<< Предыдущая

стр. 130
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



(Мы будем предполагать, что отклики однозначны, и Rj (p) являются функциями, опре-
деленными при всех неотрицательных ценах.) Эти задачи, очевидно, совпадают с задачами
фирм при совершенной конкуренции, а функции отклика Rj (p) являются соответствующими
функциями предложения. При соответствующих предположениях функции отклика удовле-
творяют условиям первого порядка36 :

cj (Rj (p)) = p,
36
Предполагается, что уравнение имеет решение при всех p 0.
14.5. Модель олигополии с ценовым лидерством 551

то есть функции Rj (p) являются обратными к функциям предельных издержек cj (yj ). Обыч-
но предполагают, что функции издержек характеризуются убывающей отдачей, так что функ-
ции предельных издержек возрастают и поэтому являются обратимыми.
В свою очередь, лидер выбирает цену, ориентируясь на функции отклика. Для каждого
уровня цены, выбранной лидером, можно определить остаточный спрос:
n
D1 (p) = D(p) ? Rj (p).
j=2

Фактически, лидера можно рассматривать как монополиста, сталкивающегося с функцией
спроса D1 (p). Таким образом, лидер решает задачу

?1 = D1 (p)p ? c1 (D1 (p)) > max .
p

На Рис. 14.15 дана иллюстрация равновесия олигополии с ценовым лидерством для случая
n = 4.

p R2 (p)
p
D R2 (p)+R3 (p)


R2 (p)+R3 (p)
M C1
+R4 (p)

M R1
y1
D1
y
y1
y2 y3 y4 y1


Рис. 14.15.



14.5.1 Задачи
 607. Сформулируйте и докажите теорему существования равновесия в модели ценового ли-
дерства. (Подсказка: В качестве образца возьмите доказательство существования равновесия
в модели Штакельберга.)
 608. Пусть в дуопольной отрасли, в которой фирмы конкурируют в соответствии с моделью
2
ценового лидерства, функция издержек лидера и ведомого равны c1 (y1 ) = cy1 и c2 (y2 ) = y2
соответственно, а функция спроса равна D(p) = a?bp. Показать, что суммарный выпуск будет
больше, чем в равновесии Курно, но меньше, чем Парето-оптимальный. Показать равновесие
графически.
 609. Двое олигополистов конкурируют по типу модели ценового лидерства. Лидер имеет
нулевые предельные издержки, а ведомый имеет квадратичную функцию издержек: c2 (y2 ) =
2
y2 /2. Спрос в отрасли описывается функцией D(p) = 8 ? p. Сколько суммарной прибыли
выиграли бы олигополисты, если бы сумели объединиться в одну фирму (картель)?
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава




15
Модели найма

Модели с неполной и неодинаковой информированностью экономических субъектов о ха-
рактере сделки, свойствах обмениваемых благ, их воздействиях друг с другом и др. довольно
многообразны. ?? О них мы уже говорили ...
В этой главе мы разберем ситуацию взаимодействия двух экономических субъектов: нани-
мателя (заказчика, владельца, начальника), и нанимаемого работника (подрядчика, менедже-
ра, подчиненного), известную под названием Principal-Agent problem.


15.1 Модель с полной информацией
Рассмотрим сначала модель найма, в которой участники сделки полностью информирова-
ны обо всех ее характеристиках (ее условиях, результатах).
В этой модели наниматель владеет неким «фактором производства», позволяющим полу-
чать доход (добавленную стоимость) величиной y = y(x), если уровень усилий работника
составляет величину x ? X , где X — множество возможных усилий (действий). Обычно
предполагается, что функция y(·) является возрастающей и вогнутой, что означает, что доход
возрастает с уровнем усилий, но с «убывающей отдачей». В предположении дифференцируе-
мости функции y(·) это означает, что y (x) > 0, ?x ? X и y (·) убывает.
Для стимулирования усилий работника наниматель выбирает схему оплаты w(·) в зависи-
мости от некоторого наблюдаемого им сигнала о величине таких усилий. Схему оплаты w(·)
называют также контрактом.
При этом, выбирая контракт, наниматель максимизирует остаточный доход, то есть раз-
ность между создаваемым работником доходом y и вознаграждением w . Будем называть эту
величину прибылью нанимателя:
? = y(x) ? w.
Естественно предполагать, что полезность работника в результате работы по найму зависит
от уровня усилий и от величины оплаты, т. е. u = u(x, w). Для упрощения анализа будем
предполагать, что эта функция является сепарабельной:

u(x, w) = v(w) ? c(x),

где v(w) — полезность от зарплаты w , а c(x) — тягость усилий x. Будем предполагать, что
v(·) — возрастающая вогнутая функция, c(·) — возрастающая выпуклая функция. Если эти
функции дифференцируемы, то приведенные условия модифицируются следующим образом:
v (x) > 0, v (·) убывает (убывающая предельная полезность), c (x) > 0 и c (·) возрастает
(возрастающая предельная тягость усилий).
Предположим сначала, что работник характеризуется резервной полезностью u0 . Это по-
лезность альтернативной занятости, и работник не согласится на работу по контракту, если
его полезность окажется меньше u0 . (Мы будем предполагать, что когда u = u0 , работник
соглашается на данную работу.)
Предполагают, что наниматель, выбирая схему оплаты (контракт) знает функцию полез-
ности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный.

552
15.1. Модель с полной информацией 553

Можно рассматривать данную модель как динамическую игру. В ней стратегия нанимате-
ля — контракт w(·). Мы рассмотрим один из вариантов модели, в которой контракт — это
функция от усилий x: w = w(x).

