<< Предыдущая

стр. 126
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?y y
Суммируя эти неравенства, получим
?
?y
p(Y )?j p(Y?j + y )?j .
?y

Мы предположили, что yj > 0, поэтому
?
?
?
p(Y ) p(Y?j + y ).
?

? ?
Из убывания функции спроса Y?j Y?j . Это неравенство верно для всех j . Суммируя эти
? Y ?.
неравенства и деля на n ? 1, получаем Y

Дифференциальная характеристика точки сговора может быть получена из задачи поиска
Парето-оптимума без перераспределения прибыли23 . Точка y1 , . . . , yn 0 Парето-оптимальна,
? ?
если для любого j она является решением задачи

?j (y1 , . . . , yn ) > max
?i (y1 , . . . , yn ) ?i (?1 , . . . , yn ), i = j,
y ?
y1 , . . . , y n 0.

По теореме Куна — Таккера24 для внутреннего решения y1 , . . . , yn > 0 существуют множи-
? ?
тели Лагранжа ?1 , . . . , ?n 0, причем ?j = 1, такие что выполнены условия первого порядка:
n
??i
(?1 , . . . , yn ) = 0 ?k.
?i y ?
?yk
i=1
23
Условие, что каждый участник получает прибыль не меньшую, чем в равновесии Курно здесь не учитыва-
ется.
24
Если функции прибыли вогнуты, и выпуск yj > 0 то возможно уменьшить его, увеличив тем самым при-
?
быль прочих участников. Это означает, что выполнено условие Слейтера и теорема Куна — Таккера применима.
14.3. Картель и сговор 534

В случае двух фирм эта дифференциальная характеристика означает, что кривые равной при-
были касаются друг друга (см. Рис. 14.8). Дифференциальную характеристику можно пере-
писать в виде:
n
? ?
p (Y ) · ?i yi + ?k [p(Y ) ? ck (?k )] = 0 ?k.
? y
i=1
Поскольку ?j = 1, то из убывания функции спроса следует, что первое слагаемое не равно
нулю, и что все множители Лагранжа положительны.
Пользуясь этими соотношениями, докажем, что сговор неустойчив, если нет каких-то ме-
ханизмов, принуждающих к выполнению соглашений. Конкретнее, подразумевается, что если
в точке сговора любая фирма немного увеличит свой выпуск, то ее прибыль возрастет.
Теорема 142:
Пусть
1) при сговоре все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yj >
?
0 ?j ,
?
2) обратная функция спроса убывает и дифференцируема, причем p (Y ) < 0;
3) функции издержек дифференцируемы,
4) функции прибыли вогнуты.
Тогда в точке сговора
??k
(?1 , . . . , yn ) > 0 ?k.
y ?
?yk

Доказательство: Пользуясь дифференциальной характеристикой внутренней точки сговора и
положительностью всех множителей Лагранжа, получим
??k ??i ?
(?1 , . . . , yn ) = ? (?1 , . . . , yn ) = ?p (Y ) · ?i yi > 0 ?k.
?k y ? ?i y ? ?
?yk ?yk
i=k i=k



14.3.3 Картель
Рассмотрим теперь модель картеля. Поскольку фирмы могут перераспределять прибыль
и целевые функции олигополистов квазилинейны по деньгам, то максимум суммарной прибы-
ли есть Парето-оптимум олигополии. Фактически, картель действует как монополия, однако,
следует несколько изменить модель, по сравнению со случаем обычной монополии, поскольку
у каждой из входящих в картель фирм своя функция издержек. Суммарная прибыль равна
n n
?j = p(Y )Y ? cj (yj ),
j=1 j=1

где Y = y1 + · · · + yn — суммарный объем производства. Продифференцировав по выпускам
всех фирм, получим дифференциальную характеристику равновесия картеля:
p(Y K ) + p (Y K )Y K K
cj (yj ),
p(Y K ) + p (Y K )Y K = cj (yj ), если yj > 0.
K K


Как видим, картель так распределит объемы производства между предприятиями при положи-
тельных объемах выпуска, чтобы предельные издержки были равными25 . Так, если cj (yj ) = cj ,
то совокупный выпуск отрасли совпадает с равновесием при монополии, когда предельные из-
держки монополиста равны
c = min cj .
j
25
Отметим, что это также означает такое распределение выпуска среди участников картеля, которое мини-
мизирует суммарные издержки.
14.3. Картель и сговор 535
Пример 75:
Пусть как и в Примере 72 обратная функция спроса линейна: p(y) = a ? by , а функции
издержек имеют вид cj (yj ) = cyj . Объем производства картеля определяется соотношением

p(Y K ) + p (Y K )Y K = a ? bY K ? bY K = c = cj (yj ).
K




Таким образом, он равен
a?c
YK = ,
2b
а прибыль картеля равна
(a ? c)2
K K K
(a ? bY )Y ? cY = .
4b
В равновесии Курно, как мы показали в Примере 72, суммарный объем производства равен

n(a ? c)
Y? =
(n + 1)b

а суммарная прибыль, как несложно рассчитать, равна

n(a ? c)2
,
(n + 1)2 b

откуда ясна неоптимальность равновесия Курно с точки зрения производителей. Они могли
бы получать больше прибыли, если бы производили меньше.

