<< Предыдущая

стр. 123
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

n (Yn?1 ) > 0.
? ?
n?1 n?1
? ? n
?

Таким образом мы получили, что
?n?1 > 0.
?

Пусть, как и выше, n(f ) — количество фирм в отрасли при постоянных издержках f . По
определению 0 > ?n(f )+1 .
14.1. Модель Курно 521

Таким образом, ?n?1 > ?n(f )+1 . В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем
?

n ? 1 < n(f ) + 1
?

или
n ? 1.
n(f ) ?
Это означает, что число фирм в отрасли, n(f ), не может быть меньше оптимального числа
фирм, n , более чем на 1 фирму. Приведенный ниже пример иллюстрирует случай, когда оп-
?
тимальное с точки зрения общественного благосостояния количество фирм в отрасли больше,
чем при свободном входе для модели Курно.
Пример 73 ((продолжение Примера 72)):
Для рассмотренного случая, как не трудно получить, прибыль каждого олигополиста равна

(a ? c)2 1
· ? F.
?j (n) =
(n + 1)2
b

Индикатор благосостояния в зависимости от n равен

(a ? c)2 (a ? c)2
1
? ? nF.
W (n) =
2(n + 1)2
2b b

a?c
? 1, где [·] — оператор взятия целой
Легко проверить, что для данного примера n(F ) = v
bF
части. В случае если a = 28, b = 10, c = 10, F = 10 легко проверить что n(F ) = 0. Для
этих значений параметров значение индикатора благосостояния при n принимающих значения
от 0 до 2 равны соответственно W (0) = 0, W (1) = 172 , W (2) = ? 56 . Откуда следует, что
80 10
n = 1 — точка локального максимума. Непосредственным рассмотрением графика функции
?
W (n) убеждаемся, что n = 1 будет глобальным максимумом этой функции (после n = 2 эта
?
функция начинает убывать).

14.1.5 Задачи
 576. Покажите, что в случае внутреннего равновесия
а) индекс Лернера для отдельного олигополиста,

p ? cj
,
p

прямо пропорционален его доле (?j ) в суммарном выпуске и обратно пропорционален эластич-
ности спроса;
б) средневзвешенный (с весами ?j ) индекс Лернера прямо пропорционален индексу Гер-
финдаля и обратно пропорционален эластичности спроса.
Индекс концентрации Герфиндаля определяется как
2
H= ?j .

в) Докажите, что при данном количестве фирм в отрасли индекс Герфиндаля минимален
в симметричном равновесии.
г) Рассмотрите симметричные равновесия в «симметричной» отрасли с постоянной эла-
стичностью спроса. Объясните, почему средний индекс Лернера обратно пропорционален ко-
личеству олигополистов.
14.1. Модель Курно 522

 577. Докажите, что в равновесии Курно прибыль любой фирмы ниже, чем в случае, когда
эта фирма является монополистом на том же рынке. (Имеется в виду нетривиальное равнове-
сие Курно, когда хотя бы одна другая фирма имеет ненулевой объем производства.)
 578. Докажите существование равновесия в модели Курно, используя приведенные в тексте
указания.
 579. Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла,
обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (условие
Хана)
p (Y ) + p (Y )yj < 0 и p (Y ) ? cj (yj ) < 0 ?j, Y, yj .
 580. Докажите, что если обратная функция спроса убывает и вогнута, то отображение от-
1 2 1 1
клика каждого производителя не возрастает, т. е. если Y?j < Y?j , то для любых yj ? Rj (Y?j )
2 2 1 2
и yj ? Rj (Y?j ) выполнено yj yj .
Указание. Воспользуйтесь тем, что
1 1 1 2 2 2 2 1
?j (Y?j , yj ) ?j (Y?j , yj ) и ?j (Y?j , yj ) ?j (Y?j , yj ).
1 2
Предположите противное (yj < yj ) и используйте определение вогнутости функции.
 581. Предположим, что обратная функция спроса p(y) и функция издержек cj (y) дважды
непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию:

p (Y ) + p (Y )yj < 0 и p (Y ) ? cj (yj ) < 0 ?j, Y, yj . (?)

Докажите что при этих предположениях существует единственное равновесие Курно, а
если, кроме того, функции издержек всех производителей одинаковы, то это равновесие сим-
? ?
метрично, т. е. yj = yi ?j, i
Указание. Рассмотрите функции двух переменных

Tj (Y, yj ) = p(Y ) + p (Y )yj
? ?
Заметим, что если (y1 , . . . , yn ) — равновесие Курно, то

Tj (Y ? , yj )
?
0,

причем
Tj (Y ? , yj ) = 0, если yj > 0,
? ?

где Y ? = n yj .?
j=1
(1) Покажите, что в условиях (?) функции Tj (Y ? , yj ) монотонно убывают по обеим пере-
?

