<< Предыдущая

стр. 124
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


y1 =R1 (y2 ) y1


Рис. 14.4.


14.2.1 Существование равновесия Штакельберга
Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга.
Теорема 139:
Предположим, что в модели Штакельберга выполнены следующие условия:

1) функции издержек cj (y) дифференцируемы,

2) обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает,

3) существуют yj > 0j = 1, 2 такие, что p(yj ) < cj (yj ) при yj
? yj .
?
S S S
Тогда равновесие Штакельберга (y1 , y2 ) существует, причем 0 yj < yj .
?

Доказательство: Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство существо-
вания равновесия при монополии.
1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгод-
но выбирать объем производства, превышающий объем y2 , в том смысле, что ?2 (y1 , y2 ) <
?
?2 (y1 , y2 ) ?y1 при y2 > y2 . Рассмотрим разность прибылей:
? ?

?2 (y1 , y2 ) ? ?2 (y1 , y2 ) = p(y1 + y2 )y2 ? p(y1 + y2 )?2 ? (c2 (y2 ) ? c2 (?2 )).
? ?y y

Эту разность можно преобразовать следующим образом:

?2 (y1 , y2 ) ? ?2 (y1 , y2 ) =
?
y2 y2
= p(y1 + y2 )y2 ? p(y1 + y2 )?2 ? [p(y1 + t) ? c2 (t)]dt.
?y p(y1 + t)dt +
y2
? y2
?

Поскольку p(y) убывает, то p(y1 + y2 ) < p(y1 + t) при t < y2 и p(y1 + t) p(t) при y1 0,
поэтому

?2 (y1 , y2 ) ? ?2 (y1 , y2 ) <
?
y2
< p(y1 + y2 )y2 ? p(y1 + y2 )?2 ? p(y1 + y2 )(y2 ? y2 ) + [p(t) ? c2 (t)]dt =
?y ?
y2
?
y2
= (p(y1 + y2 ) ? p(y1 + y2 ))?2 + [p(t) ? c2 (t)]dt < 0.
?y
y2
?

Таким образом, прибыль ведомого при y2 = y2 выше, чем при выпуске любого большего
?
количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном y1
14.2. Модель дуополии Штакельберга 526

0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, y2 ]. Другими словами, отображение отклика
?
исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого
на отрезке [0, y2 ]. Обозначим множество решений модифицированной задачи при данном y1
?
? ?
через R2 (y1 ). Тем самым определено отображение отклика R2 : R+ > [0, y2 ]. Мы доказали,
?
?
что R2 (y1 ) = R2 (y1 ) ?y1 .
?
По Теореме ?? из Приложения (с. ??) для любого y множество решений R2 (y) непусто
?
и компактно, и, кроме того, отображение R2 (·) полунепрерывно сверху. (Читателю предо-
ставляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу
?
совпадения R2 (·) и R2 (·) теми же свойствами будет обладать и R2 (·).
2) Рассмотрим теперь следующую задачу:

?1 (y1 , y2 ) = y1 p(y1 + y2 )y1 ? c1 (y1 ) > max (•)
y1 ,y2 0

y2 ? R2 (y1 ).

Докажем, что решение этой задачи существует.
Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно пока-
зать, что при любом наперед заданном y2 0 прибыль лидера в точке y1 = y1 больше, чем
?
во всех точках y1 > y1 . Таким образом, множество решений задачи (•) не изменится, если в
?
нее дополнительно включить ограничение y1 y1 .?
Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибы-
ли лидера по y1 и y2 на множестве

R= (y1 , y2 ) y1 ? [0, y1 ], y2 ? R2 (y1 ) ? [0, y2 ] .
? ?

Из доказанных свойств отображения R2 (·) следует, что множество R непусто, замкнуто и
ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса.
S S S
3) Пусть (y1 , y2 ) — некоторое решение задачи (•). Теперь выбрав любую функцию r2 (y1 ),
S S
график которой проходит через точку (y1 , y2 ), и такую что
S
r2 (y1 ) ? R2 (y1 ) ?y1 ,
S
увидим, что выпуск y1 является решением задачи лидера
S
?1 = y1 p(y1 + r2 (y1 ))y1 ? c1 (y1 ) > max .
y1 0

Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве зада-
чи (•), а значит — и на множестве, суженном дополнительным ограничением y2 ? r2 (y1 ). Тем
S

S S
самым пара y1 , r2 (·) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга.

