных предпочтений.
14.1. Модель Курно 509

Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало
полезен для анализа олигополистического рынка. Без информации, характеризующей равно-
весие, модель Курно, как и любая модель, оказывалась бы мало пригодной. Следующие далее
утверждения позволяют сравнить равновесие Курно с монопольным равновесием и равнове-
сием в ситуации совершенной конкуренции.

Сравнение равновесия Курно с равновесием при совершенной конкуренции
Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в
отрасли при разных типах ее организации.
Теорема 136:
? ?
(1) Предположим, что равновесие Курно, (y1 , . . . , yn ), и равновесие при совершенной
конкуренции, (?1 , . . . , yn ), существуют, и обратная функция спроса p(y) убывает. Тогда
y ?
суммарный выпуск в равновесии Курно, Y ? = n yi , не превышает суммарный выпуск
?
i=1
?
в условиях совершенной конкуренции, Y = n yi . i=1 ?
(2) Если, кроме того, выполнены следующие условия:
?
- Y > 0,

- обратная функция спроса, p(y), и функции издержек, cj (y), j = 1, . . . , n дифференциру-
емы при всех неотрицательных y , причем p (Y ? ) < 0

- функции издержек, cj (y), выпуклы,
?
то Y ? меньше Y .
?
Доказательство: (1) Поскольку выпуск yj максимизирует прибыль j -ого производителя в
?
предположении, что суммарный объем производства остальных равен Y?j , то должно выпол-
нятся неравенство
p(Y ? )yj ? cj (yj ) p(Y?j + yj )?j ? cj (?j ).
? ? ?
?y y
С другой стороны, yj дает j -му производителю максимум прибыли в предположении, что
?
?
цена неизменна и равна p(Y ), поэтому
?? ?
?y
p(Y )?j ? cj (?j ) p(Y )yj ? cj (yj ).
y

Если сложить эти два неравенства, то получается

p(Y ? )yj + p(Y )?j
? ? ??
?y p(Y?j + yj )?j + p(Y )yj .
?y ()

Предположим, что существует такая фирма j , которая в равновесии Курно производила
бы больше, чем в конкурентном равновесии:
?
y j > yj .
?

При убывающей функции спроса из этого неравенства следует, что

p(Y?j + yj ) > p(Y ? ).
?
?

Поскольку yj
? 0, то из этого следует, что
?
p(Y ? )?j .
p(Y?j + yj )?j
?y y

Сложив это неравенство с неравенством ( ), получим

p(Y ? )yj + p(Y )?j
?
p(Y ? )?j + p(Y )yj
??
?y y
14.1. Модель Курно 510

или
[p(Y ? ) ? p(Y )](yj ? yj )
?
? ? 0.
?
Поскольку мы предположили, что yj > yj , то
?

p(Y ? ) ?
p(Y ).

В силу убывания функции спроса это означает, что

Y? ?
Y.
?
С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено yj yj .
?
?.
?
Суммируя по j , получаем, что Y Y
(2) Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Пред-
?
положим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т. е. Y ? = Y .
? ?
Может быть только два случая: либо yj = yj для всех j = 1, . . . , n, либо yj < yj для
? ?
?
некоторого j . И в том и в другом случае существует производитель j , для которого yj > 0
?
и yj
? yj . Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно
имеет вид
p(Y ? ) + p (Y ? )yj = cj (yj ).
? ?


Из выпуклости функции издержек следует, что
?
cj (?j )
y cj (yj ).

Таким образом
p(Y ? ) + p (Y ? )yj
? ?
cj (?j ) = p(Y ).
y
? ?
С учетом того, что Y ? = Y , имеем p(Y ? ) = p(Y ), откуда

p (Y ? )yj
?
0,

что противоречит тому, что функция спроса имеет отрицательный наклон. Таким образом
?
Y? <Y .

Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность
В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т. е. cj (y) = c(y),
можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие бу-
дет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек
несложно доказать единственность равновесия.
Теорема 137:
? ?
Предположим, что равновесие Курно (y1 , . . . , yn ) существует и выполнены следующие
условия:

1) издержки у всех производителей одинаковы, cj (y) = c(y), j = 1, . . . , n, причем c(y) —
выпуклая функция;

2) обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c(y), дифференцируемы;

3) p(0) > c (0);

4) p(y) убывает.

<< Предыдущая

стр. 119
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>