<< Предыдущая

стр. 129
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>




c2 (y)
D2
A
p2
p
? D
B

y1 +?2
?y
y2 y2
?


Рис. 14.14.

Этот исход естественно считать аналогом равновесия Бертрана.
Мы хотим показать, что набор стратегий (?, p) не может соответствовать равновесию в
p?
редуцированной модели. Причина этого заключается в том, что каждый производитель за-
интересован увеличить цену, уменьшив объем продаж. Сокращение прибыли от уменьшения
объема продаж в первом приближении перекрывается эффектом увеличения цены.
14.4. Модель Бертрана 547

Графическая иллюстрация этих рассуждений приведена на Рис. 14.14. Прибыль второй
фирмы равна площади между кривой ее предельных издержек и ценой (плюс постоянные
издержки c2 (0)). Если вторая фирма немного повысит свою цену с p до p2 , то ее прибыль, с
?
одной стороны, вырастет за счет этого на величину прямоугольника A, а, с другой стороны,
упадет за счет сокращения объема продаж на величину треугольника B . При малом изменении
цены первый эффект превышает второй, что и видно из графика.
Теперь докажем более формально, что стратегии (?, p, y1 , y2 ) не может соответствовать
p?? ?
состоянию равновесия при ценовой конкуренции. Пусть второй производитель ожидает, что
первый производитель назначил цену p . Нам достаточно показать, что в этом случае второму
?
выгодно назначить цену p2 выше p .?
Обозначим тот объем производства, который второй олигополист выберет в том случае,
?
если будут назначены цены (?, p2 ), где p2 p , через R2 (p2 ), т. е.
p ?
? > <
R2 (p2 ) = R2 (?, p2 , R1 (?, p2 )) при p2 > p
p p ?

и
?p =
R2 (?) = R2 (?, p),
p?
< >
=
где Rj (·), Rj (·) и Rj (·) — введенные выше функции оптимального отклика. Мы не будем
полностью анализировать, какой вид имеют функции отклика (читатель может проделать
такой анализ самостоятельно). Нам потребуется только несколько фактов относительно этих
функций. При данной цене pj , если нет ограничений на сбыт продукции, j -му производителю
выгодно выбрать такой объем производства yj , чтобы предельные издержки были равны цене:

cj (yj ) = pj .
?p
< =p?
Отсюда следует, что R1 (?, p2 )) = y1 и R2 (?, p) = R2 (?) = y2 .
p ? ?
Если первый производитель продает y1 по цене p , то при p2 > p второму производителю не
? ? ?
удается продать столько, сколько он бы хотел, поэтому ему выгодно выбрать выпуск в точности
на уровне остаточного спроса. (Докажите это.) Таким образом, при p2 > p выполнено
?
? >
R2 (p2 ) = R2 (?, p2 , y1 ) = D2 (p2 , y1 , p).
p ? ??

Если выполнено естественное предположение о функции остаточного спроса:

D2 (?, y1 , p) = D(?) ? y1 ,
p? ? p ?
?p
то D2 (?, y1 , p) = y2 = R2 (?).
p? ? ?
Таким образом, при всех p2 p выполнено
?
?
R2 (p2 ) = D2 (p2 , y1 , p).
??

Если предполагать, что исходная функция остаточного спроса, D2 (·), дифференцируема по
?
p2 (по крайней мере, при p2 p ), то R2 (p2 ) также дифференцируема.
?
?
При y2 = R2 (p2 ) прибыль второго производителя будет равна
? ?
?2 (p2 ) = R2 (p2 )p2 ? c2 (R2 (p2 )), p2 p.
?