Используя ту же логику доказательства, как в Теоремах 137 и 138, можно показать, что
олигополисты будут производить меньше, если объединятся в картель, чем если они будут
конкурировать по Курно (здесь, как и ранее, мы предполагаем равенство функций издержек
у всех олигополистов). Доказательство соответствующей теоремы оставляется читателю в ка-
честве упражнения. Аналогичное утверждение верно и без требования равенства функций
издержек, но с сильными предположениями о функции выручки26 .
Теорема 143:
Пусть

1) равновесия в модели Курно и модели картеля существуют и все фирмы производят
продукцию в положительных количествах: yj > 0 ?j ,
K



2) обратная функция спроса убывает и дифференцируема, функция выручки p(y)y вогну-
та,

3) функции издержек cj (·) дифференцируемы и выпуклы,

Тогда в точке картеля суммарный выпуск меньше, чем в равновесии Курно:

Y ? > Y K.

В общем случае ничего определенного относительно соотношения между объемом выпуска
картеля и выпуском в равновесии Курно сказать нельзя. Ниже приводится пример, когда
картель выпускает больший объем продукции, чем в одном из (трех) равновесий Курно.
26
См. E. Wolfstetter: Topics in Microeconomics : Industrial Organization, Auctions, and Incentives, Cambridge
University Press, 1999 (3.4.4, “What if Suppliers form a Cartel?”, p. 98), 3.4.4, “What if Suppliers form a Cartel?”,
p. 98.
14.3. Картель и сговор 536
Пример 76:
Пусть в отрасли функция обратного спроса равна

p(y) = 9 ? y

и есть два производителя с одинаковыми функциями издержек
?
?6y ? 3 y 2 ,
?
y 4,
c(y) = 4
12, y 4.
?
?


В этой отрасли есть 3 равновесия Курно: (2, 2), (0, 9/2) и (9/2, 0). Максимум прибыли картеля
достигается в точках (0, 9/2) и (9/2, 0). Видно, что в симметричном равновесии (2, 2) выпуск
меньше, чем у картеля.

Заметим, что хотя в данном примере функция издержек недифференцируема, ее легко
модифицировать, сгладив в окрестности точки y = 4. По-видимому, основная причина полу-
ченного результата состоит в том, что в этом примере имеет место возрастающая отдача.
Ясно, что так же как и рассмотренный ранее сговор, картель является неустойчивым, если
нет способа гарантировать выполнение соглашения между фирмами.
Теорема 144:
Пусть

1) в картеле все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yj > 0 ?j ,
K




2) обратная функция спроса убывает и дифференцируема,

3) функции издержек дифференцируемы.

Тогда в точке картеля
??j K K
(y1 , . . . , yn ) > 0 ?j,
?yj

т. е. каждая фирма может повысить свою прибыль, увеличив свой выпуск.

Доказательство: Производная функции прибыли j -го участника по своему выпуску равна

??j
= p(Y ) + p (Y )yj ? cj (yj ).
?yj

K K
Учитывая дифференциальную характеристику точки (y1 , . . . , yn ),

p(Y K ) + p (Y K )Y K = cj (yj ),
K




имеем
??j K
(y1 , . . . , yn ) = ?p (Y K )(Y K ? yj ) > 0.
K K

?yj
K
Таким образом, если достигнуто соглашение о квотах выпуска (yj = yj ), максимизирующих
суммарную прибыль, то каждой фирме выгодно (по крайней мере локально) производить
больше своей квоты.
14.4. Модель Бертрана 537

14.3.4 Задачи
 595. Докажите, что если во внутреннем равновесии Курно один из олигополистов немного
уменьшит объем производства, то суммарная прибыль возрастет.
 596. Сформулируйте и докажите теорему о существовании равновесия в случае картеля.
(Подсказка: воспользуйтесь аналогичной теоремой в главе о монополии. Пусть существуют
yj > 0 (j = 1, . . . , n) такие, что p(yj ) < cj (yj ) при yj
? yj . Докажите, что при любых вы-
?
бранных выпусках всех производителей, кроме j -го, картелю не выгодно j -му производителю
назначать выпуск больше yj , поскольку суммарная прибыль тогда будет строго меньше, чем
?
при выпуске yj = yj . При этом удобно рассматривать выбор суммарного объема производства,
?
Y , при фиксированном Y?j , при ограничении Y Y?j .)
 597. Докажите аналог Теоремы 138 для модели картеля с одинаковыми функциями издер-
жек.
 598. Покажите, что если в дуополии предельные издержки производителей удовлетворяют
соотношению
c1 (y) > c2 (y),

<< Предыдущая

стр. 126
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>