14.2.2 Равновесие Штакельберга и равновесие Курно
Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели
Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он про-
изводит меньше. Покажем это.
C C
Пусть y1 и y2 — объемы производства в модели Курно.
Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда
может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив y1 = y1 , поэтому17
C



C C C C S S S S
p(y1 + y2 )y1 ? c1 (y1 ) p(y1 + y2 )y1 ? c1 (y1 ).
17 S C
Данное неравенство получено как сравнение прибылей лидера при выборе им объемов выпуска y1 и y1 .
S S C C
Отметим, что при этом оптимальным откликом ведомого на y1 будет y2 , а на y1 ? y2 .
14.2. Модель дуополии Штакельберга 527
C C
Поскольку y1 максимизирует прибыль лидера при y2 = y2 , то

S C S S C C C C
p(y1 + y2 )y1 ? c1 (y1 ) p(y1 + y2 )y1 ? c1 (y1 ).

S
Если y1 > 0, то из этих двух неравенств следует, что

S C S S
p(y1 + y2 ) p(y1 + y2 ).

Из убывания спроса имеем, что
C S
y2 y2 .

Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от накло-
на кривой отклика. В случае, если R2 (·) убывает (на достаточно большом интервале, который
C S
должен заведомо включать, как y2 так и y2 ), имеем

C S
y1 y1 .

Если же R2 (·) возрастает, то, наоборот,

C S
y1 y1 .

Функция R2 (·) убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных из-
держек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис. 14.5
показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса p(y) = 1/y 2 при посто-
янных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрастает, а при
больших — убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему.

y2
y2 =R2 (y1 )




y1


Рис. 14.5.


Теорема 140:
Предположим, что выполнены следующие условия:

1) обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c2 (y), дважды дифференцируе-
мы,

2) обратная функция спроса имеет отрицательную производную: p (y) < 0, ?y 0,

3) p (y1 + y2 ) ? c2 (y2 ) < 0 при любых y1 и y2 ,

4) отклик R2 (y1 ) является дифференцируемой функцией18 .
18
Однозначность и дифференцируемость отклика рассмотрены в Приложении.
14.2. Модель дуополии Штакельберга 528

Тогда в тех точках y1 , где R2 (y1 ) > 0, наклон функции отклика R2 (y1 ), удовлетворяет
условию
?1 < R2 (y1 ),
то есть суммарный выпуск R2 (y1 ) + y1 , возрастает.
Дополнительное условие19

p (y1 + y2 ) + p (y1 + y2 )y2 < 0 ?y1 , y1

является необходимым и достаточным для того, чтобы R2 (y1 ) < 0.

Доказательство: При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии,
y1 +R2 (y1 ), возрастает по y1 . Функция R2 (y1 ) при всех y1 таких, что R2 (y1 ) > 0 удовлетворяет
условию первого порядка — равенству

p(y1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 )) · R2 (y1 ) = c2 (R2 (y1 )).

Дифференцируя это соотношение по y1 , получим

p (y1 + R2 (y1 )) · (1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 ))R2 (y1 ) · (1 + R2 (y1 )) +
+ p (y1 + R2 (y1 )) · R2 (y1 ) = c2 (R2 (y1 )) · R2 (y1 ).

Отсюда

(1 + R2 (y1 )) · [2p (y1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 ))R2 (y1 ) ? c2 (R2 (y1 ))] =
= p (y1 + R2 (y1 )) ? c2 (R2 (y1 )).

По условию второго порядка

2p (y1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 )) · R2 (y1 ) ? c2 (R2 (y1 )) 0.

С другой стороны, по предположению

p (y1 + R2 (y1 )) ? c2 (R2 (y1 )) < 0.

Это гарантирует, что

2p (y1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 )) · R2 (y1 ) ? c2 (R2 (y1 )) = 0

Получаем, что

p (y1 + R2 (y1 )) ? c2 (R2 (y1 ))
1 + R2 (y1 ) = , ()
2p (y1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 )) · R2 (y1 ) ? c2 (R2 (y1 ))

откуда 1 + R2 (y1 ) > 0 или R2 (y1 ) > ?1.
Докажем теперь неубывание функции отклика R2 (y1 ). Условие ( ) можно переписать в
виде
p (y1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 )) · R2 (y1 )
R2 (y1 ) = ? .
2p (y1 + R2 (y1 )) + p (y1 + R2 (y1 )) · R2 (y1 ) ? c2 (R2 (y1 ))

В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие R2 (y1 ) < 0 эквивалентно отрица-
тельности числителя, что и требовалось.
19
Это условие, в частности, следует из строгой выпуклости функции потребительского излишка. Напомним,
что это одно упоминавшихся ранее условий Хана.
14.2. Модель дуополии Штакельберга 529

y2
yC

yS
y2 =R2 (y1 )


<< Предыдущая

стр. 124
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>