<< Предыдущая

стр. 131
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


y(x)



v ?1 (c(x)+u0 )
w
? x
x
?


Рис. 15.3. Идеальная для нанимателя ситуация, выбор x и w
? ?

Это будет Парето-оптимум с точки зрения целевых функций ? и u, (элемент переговорно-
го множества, наиболее предпочитаемый нанимателем: наниматель получит весь излишек от
сделки), см. Рис. 15.4.

u




u0
?


Рис. 15.4. Идеальная для нанимателя ситуация на Парето-границе

Может ли наниматель достичь этой идеальной для себя ситуации?
Если нет ограничений на возможные контракты, то да, причем несколькими способами.
Действительно, для этого следует выбрать контракт w(·) таким образом, чтобы решение за-
дачи работника
v(w(x)) ? c(x) > max
x?X
15.1. Модель с полной информацией 556

достигалось в требуемой точке x и работник получал в этой точке требуемую оплату w = w(?).
? ? x
Графически это означает, что кривая v(w(x)) лежит под кривой c(x) + u0 и совпадает с ней в
точке (?, w). Если c(·) и y(·) дифференцируемы и ищется дифференцируемая функция w(·),
x?
то для внутреннего решения должно быть выполнено
c (?)
x
w (?) =
x (= y (?)).
x
v (w)
?


v ?1 (c(x)+u0 )


y(x) w(x)
w
?

x
x
?


Рис. 15.5. Подбор схемы оплаты, реализующей идеальную для нанимателя ситуацию

Таким образом, если стратегии нанимателя и работника составляют равновесие, причем в
равновесии выполнено ограничение участия, то они обладают следующими характеристиками:
Усилия работника в равновесии равны x = x , а равновесный контракт w(·) удовлетво-
?
?1 (c(x) + u ) ?x ? X и w(?) = w . Если работник сталкивается с
ряет условиям w(x) v x ?
0
произвольным (в том числе неравновесным) контрактом w(·), то он выбирает уровень усилий
x = x? (w(·)), который максимизирует полезность работника v(w(x)) ? c(x).
Верно и обратное: если существует уровень усилий x, при котором прибыль y(x)?v ?1 (c(x)+
u0 ) неотрицательна, то любые стратегии, удовлетворяющие этим условиям, составляют рав-
новесие рассматриваемой игры.
Опишем несколько простейших контрактов, при использовании которых достигается иде-
альная для нанимателя ситуация.
1) Пакетный контракт («не хочешь, не бери», “take-it-or-leave-it”). Простейший контракт
обуславливает приемлемую для работника оплату только для уровня усилий x , например,
?
?
?0, x = x,
?
w(x) =
?w, x = x.
? ?

(Мы подразумеваем, что w = 0 не обеспечивает работнику резервного уровня полезности.)
Контракт ?
?0, x < x,?
w(x) =
?w, x x.
? ?
также будем называть пакетным (см. Рис. 15.6).
Очевидно, что для оптимальности пакетного контракта его параметры x и w следует вы-
? ?
брать следующим образом:
x = x и w = w.
??? ?
2) Линейный по усилиям контракт:
w(x) = a + bx.
Найдем его параметры. Из условия w (?) = y (?) получаем, что
x x

b = y (?).
x
15.1. Модель с полной информацией 557


v ?1 (c(x)+u0 )


w(x)
w
?


x
x
?


Рис. 15.6. Оптимальный пакетный контракт


Из условия v(w(?)) = v(w) = c(?) + u0 получаем, что
x ? x

a = w ? b? = v ?1 (c(?) + u0 ) ? b?,
? x x x

Т. е. если x — оптимальные усилия, а w — соответствующая оплата то
? ?

w(x) = w + y (?)(x ? x).
? x ?



v ?1 (c(x)+u0 )

w(x)
w
?


x
x
?


Рис. 15.7. Оптимальный линейный по действиям контракт

3) Линейный по результатам контракт:

w(x) = a + by(x).

Для того, чтобы выполнялось w (?) = y (?), требуется, чтобы b = 1. Таким образом, это дол-
x x
жен быть контракт с полной ответственностью — все прибыли и убытки берет на себя работник.
Наниматель же получает фиксированную сумму A = ?a (? = A). Т. е.

w(x) = y(x) ? A.

Для того, чтобы этот контракт был оптимальным для нанимателя, следует выбрать

A = y(?) ? w.
x ?

Контракт с полной ответственностью заставляет работника, по сути дела, самому решать за-
дачу нанимателя, которая была сформулирована нами ранее.
Мы рассмотрели модель с полной информацией. Далее рассмотрим модели с неполной и,
прежде всего, асимметричной информацией, в которых работник владеет некоторой информа-
цией, а наниматель — нет.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 558

y(x)

v ?1 (c(x)+u0 )

w(x)
w
?

x
x
?