1. Наниматель выбирает функцию w(·) — контракт.

2. Работник выбирает, работать ему или нет (заключать или не заключать контракт).

3. Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.

Можно изобразить эту игру в виде дерева (см. Рис. 15.1).

Наниматель

w(·)
Работник


0
x
u0
y(x)?w(x)
v(w(x))?c(x)
Рис. 15.1. Представление модели наниматель-работник в виде дерева

Для полного описания игры необходимо задать множество допустимых выборов нанимате-
ля — множество возможных контрактов {w(·)}. В случае, если множество усилий не является
конечным, решение описанной игры существует не для всех множеств возможных контрактов:
задача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не для всех типов контрактов w(·).
Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может выбрать любой контракт, при
котором задача работника имеет решение.
Это ситуация полной информации — всем все известно (о технологии, предпочтениях и
производимых усилиях). Равновесие можно найти с помощью обратной индукции. При данном
контракте w(·) работник решает задачу

u = v(w(x)) ? c(x) > max,
x?X

и выбирает соответствующие усилия x? :

x? ? argmax(v(w(x)) ? c(x)),
x?X

(ясно, что решение может быть и не единственное). При дифференцируемости функций

v (w(x? ))w (x? ) = c (x? )

для внутреннего решения.
Далее, работник выбирает, подписывать ли ему контракт, зная оптимальное решение. Он
сравнивает величины u0 и maxx?X (v(w(x)) ? c(x)). Если maxx?X (v(w(x)) ? c(x)) < u0 , работ-
ник отказывается подписывать контракт и выигрыш предпринимателя оказывается равным
нулю. Если u0 оказывается выше, то работник не подписывает контракт. Напомним, что если
полезность одинакова при обоих вариантах его поведения, то мы предполагаем, что работник
принимает решение подписать контракт.
Таким образом, в этой ситуации решение работника зависит от предлагаемого ему кон-
тракта — w(·). С другой стороны, от решения работника x? зависит величина прибыли
15.1. Модель с полной информацией 554

v(w(x))



c(x)

x
?
x


Рис. 15.2. Выбор работником оптимальных действий


? = y(x? ) ? w(x? ). Наниматель предлагает контракт, дающий ему максимальную прибыль
с учетом предсказуемого решения работника1 .
Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую задачу, с помощью которой мож-
но найти решения игры:

? = y(x? ) ? w(x? ) > max
w(·)

x? ? argmax(v(w(x)) ? c(x)), (PA1)
x?X
v(w(x )) ? c(x? )
?
u0 . (PA2)

Ограничение (PA1) называют ограничением совместимости стимулов. Ограничение (PA2) на-
зывают ограничением участия. Ограничение участия исключает из анализа случай v(w(x? )) ?
c(x? ) < u0 , для которого выигрыши участников известны, упрощая анализ (в противном слу-
чае требовалось бы искать максимум, вообще говоря, разрывной функции выигрыша нани-
мателя). Если в полученном решении прибыль нанимателя отрицательна, то он предложит
работнику такой контракт, который тот не подпишет; при этом наниматель получит более
высокую прибыль (нулевую)2 .
Если решение задачи работника x? не единственно, то будем считать, что работник делает
выбор, благоприятный для нанимателя. Поэтому можно предполагать, что наниматель сам
выбирает x? при тех же ограничениях. Т. е. он выбирает как w(·), так и x? , решая следующую
задачу:

? = y(x? ) ? w(x? ) > max
? x ,w(·)

v(w(x? )) ? c(x? ) v(w(x)) ? c(x), ?x ? X,
v(w(x? )) ? c(x? ) u0 .

(Заметьте, что здесь ограничение совместимости стимулов записано несколько в другом виде.)
Решение этой задачи нанимателя включает в себя максимизацию по функции, причем
обычно решение является не единственным. Для нахождения решения удобно рассмотреть
сначала вспомогательную задачу, без ограничения совместимости стимулов

? = y(x? ) ? w(x? ) > max
? x ,w(·)

v(w(x? )) ? c(x? ) u0 .

1
Фактически, рассматривается решение игры в виде совершенного в подыграх равновесия.
2
Можно было бы добавить еще один ход нанимателя: предлагать контракт или нет. Тогда в рассматриваемом
«невыгодном» случае нанимателю достаточно не предлагать работнику никакого контракта.
15.1. Модель с полной информацией 555

Вводя обозначения w = w(x? ), x = x? , приходим к следующей задаче:
? = y(x) ? w > max
x,w

v(w) ? c(x) u0 .
В этой задаче выбираются оптимальные для нанимателя значения x и w при учете только
ограничения участия. Поэтому уровень прибыли, соответствующий решению этой задачи, не
может быть ниже ее уровня, соответствующего оптимальному контракту. В дальнейшем мы
покажем, что в действительности они совпадают.
Обозначим решение этой вспомогательной задачи через (?, w).
x?
С учетом ограничения участия (которое в точке решения выполняется как равенство) ее
можно свести к следующей задаче безусловной оптимизации по уровню усилий x:
? = y(x) ? v ?1 (c(x) + u0 ) > max .
x

Для данного уровня усилий x , в котором достигается максимум, плата должна быть равна
?
w = v ?1 (c(?) + u0 ).
? x
При дифференцируемости функций внутреннее решение характеризуется соотношением
c (?)
x
y (?) =
x .
v (w)
?

<< Предыдущая

стр. 130
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>