<< Предыдущая

стр. 13
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

C(A) = { x ? A x x0 и y ? A : y x }.

В качестве примера подобного выбора укажем на голосование на основе консенсуса, такое
что каждый из участников голосования имеет неоклассические предпочтения. Заметим, что
построенное так правило выбора может не удовлетворять слабой аксиоме выявленных пред-
почтений.

2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения
В самом общем смысле под полнотой предпочтений можно понимать то, что индивидуум
всегда может определить, как он относится к паре альтернатив: является ли x для него более
предпочтительной, чем y , или y для него более предпочтительна, чем x, или эти эти аль-
тернативы эквивалентны. При этом можно не накладывать ограничения, что эти ситуации
несовместны, т. е. для двух альтернатив, x и y , выполняется хотя бы одно из трех соотно-
y , или x ? y . Тогда отношение «лучше или эквивалентно», вообще
шений: x y , или x
говоря, может не совпадать с отрицанием отношения (т. е. с отношением «не хуже»), но
уже не по причине неполноты, как это было в предыдущем пункте.
Мы не будем обсуждать это (слишком серьезное) отклонение от рациональности и будем в
дальнейшем исходить из того, что всегда выполнено ровно одно из трех соотношений: x y ,
или x y , или x ? y . В таком случае смысл нестрогого отношения предпочтения становит-
ся однозначным. Будем рассматривать предпочтения, которые могут быть нетранзитивными,
т. е. такими что, например, возможно выполнение соотношений x ? y , y ? z и z x для
несовпадающих альтернатив x, y , z.
Определение 22:
, , ? полными, если они удовлетворяют следующим предполо-
Назовем предпочтения
жениям:

(i) для любых x, y ? X выполняется ровно одно из следующих трех соотношений:

y, или x ? y;
x y, или x

? ?.
=
(ii) выполнено

Теорема 20:
, , ? полные, то они обладают следующими свойствами:
Если предпочтения
• нестрогое отношение предпочтения является полным и рефлексивным;
• строгое отношение предпочтения является иррефлексивным и асимметричным;
• отношение безразличия ? является рефлексивным и симметричным.
2.B. Не вполне рациональные предпочтения 59

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Такие предпочтения можно использовать для моделирования коллективного выбора, на-
пример, голосования простым большинством в случае, если каждый из участников голосова-
ния имеет неоклассические предпочтения47 .
Как обсуждалось выше, условие транзитивности является ограничительным при моделиро-
вании поведения потребителя. Поэтому представляется вполне естественным задаваться вопро-
сом о свойствах предпочтений и о существовании функции полезности в случае, если строгое
отношение предпочтения не обладает свойством отрицательной транзитивности, или, что
эквивалентно, нестрогое отношение предпочтения не обладает свойством транзитивности.
При полноте предпочтений правила выбора C (A) и C (A) совпадают, и поэтому не возни-
кает проблем с определением правила выбора. В то же время, нетранзитивность предпочтений,
так же как и неполнота, может приводить к тому, что правило выбора может быть пустым
даже если ситуация выбора A «хорошо устроена». Например, при выборе из трех альтернатив,
таких что x y z x, значение правила выбора будет пустым.
Как показывает приведенная выше Теорема 6 (с. 26), при нетранзитивности не существует
функции полезности в смысле Определения 7 (с. 25), т. е. показателя, заданного на отдельных
альтернативах и оценивающего уровень благосостояния при выборе данной альтернативы.
Но, тем не менее, даже в этом случае можно построить некоторый индикатор, который давал
бы полное описание рассматриваемых предпочтений. Такой индикатор может быть задан на
парах альтернатив и сравнивать две альтернативы между собой.
Идея состоит в том, чтобы подобный индикатор (?(·)) удовлетворял следующим условиям:

?(x, y) > 0 тогда и только тогда, когда x y ;
(?1)
?(x, y) < 0 тогда и только тогда, когда y x;
(?2)
?(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x ? y ;
(?3)
?(x, y) = ??(y, x).
(?4)

Так построенная функция может считаться обобщенной функцией полезности. Нетрудно по-
нять, что если предпочтения представимы обычной функцией полезности u(·), то в качестве
?(x, y) можно взять функцию u(x) ? u(y).
Следующая теорема дает условия существования «обобщенной функции полезности», со-
ответствующей полным, но, возможно, нетранзитивным предпочтениям. Для доказательства
существования такой функции используется некоторый аналог условия непрерывности пред-
почтений (замкнутость ). Пары альтернатив в доказательстве обозначаются p, q, r, s. Ти-
пичная пара альтернатив имеет структуру p = (x, y), где x, y ? X . Порядок альтернатив в
паре при этом существенен.
Теорема 21:
Пусть на X ? Rl заданы полные предпочтения , , ? , такие что бинарное отноше-
замкнуто (в Rl ? Rl ). Тогда существует непрерывная функция ? : X ? X > R,
ние
удовлетворяющая условиям (?1)–(?4).