Для доказательства утверждения достаточно показать, что производная прибыли в точке p2 =
p положительна. Действительно, при p2 p
? ?
? ? ?
?2 (p2 ) = R2 (p2 ) + [p2 ? c2 (R2 (p2 ))] · R2 (p2 ).
?p
При p2 = p , учитывая, что R2 (?) = y2 , получим
? ?
?p
?2 (?) = y2 + [? ? c2 (?2 )] · R2 (?).
p ? p y
14.4. Модель Бертрана 548

Поскольку по определению p = c2 (?2 ), то
? y
?2 (?) = y2 .
p ?
Таким образом, при y2 > 0 выполнено ?2 (?) > 0.
? p
Мы не задаемся здесь достаточно сложным вопросом об условиях существования равнове-
сия. Однако ясно, что если в ценовой конкуренции и существует равновесие, то продажи не
осуществляются по ценам, равным предельным издержкам. Таким образом, анализ показыва-
ет, что как только мы изменяем предположение об одинаковости и постоянстве предельных
издержек, то получаем, что вывод модели Бертрана неверен.

14.4.3 Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся
взаимодействия)
Наиболее простой динамический вариант модели Бертрана — две фирмы с постоянными и
одинаковыми предельными издержками c, участвующие в ценовой конкуренции в течение (бес-
конечного) числа периодов времени. Каждая фирма максимизирует приведенную прибыль,
?
? t?1 · ?jt ,
?j =
t=1

где ?jt — прибыль фирмы i в период t, а ? — дисконтирующий множитель.
В этой динамической игре Бертрана стратегия фирмы j определяет цену pjt , которую
взимает фирма в период t как функцию от всей «предыстории» ценовой конкуренции Ht?1 =
{?1? , p2? }t?1 .
p ? ? =1
Общий интерес представляют стратегии следующего вида
?
t?1
?pM , если pi? = pM для всех i, ?, 1
? ? ?
pj? =
?
?c в противном случае

где pM — монопольная цена. Согласно этой стратегии каждая фирма в период 1 назначает
монопольную цену за свою продукцию. Затем, в каждый последующий период она назначает
цену pM , если во все предыдущие периоды обе фирмы назначали цену pM , и цену, равную
ее предельным издержкам, в противном случае. Заметим, что если обе фирмы, используют
указанные стратегии, то в результате они взимают в каждый период монопольно высокие
цены pM .
Можно рассматривать назначение монопольной цены как неявное соглашение между оли-
гополистами. В этих терминах каждая из фирм придерживается соглашения, если в предше-
ствующие периоды обе фирмы не нарушали его, и нарушает соглашение, если другая фирма
(или она сама) в прошлом нарушила соглашение.
При некоторых предположениях о дисконтирующих множителях указанные стратегии со-
ставляют равновесие. Заметим, что этот результат верен только для бесконечной игры. В
бесконечной игре единственным равновесием будет такой набор стратегий, согласно которому
каждая фирма в каждом из периодов назначает цену на уровне предельных издержек. Таким
образом, в конечной игре описанный Бертраном исход реализуется в каждом из периодов.
Действительно, используя обратную индукцию, рассмотрим последний период. Поскольку вы-
игрыши в нем не зависят от действий игроков в предыдущие периоды, то фактически соответ-
ствующая игра представляет собой обычную модель Бертрана. Продолжая эти рассуждения,
мы получим равновесие Бертрана в каждом из периодов.
Теорема 146:
Пусть функция спроса является непрерывной и строго убывает Указанные выше стра-
тегии составляют совершенное в подыграх равновесие рассматриваемой динамической мо-
дели Бертрана тогда и только тогда, когда ? 1/2.
14.4. Модель Бертрана 549

Доказательство: Докажем прежде всего, что указанные стратегии составляют равновесие Нэ-
ша. Для этого нужно доказать, что ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей
стратегии, если другой игрок придерживается своей стратегии.
Если оба игрока будут придерживаться своих равновесных стратегий, то прибыль каждого
из них за один период составит
1M 1M
? = (p ? c)D(pM )
2 2
Совокупная прибыль за все периоды будет в этом случае равна

1 M ? t?1 1 ?M
?j = ? ? = .
21??
2 t=1

Предположим, что один из игроков в первом периоде назначил цену отличную от монопольной:

p < pM .

(Если игрок в первом периоде назначит цену выше монопольной, то его общая прибыль будет
равна нулю, поэтому ему не выгодно назначать такую цену.)
Этот игрок в первом периоде получит весь спрос целиком и его прибыль составит

(p ? c)D(p).