менным. Обозначим это предположение (??).
(2) Пусть существуют два равновесия Курно, такие что для суммарных объемов производ-
ства выполнено Y 1 Y 2 . Докажите от противного, используя (??), что yj 1 2
yj ?j . Таким
образом, суммарный объем производства в двух равновесиях Курно должен совпадать. Рас-
смотрите случай Y 1 = Y 2 и докажите, что yj = yj ?j .
1 2

(3) Докажите симметричность равновесия.
 582. Пусть так же, как и в предыдущей задаче, выполнено предположение (??). Рассмотрите
? ? ?
внутренние равновесия Курно при n и n + 1 участниках. Покажите, что Yn+1 > Yn и yj,n+1 <
?
yj,n .
 583. Предположим, что предельные издержки у всех производителей постоянны и выполне-
но предположение (??).
Покажите, что если предельные издержки одного из производителей сокращаются при
неизменных предельных издержках других производителей, то их выпуск в равновесии Курно
сокращается, а совокупный выпуск возрастает.
14.2. Модель дуополии Штакельберга 523

 584. Предположим, что выполнено условие (?), функции издержек олигополистов одинако-
вы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной совокупного
излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли.
 585. Покажите, что если в дуополии Курно предельные издержки производителей удовле-
творяют соотношению
c1 (y) > c2 (y),

то в равновесии первый производит меньше, чем второй.
 586. Пусть издержки олигополистов в модели Курно постоянны cj (yj ) = Cj , а обратная
функция спроса равна
p(y) = exp(?y).

Показать, что у игроков есть доминирующие стратегии, и найти их. Как будет изменяться
суммарный выпуск отрасли с увеличением числа продавцов?
 587. Докажите, что если постоянные издержки олигополистов равны нулю, а переменные из-
держки одинаковы, то прибыль олигополистов положительна и при росте числа олигополистов
стремится к нулю.



14.2 Модель дуополии Штакельберга
В модели дуополии, предложенной Генрихом фон Штакельбергом15 , первый участник вы-
бирает производимое количество, y1 , и является лидером. Под этим мы подразумеваем то,
что второй участник (ведомый) рассматривает объем производства, выбранный первым участ-
ником, как данный. Другими словами, второй участник сталкивается с остаточным спросом,
который получается вычитанием из исходного спроса величины y1 . Ориентируясь на этот
остаточный спрос, второй участник выбирает свой объем производства, y2 (или цену, что в
данном случае одно и то же). Лидер «просчитывает» действия ведомого, определяет, какая це-
на устанавливается на рынке при каждом y1 , и исходя из этого максимизирует свою прибыль.
В остальном модель повторяет модель Курно.
Эта модель приложима, например, к ситуации, когда в новой отрасли лидирующая фирма
выбирает размер строящегося завода (мощность) и решает «работать на полную мощность».
Считается, что она хорошо описывает рыночную ситуацию в случае, когда фирма-лидер, зани-
мает значительную долю рынка. Так или иначе, ситуации, представленные в модели не столь
и редки на реальных рынках. С точки зрения теории игр модель Штакельберга представляет
собой динамическую игру с совершенной информацией, в которой лидер делает ход первым.
Дерево игры изображено на Рис. 14.2.

1-й (лидер)
y1
2-й (ведомый)
y2
?1 =y1 p(y1 +y2 )?c1 (y1 )
?2 =y2 p(y1 +y2 )?c2 (y2 )
Рис. 14.2. Дуополия Штакельберга

S S
Выпуски (y1 , y2 ), соответствующие совершенному в подыграх равновесию этой модели при-
нято называть равновесием Штакельберга. Вектор выпусков не есть собственно совершенное в
15
H. von Stackelberg: Marktform und Gleichgewicht, Wien, Berlin: Julius Springer, 1934.
14.2. Модель дуополии Штакельберга 524

подыграх равновесие. По определению совершенное в подыграх равновесие — это набор стра-
S S S
тегий, (y1 , r2 (·)), где r2 (·) — равновесная стратегия ведомого игрока. (Стратегия ведомого
игрока должна быть функцией r2 (y1 ), которая сопоставляет каждому ходу лидера некоторый
отклик.)
Определение 83:
S S
Вектор выпусков (y1 , y2 ), называется равновесием Штакельберга, если существует функ-
ция (представляющая равновесную стратегию ведомого)
S
r2 (·) : R+ > R+ ,

такая, что выполнены два условия:
S
1) Выпуск y2 = r2 (y1 ) максимизирует прибыль ведомого на [0, +?) при любом выпуске
лидера, y1 0.
S
2) Выпуск y1 является решением следующей задачи максимизации прибыли лидера:
S
?1 = y1 p(y1 + r2 (y1 ))y1 ? c1 (y1 ) > max .
y1 0


Равновесие Штакельберга находят с помощью обратной индукции. Лидер, назначая вы-
пуск, рассчитывает отклик ведомого, R2 (y1 ). Отклик будет таким же, как в модели Курно.
Вообще говоря, отклик может быть неоднозначным. Тогда различные функции r2 (y1 ), удовле-
творяющие условию:
r2 (y1 ) ? R2 (y1 ) ?y1
могут задавать различные равновесия.
Мы будем далее предполагать, если не оговорено противное, что оптимальный отклик од-
нозначен, т. е. R2 (y1 ) — функция16 . Задача лидера в этом случае имеет вид:

?1 = y1 p(y1 + R2 (y1 ))y1 ? c1 (y1 ) > max .
y1 0

S S S S S
Если решением этой задачи является y1 , и y2 = R2 (y1 ), то (y1 , y2 ) — равновесие Штакельбер-
га.

y2

yS
y2 =R2 (y1 )




y1


Рис. 14.3.

Дуополию Штакельберга можно представить графически (см. Рис. 14.3). Разницу между
равновесиями в моделях Курно и Штакельберга иллюстрирует Рис. 14.4. Лидер выбирает точ-
ку на кривой отклика, которая бы максимизировала его прибыль. В равновесии кривая равной
прибыли лидера касается кривой отклика.
16
Однозначность отклика можно, например, гарантировать, если выполнено условие Хана (см. сноску 8).
14.2. Модель дуополии Штакельберга 525

y2 yC
yS

y2 =R2 (y1 )


<< Предыдущая

стр. 123
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>