Доказательство: Рассмотрим отношение безразличия ?. Так как предпочтения полные, то оно
рефлексивно. Таким образом, оно непусто, если рассматривать его как подмножество множе-
ства X ? X (в него входят все пары вида (x, x)). Кроме того, из замкнутости следует
замкнутость ?.
Пусть d(p, q) = |p?q| — евклидово расстояние на Rl ?Rl . Определим функцию d? (·) : X ?
X > R так, чтобы паре альтернатив p ? X ? X она сопоставляла наименьшее расстояние
47
Парадокс Кондорсе демонстрирует, что процедура голосования большинством голосов может приводить к
нетранзитивности и к тому, что значение правила выбора будет пустым. См. сноску 19 на с. 418.
2.B. Не вполне рациональные предпочтения 60

между p и парой эквивалентных друг другу альтернатив (т. е. q ??):

d? (p) = inf d(p, q).
q??

Инфимум конечен, поскольку расстояние ограничено снизу нулем. Покажем, что так опре-
деленная функция является непрерывной. Рассмотрим две произвольные пары альтернатив
p, q ? X ? X . Для любой пары эквивалентных между собой альтернатив r ?? в силу нера-
венства треугольника имеем d(p, r) d(p, q) + d(q, r). Следовательно,

d? (p) = inf d(p, s) d(p, q) + d(q, r).
s??

Так как левая часть последнего неравенства не зависит от r, то

d? (p) d(p, q) + inf d(q, s) = d(p, q) + d? (q).
s??

С другой стороны, по аналогии можно доказать, что выполнено

d? (q) d(p, q) + d? (p).

Комбинируя два последних неравенства, находим

d? (q) ? d? (p) d(p, q),

откуда очевидным образом следует непрерывность функции d? (·).
Поскольку расстояние неотрицательно, то d? (p) 0. Кроме того, данная функция обла-
дает тем свойством, что d? (p) = 0 тогда и только тогда, когда p представляет собой пару
эквивалентных альтернатив (p ??). Действительно, если p ??, то d? (p) = d(p, p) = 0. Об-
ратно, пусть для пары альтернатив выполнено p ??. В силу замкнутости ? дополнение к
/
? — открытое множество, и, значит, точка p содержится в этом дополнении вместе с неко-
торой ?-окрестностью. Поскольку около p нет пар эквивалентных альтернатив, которые бы
находились от p ближе, чем на расстоянии ?, то по определению d? (·) должно быть выполнено
d? (p) ? > 0.
Положим ?
?d? (x, y), если x y,
?(x, y) =
??d? (y, x), если y x.

Непрерывность ?(·) следует из непрерывности d? (·). Проверку того, что так определенная
функция ?(·) удовлетворяет условиям (?1)–(?4) оставляем в качестве упражнения.

Очевидно, что если в качестве базового индикатора полезности взять функцию ?(x, y), то
возможно систематическое построение микроэкономической теории на основе полных предпо-
чтений, которые не обязательно являются транзитивными48 .

2.B.3 Задачи
 82. Докажите Теорему 18.
 83. Пусть X = Rn , бинарное отношение R задано следующим образом:
+

x R y ? xi yi ?i,
48
См. напр. W. J. Shafer: The Nontransitive Consumer, Econometrica 42 (1974): 913–919. См. также задачу 120
на с. 84.
2.C. Альтернативный подход к описанию предпочтений: стохастические предпочтения 61

а на его основе построены следующие четыре бинарных отношения:

x R y ? (y R x) и (x R y),
x R y ? (y R x),
x R y ? (x R y) и (y R x),
xR y ? (x R y) и (y R x).

Охарактеризуйте эти бинарные отношения. Как связаны между собой R и R ? Дайте интер-
претацию всех этих отношений с точки зрения материала данного параграфа.
 84. Пусть отношение R рефлексивно и транзитивно. Рассмотрим задаваемые на основании
него отношения R? и R?? , определяемые следующим образом:

x R? y ? (y R x),

x R?? y ? (x R y) и (y R x).
Покажите, что R? иррефлексивно, отрицательно транзитивно, а R?? рефлексивно, транзи-
тивно и симметрично. Дайте интерпретацию всех этих отношений с точки зрения материала
данного параграфа.
 85. Докажите Теорему 20.
 86. Решите задачу 83, предположив, что исходное бинарное отношение R задано следующим
образом:
x R y ? ?i : xi yi .
 87. Дайте графическую иллюстрацию идеи доказательства Теоремы 21??.
 88. Дополните доказательство Теоремы 21, доказав, что функция ?(·) определенная в до-
казательстве, удовлетворяет условиям (?1)–(?4).
 89. Для предпочтений, описанных в задачах 26 и 27 из параграфа 2.4, определите, являются
ли они непротиворечивыми и являются ли они полными.