Во все последующие периоды его прибыль будет нулевая, поскольку другой игрок, придержи-
ваясь своей стратегии, будет наказывать его за отклонение от соглашения: будет держать цену
на уровне предельных издержек. Отклонение от стратегии в первом периоде будет выгодным,
если
1 ?M
(p ? c)D(p) > .
21??
При непрерывной кривой спроса игрок может сделать прибыль (p ? c)D(p) сколь угодно близ-
кой к монопольной прибыли ?M = (pM ? c)D(pM ). Таким образом, чтобы рассматриваемый
набор стратегий мог быть равновесным, требуется чтобы
11
1
21??
или
1
? .
2
Мы доказали, что в первом периоде при ? 1/2 игроку нет смысла отклоняться от своей
стратегии.
Выгодно ли ему делать это в последующие периоды? Нет, поскольку ситуация будет той
же — прибыли останутся теми же с точностью до возрастающего линейного преобразования
(считая дисконтирование и прибыль в периоды до нарушения соглашения).
Таким образом, доказано, что рассматриваемый набор стратегий является равновесием
Нэша. Нам осталось доказать, что он будет равновесием Нэша в каждой подыгре. Для этого
достаточно понять, что с точностью до возрастающего линейного преобразования выигрышей
каждая подыгра повторяет исходную игру.

Таким образом, доказано, что в рассмотренной бесконечной повторяющейся игре суще-
ствует Парето-оптимальное (с точки зрения олигополистов) равновесие. Фактически же это
равновесие не будет единственным. Можно придумать бесконечно много различных пар стра-
тегий, составляющих совершенное в подыграх равновесие, и среди этих равновесий есть не
Парето-оптимальные.
14.5. Модель олигополии с ценовым лидерством 550

14.4.4 Задачи
 603. Найдите равновесие в модели Бертрана в случае неодинаковых (но постоянных) пре-
дельных издержек.
 604. Сформулируйте и докажите существование равновесия в модели с дифференцирован-
ными продуктами. (Предположите, что для каждого из олигополистов вне зависимости от цен
остальных олигополистов существует цена выше которой спрос равен нулю. Остальные усло-
вия сходны с условиями использованными при доказательстве существования в модели Курно.
Воспользуйтесь теоремой Нэша.)
 605. На рынке действуют две одинаковые фирмы. Спрос на продукцию j -й фирмы зависит
от собственной цены pj и цены конкурента p?j :

yj = ?2 ? ?pj + (? ? 1)p?j (? > 1).

Предельные издержки равны 1. Рассчитать равновесие при ценовой конкуренции фирм. Срав-
нить с картелем.
 606. Пусть есть две фирмы, выпускающих два разных, но связанных в потреблении товара,
выбирают цены p1 0, p2 0 которые влияют на объемы их спроса. Функции спроса заданы
уравнениями:
y1 (p1 , p2 ) = 6 ? 2p1 + p2 ,

y2 (p1 , p2 ) = 10 ? 3p2 + p1 .
Найти равновесные цены, если издержки у обеих фирм нулевые.



14.5 Модель олигополии с ценовым лидерством
В модели олигополии с ценовым лидерством лидер (фирма с номером 1) назначает цену p,
а остальные (j = 2, . . . , n) выбирают выпуск, считая цену фиксированной (т. е. они ведут себя
как ценополучатели). С точки зрения теории игр, модель представляет собой динамическую
игру с почти совершенной информацией, состоящую из двух этапов. В определенном смысле,
модель олигополии с ценовым лидерством находится в том же отношении к модели Бертрана,
что и модель Штакельберга к модели Курно. Ее анализ фактически повторяет анализ модели
Штакельберга и ниже будет приведен в упрощенном и схематичном виде.
Опишем способ нахождения равновесия с помощью обратной индукции. Сначала следует
рассмотреть второй этап игры. На втором этапе участники, отличные от лидера, одновременно
выбирают свои объемы производства. Таким образом формируются отклики Rj (p), которые
являются решением соответствующих задач:

pyj ? cj (yj ) > max .
yj 0

<< Предыдущая

стр. 129
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>