<< Предыдущая

стр. 120
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Тогда верно следующее:
14.1. Модель Курно 511

(i) Равновесие симметрично:
Y?
?
?j = 1, . . . , n.
yj
=
n
и каждая фирма выпускает в равновесии положительное количество продукции, т. е.
?
yj > 0, ?j = 1, . . . , n.

(ii) Если, кроме того, функция p(y)y вогнута, то равновесие единственно.


Доказательство: (i) Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производи-
тель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, пред-
? ?
положим, что существуют производители j и k , такие что yj > yk . Тогда из условий первого
порядка следует, что
p (Y ? )(yk ? yj ) c (yk ) ? c (yj ).
? ? ? ?


Но левая часть данного соотношения положительна, а правая — неположительна. Таким об-
разом, выпуски всех производителей совпадают:

Y?
?
?j.
yj =
n
Суммарный выпуск отрасли, Y ? , не может быть равным нулю. В противном случае из
условия первого порядка любого из участников следует, что

p(0) ? c (0) 0,
?
а это противоречит условию теоремы. Таким образом, yj > 0, ?j .
(ii) Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае пере-
писать в виде
? Y?
?Y
?
?c
p(Y ) + p (Y ) = 0,
n n
или
Y?
n?1 1
p(Y ? ) + [p(Y ? ) + p (Y ? )Y ? ] ? c = 0.
n n n
Из вогнутости функции p(y)y следует, что ее производная p(y) + p (y)y не возрастает. Ана-
логичным образом, из выпуклости функции c(y) следует неубывание предельных издержек.
Учитывая убывание обратной функции спроса p(y), получаем, что выражение в левой ча-
сти дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность объема Y ? ,
удовлетворяющего данному уравнению.

Нижеприведенный пример показывает, что в случае, если функции издержек олигополи-
стов не совпадают, то нельзя гарантировать симметричность равновесия и положительность
выпусков; объемы выпуска в модели Курно у некоторых участников могут быть и нулевыми.
Пример 70:
2 2
Пусть в дуопольной отрасли p(y) = 4?4y , c1 (y1 ) = 2y1 , c2 (y2 ) = 2y2 +3y1 . Легко проверить,
что равновесием Курно в этом случае будет точка y1 = 1/3, y2 = 0.

Еще один пример показывает, что условие дифференцируемости функции спроса важно
для симметричности и единственности равновесия Курно.
14.1. Модель Курно 512
Пример 71:
Пусть в дуопольной отрасли
?
?7 ? y
, y 1,
?
?
6
p(y) =
?
?7 ? 6y, y 1
?


и cj (y) = y 2 /4, j = 1, 2. В такой отрасли помимо симметричного равновесия, (1/2, 1/2),
существует бесконечно много асимметричных равновесий, в которых суммарное производство
равно 1, например, (1/3, 2/3)9 .

Поведение равновесия в модели Курно при росте количества фирм
Тот, кто изучал начальный курс микроэкономики, мог встретить неформальное утвержде-
ние о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что
доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно
рассматривать как не обладающего рыночной властью (т. е. ценополучателя, принимающего
цены как данные), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совер-
шенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников
олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной. Докажем
вариант этого утверждения в частном случае, когда в модели Курно издержки у всех произ-
водителей одинаковы, т. е. cj (y) = c(y).
Теорема 138:
? ?
Предположим, что равновесие Курно, (y1 , . . . , yn ), и равновесие при совершенной кон-
куренции, (?1 , . . . , yn ), существуют при любом n 2, и выполнены следующие условия:
y ?

1) cj (y) = c(y), j = 1, . . . , n, причем c(y) — выпуклая функция;

2) обратная функция спроса p(y) строго убывает, а функция p(y)y вогнута10 ;

3) обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c(y), непрерывно дифференци-
руемы при всех неотрицательных y ,

4) c (0) > 0, p(0) > c (0) и существует величина Y ? такая, что p(Y ? ) = c (0).

