<< Предыдущая

стр. 121
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

n+1 ? Yn
? ?
[p(Yn+1 ) ? p(Yn )] p (Yn ) ,
n n
?
поскольку p (Yn ) < 0.
? ?
Так как Yn+1 > Yn , то из убывания обратной функции спроса при n 2 следует, что

n+1
? ?
[p(Yn+1 ) ? p(Yn )] n ? < 0.
n
? ?
Из вогнутости функции p(y)y следует, что ее производная не возрастает, т. е. при Yn+1 > Yn
выполнено
? ? ? ? ? ?
p(Yn+1 ) + p (Yn+1 )Yn+1 p(Yn ) + p (Yn )Yn .
Складывая три последние неравенства, получим, что
? ? ? ?
np(Yn+1 ) + p(Yn+1 ) + p (Yn+1 )Yn+1 <
?
? Yn
? ? ? ?
np(Yn ) +p (Yn ) + p(Yn ) + p (Yn )Yn .
n
Приводя подобные и разделив на n + 1, получим
? ?
Yn+1 ? Yn
? ? ?
p(Yn+1 ) +p (Yn+1 ) < p(Yn ) + p (Yn ) .
n+1 n
14.1. Модель Курно 515

Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что
? ?
Yn+1 Yn
c <c .
n+1 n

Из выпуклости функции издержек получаем требуемое
? ?
Yn+1 Yn
< .
n+1 n
Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т. е.
?
Yn
lim = 0,
n>? n

следует из того, что суммарный выпуск Yn ограничен сверху величиной Y ? .
?
? ?
(iii) Так как спрос убывает, то при Yn+1 > Yn
? ? ? ?
p(Yn+1 )Yn+1 < p(Yn )Yn+1 .

Это неравенство можно переписать в виде
? ?
? ?
Yn+1 Yn+1
? Yn Yn
? ?
?
p(Yn+1 ) < p(Yn ) + p(Yn ) .
n+1 n n+1 n

С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей
касательной, поэтому
? ?
? ? ?
Yn+1 Yn+1
Yn Yn Yn
?
c c +c .
n+1 n n n+1 n

Комбинируя два неравенства, получим, что
? ?
?
? ?
Yn+1
Yn Yn
?
< ?n ? ? c ? ?
?n+1 p(Yn )? ,
n n+1 n

где мы обозначили через ?n прибыль отдельного участника в отрасли с n фирмами в точке
равновесия Курно:
? ?
? Yn Yn
?c
?n = p(Yn ) .
n n
Из условий первого порядка
? ?
Yn ? Yn
?
?
c p(Yn ) =p (Yn ) < 0.
n n
Y? ?
Поскольку n+1 < Yn , то ?n+1 < ?n .
n+1 n

(iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:
? ?
? Yn Yn
?
p(Yn ) +p (Yn ) =c .
n n

Здесь Yn лежит в интервале [0, Y ? ]. Так как производная обратной функции спроса непрерыв-
?

на, то первый сомножитель во втором слагаемом — величина ограниченная, на этом интервале
она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель
14.1. Модель Курно 516

заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину,
которая убывает до нуля при n > ?. Поэтому
?
? Yn
= 0.12
lim p (Yn )
n
n>?
?
Так как Yn /n стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции из-
держек
?
Yn
> c (0).
c
n
Таким образом,
?
p(Yn ) > c (0)
Вспоминая, что c (0) = p(Y ? ), получим из непрерывности и убывания обратной функции
спроса, что
Yn > Y ? .
?

?
Поскольку конкурентный объем производства, Yn , лежит между Yn и Y ? , то он стремится к
?

тому же пределу:
Yn > Y ? .
?

Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов — это довольно реалисти-
ческая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда произ-
водителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой
может продаваться продукция, и поэтому сама модель Курно как модель, описывающая фе-
номен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.
Следующий пример иллюстрирует приведенные выше утверждения в случае линейной
функции спроса и постоянных предельных издержек.
Пример 72:
Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a ? by , а функции издержек имеют вид
cj (yj ) = cyj (j = 1, . . . , n), так что каждая фирма максимизирует

?j = (a ? bY )yj ? cyj .

Условия первого порядка максимума прибыли имеет вид

a ? bY ? ? byj = c.

Просуммировав по j , получим
na ? nbY ? ? bY ? = nc.
Таким образом, равновесный объем выпуска равен
n(a ? c)
Y? = .
(n + 1)b
В частности, при дуополии
2(a ? c)
Y? = .
3b
Равновесная цена равна
n(a ? c) b a?c
a + nc
p? = a ? b = =c+
(n + 1)b n+1 n+1 b
? ?
12
Таким образом, мы видим, что при большом количестве олигополистов, p(Yn ) ? c (Yn /n) , т. е. цена, по
которой они продают продукцию, близка к предельным издержкам.
14.1. Модель Курно 517

Выпуск в случае совершенной конкуренции был бы равен
a?c
?
Y= .
b
?
То есть, как и следует из теории, Y ? Y . При увеличении количества фирм в олигополии
суммарный объем производства все больше сближается с объемом при совершенной конкурен-
ции:
n(a ? c) a?c
lim = ,
n>? (n + 1)b b
а цена стремится к предельным издержкам:
a + nc
lim = c.
n>? n + 1




14.1.3 Равновесие Курно и благосостояние
Рассмотрим олигопольную отрасль, характеристики которой удовлетворяют условиям Тео-
ремы 137, в том числе, все фирмы имеют одинаковые функции издержек, c(·). Как было
доказано в Теореме 137, в такой отрасли существует симметричное равновесие Курно, причем
объем производства положителен:
Y?
?
> 0 ?j.
yj =
n
Проанализируем это равновесие с точки зрения благосостояния общества.
Предположим, что спрос на продукцию олигополистов в модели Курно получается как
результат выбора репрезентативного потребителя с квазилинейной функцией полезности:

u(x, z) = v(x) + z.

Напомним, что в этом случае для положительных x выполнено соотношение (при отсутствии
ограничений на знак z или достаточно больших доходах потребителя)

p(x) = v (x).

Индикатор благосостояния имеет вид

Y
W (Y ) = v(Y ) ? nc ,
n
а ее производная равна

Y Y
W (Y ) = v (Y ) ? c = p(Y ) ? c .
n n

В равновесии Курно
Y? Y?
?
+ p(Y ? ) ? c
p (Y ) = 0,
n n
откуда видна его неоптимальность с точки зрения благосостояния:
Y?
? ?
W (Y ) = ?p (Y ) > 0.
n
Отсюда следует, что если немного увеличить суммарный выпуск по сравнению с Y ? , то бла-
госостояние общества возрастет.
14.1. Модель Курно 518

Рассмотрим функцию
? ? ? ?
Y ? n?1?
1 Y?
?
W (Y, n) = ?p(Y )Y ? nc v(Y ) ? nc
+ .
n n n n

Ее можно интерпретировать, как взвешенное среднее совокупной прибыли и индикатора
благосостояния.13 Покажем, что равновесный объем продаж олигополистического рынка в
модели Курно максимизирует данную функцию. Производная этой функции равна

<< Предыдущая

стр. 121
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>