Рис. 15.8. Оптимальный линейный по результатам контракт


15.1.1 Задачи

 610. Барин выбирает, какую долю ? ? [0, 1] стоимости урожая y забирать у крестьянина в
виде издольщины. При этом он максимизирует свой ожидаемый доход ? y . Крестьянин мак-
0 функцию (1 ? ? )y ? y 2 , то есть прибыль при квадратичной функции
симизирует по y
тягости усилий.
(1) Найти оптимальную для барина долю ? .
(2) Что будет, если дополнительно к издольщине барин может использовать фиксирован-
ный оброк (r )? Какими данными следует дополнить задачу, чтобы она имела решение? Вве-
дите соответствующие обозначения, запишите целевые функции и найдите решение.
 611. [Varian] Профессор P наняла преподавателя-ассистента мистера A. Профессора ин-
тересует, сколько часов мистер A будет преподавать, а также то, сколько она должна ему
заплатить. Профессор P желает максимизировать свою функцию заработной платы x ? w ,
где x — количество часов, преподаваемых мистером A, а w — заработная плата, которую
она ему платит. Если мистер A преподает x часов и получает w , то его полезность равна
w ? x2 /2. Резервная полезность мистера A равна нулю.
(a) Если профессор P выбирает x и w , максимизируя свою полезность при ограничении,
что мистер A готов на нее работать, то сколько часов будет преподавать мистер A и сколько
ему придется заплатить?
(b) Предположим, что профессор P устанавливает схему заработной платы в форме w(x) =
ax + b и позволяет мистеру A выбирать количество часов x. Какие значения a и b следует
выбрать профессору P ? Удалось бы профессору P достичь более высокого уровня заработной
платы, если бы она использовала схему w(x) более общей функциональной формы?



15.2 Модель с ненаблюдаемыми действиями
S. A. Ross: The Economic Theory of Agency: The Principal’s Problem, American Economic
Review 63 (1973): 134–139 S. J. Grossman and O. D. Hart: An Analysis of the Principal-Agent
Problem, Econometrica 51 (1983): 7–46
Рассмотрим модель, в которой скрытыми являются действия работника, то есть нанима-
тель не знает, какие усилия произвел работник, он наблюдает только их результат, и в этих
условиях нанимателю нужно стимулировать работника выбрать уровень усилий, который бы
максимизировал ожидаемую прибыль.
Примером такой ситуации является рынок страховых услуг. Если условия страхования
актуарно справедливы, страхователю выгодно заключить контракт на величину, равную по-
тенциальным потерям. Однако, застраховав имущество, многие начинают использовать его
менее аккуратно, тем самым увеличивая риск его потери или порчи, то есть риск наступле-
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 559

ния страхового случая. Это связано с ненаблюдаемостью усилий по сохранению имущества
и невозможностью обусловить плату уровнем этих усилий. Подобные ситуации известны в
экономической теории под названием моральный риск. Ясно, что страховой компании выгод-
но стимулировать своих клиентов относиться к застрахованному имуществу более бережно,
однако, как правило, это можно сделать только за счет неполного страхования.

15.2.1 Формулировка модели и общие свойства
Пусть действия работника, x, ненаблюдаемы. Результат же действий (доход), y , есть
?
(нетривиальная) случайная величина, распределение которой зависит от x:
y ? Fx .
?
Здесь {Fx } — это семейство распределений с параметром x. Через Fx (·) обозначим соот-
ветствующую функцию распределения.
(В соответствии с моделью принятия решений при риске, можно предположить, что y — ?
это случайная величина, заданная на состояниях мира s ? S .)
Для простоты мы в дальнейшем будем предполагать, что носитель этого распределения
(область значений, принимаемых величиной y ) не зависит от x. Содержательно это означает,
?
что по наблюдаемым значениям y нельзя однозначно определить, какие действия работник
?
выбрал (или не мог выбрать). Такое предположение позволяет избавиться от многих техниче-
ских сложностей.
Кроме того, естественно предположить, что чем больше усилия, тем более высоким должен
быть результат. Поэтому будем предполагать, что распределение Fx (·) «сдвигается вправо»
при росте x, т. е.
Fx1 (y) > Fx2 (y) при x1 < x2 .
Это означает3 , что Fx2 стохастически доминирует Fx1 при x1 < x2 . (Это свойство в дискретном
случае иллюстрируется приведенными ниже примерами.) Из этого предположения следует, что
чем больше усилия, тем больше ожидаемый доход:
Ex1 y < Ex2 y при x1 < x2 .
? ?
Математическое ожидание берется по распределению Fx , следовательно, оно зависит от того,

<< Предыдущая

стр. 131
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>