Приложение 2.C Альтернативный подход к описанию
предпочтений: стохастические предпочтения
До сих пор мы смотрели на предпочтения как на детерминированный объект. Условно гово-
ря, наш потребитель всегда при выборе между яблоком и грушей предпочитал что-то одно —
либо яблоко, либо грушу. Но реальный выбор экономических субъектов далеко не столь одно-
значно определен. Довольно правдоподобно, что, например, в половине случаев потребитель
предпочитает яблоко, а в другой половине — грушу.
Как можно моделировать такого рода явления?
Пусть, как и ранее, X — множество возможных альтернатив. Назовем стохастическими
предпочтениями распределение вероятностей над обычными неоклассическими предпочтения-
ми, заданными на X . Назовем стохастическим правилом выбора функцию, сопоставляющую
каждой ситуации выбора A из данного множества ситуаций выбора A распределение вероят-
ностей над элементами из A. Вероятностное распределение, соответствующее ситуации выбора
A, указывает для каждой из альтернатив из A вероятность того, что она будет выбрана.
Рассмотрим, как можно построить правило выбора по стохастическим предпочтениям.
— множество возможных предпочтений на X . Для упрощения будем полагать, что
Пусть
отношение безразличия ? представляет собой
X конечно, и что для всех предпочтений из
пустое множество (отношение является полным). При этом будем предпочтения отождеств-
лять со строгим отношением предпочтения . Каждым предпочтениям ? соответствует
2.C. Альтернативный подход к описанию предпочтений: стохастические предпочтения 62

(обычное) правило выбора C( , ·). При сделанных предположениях выбор всегда непуст и од-
нозначен. Стохастические предпочтения сопоставляют каждым предпочтениям ? соответ-
?
ствующую вероятность p( ). Стохастическое правило выбора C(·) определяется следующим
?
образом. Для ситуации выбора A ? A значение стохастического правила выбора C(A) — это
дискретное распределение, которое альтернативе x ? A сопоставляет вероятность того, что
?,
этот альтернатива будет выбрана; т. е. сумму вероятностей p( ) таких предпочтений
что C( , A) = {x}.
Излагаемый далее пример иллюстрирует этот стохастический взгляд на предпочтения.
Пример 7:
Пусть множество X состоит из трех альтернатив, x, y и z, а множество ситуаций выбора
имеет вид A = {{x, y},{y, z},{z, x}}.
Между тремя альтернативами, содержащимися в множестве X , можно задать 6 разных
неоклассических предпочтений (без учета предпочтений с эквивалентными альтернативами):

1 2 3 4 5 6
y z x z x y x y z z y x y x z x z y

Сопоставим каждым из этих предпочтений вероятность того, что на них базируется выбор
потребителя, p1 , . . . , p6 . С учетом этих вероятностей находим

?
C({x, y}) = (p2 + p3 + p6 , p1 + p4 + p5 ),

?
C({y, z}) = (p1 + p3 + p5 , p2 + p4 + p6 ),
?
C({z, x}) = (p3 + p5 + p6 , p1 + p2 + p4 ).
?
Разберем более подробно вычисление C({x, y}). p2 , p3 и p6 — это вероятности тех предпо-
чтений, согласно которым x y . Их сумма и равна вероятности того, что из x и y будет
выбрана альтернатива x. Соответственно, p1 , p4 и p5 — это вероятности тех предпочтений,
согласно которым y x.

Будем говорить, что стохастическое правило выбора C(·) рационализуется неоклассиче-
скими предпочтениями, если найдутся стохастические предпочтения, согласующееся со стоха-
стическим правилом выбора.
Пример 8 (продолжение Примера 7):
Рассмотрим, например, вопрос о том, может ли быть рационализована предпочтениями
стохастическое правило выбора

11
C({x, y}) = C({y, z}) = C({z, x}) = , .
22

Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить, найдутся ли такие вероятности
(p1 , p2 , . . . , p6 ), которые бы согласовались с данным правилом выбора. Фактически, необходимо
решить следующую систему линейных уравнений:
? ?? ? ??
1
0 1 1 0 0 1 p1
? ? ? ?2?
0? ?p2 ? ? 1 ?
?1 0 0 1 1

<< Предыдущая

стр. 13
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>