Тогда
?
(i) суммарный выпуск в равновесии Курно c n участниками, Yn , растет с ростом n и
меньше величины Y ? ;
? ?
(ii) выпуск отдельного участника, Yn /n, падает с ростом n, причем limn>? Yn /n = 0;

(iii) прибыль отдельного участника,
? ?
? Yn Yn
?c
p(Yn ) ,
n n
падает с ростом n;
9
Заметим, что если выполнены условия теоремы существования (Теорема 135), то при одинаковости функ-
ций издержек всегда существуeт симметричное равновесие. В силу симметричности задач олигополистов мы
имеем одинаковые отображения отклика R(y1 , . . . , yi?1 , yi+1 , yn ) . Предположим, что yk = ys , где k, s = i и рас-
смотрим отображение R(y, . . . , y, y, y) . Оно по теореме Какутани (с помощью которой доказывается теорема
Нэша) имеет неподвижную точку, что и доказывает существование симметричного равновесия.
10
Эта величина равна суммарной выручке предприятий отрасли от продажи продукции в объеме y .
14.1. Модель Курно 513
? ?
(iv) limn>? Yn = limn>? Yn = Y ? , где Yn — суммарный выпуск тех же предприятий в
?

условиях совершенной конкуренции.

Доказательство: Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников
в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:
Y?
?
?j,
yj =
n
и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать
в виде
? Y?
?Y
?
p(Y ) + p (Y ) =c .
n n
Решение этого уравнение будет единственным (по Теореме 137) равновесием Курно.
(i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий
Курно в ситуации с n + 1 и n олигополистами:
? ?
Yn+1 Yn+1
? ?
p(Yn+1 ) +p (Yn+1 ) =c .
n+1 n+1
и
? ?
? Yn Yn
?
p(Yn ) +p (Yn ) =c .
n n
Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополисти-
ческой отрасли возрастает с ростом числа олигополистов.
? ?
Предположим, обратное: существует такое n, что Yn+1 Yn . При этом из убывания??
обратной функции спроса следует, что
?
? Yn
? ?
np(Yn+1 ) np(Yn ) и 0 > p (Yn ) ??.
n
Из вогнутости функции p(y)y следует, что ее производная не возрастает, т. е.
? ? ? ? ? ?
p(Yn+1 ) + p (Yn+1 )Yn+1 p(Yn ) + p (Yn )Yn .
Сложив три последние неравенства, получим
? ? ? ?
np(Yn+1 ) + p(Yn+1 ) + p (Yn+1 )Yn+1 >
?
? Yn
? ? ? ?
> np(Yn ) + p (Yn ) + p(Yn ) + p (Yn )Yn .
n
или
? ?
Yn+1 ? Yn
? ? ?
(n + 1) p(Yn+1 ) +p (Yn+1 ) > (n + 1) p(Yn ) + p (Yn ) .
n+1 n
Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка
? ?
для Yn+1 и Yn соответственно, поэтому
? ?
Yn+1 Yn
c >c .
n+1 n
Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому дан-
ное неравенство может быть выполнено только если
? ?
Yn+1 Yn
> ,
n+1 n
? ?
но это противоречит исходному предположению о том, что Yn+1 Yn . Таким образом, мы
?
доказали, что последовательность объемов производства Yn возрастает по n 11 .
Величина Y1? представляет собой монопольный выпуск, т. е. Y1? = y M . Из доказанного следует, что Yn > y M
?
11

при всех n > 1 .
14.1. Модель Курно 514
?
Чтобы доказать, что Yn < Y ? достаточно доказать, что Yn
? Y ? , поскольку, согласно
?
?
Теореме 136, Yn < Yn .
Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрас-
танием предельных издержек и определением величины Y ? , запишем
?
Yn
c (0) = p(Y ? ).
?
p(Yn ) = c
n

?
Поскольку, по предположению, обратная функция спроса убывает, это означает, что Yn
Y ?.
?
(ii) Мы хотим доказать, что Yn /n является убывающей последовательностью.
Поскольку p(y)y — вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому
? ? ? ? ? ? ? ? ?
p(Yn )Yn + [p(Yn ) + p (Yn )Yn ](Yn+1 ? Yn )
p(Yn+1 )Yn+1

или
? ? ? ? ? ? ?
[p(Yn+1 ) ? p(Yn )]Yn+1 p (Yn )Yn (Yn+1 ? Yn ).
Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде
? ? ?
Yn+1 ? Yn
n+1 ? Yn
? ?
[p(Yn+1 ) ? p(Yn )] (n + 1) p (Yn ) .(?)
?
n Yn+1 n

Пусть доказываемое неверно и для какого-то n выполнено
? ?
Yn+1 Yn
,
n+1 n
т. е. ? ?
Yn+1 ? Yn
(n + 1) 1.
?
Yn+1
?
Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что p (Yn ) < 0, что
?

<< Предыдущая

стр. 120
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>