<< Предыдущая

стр. 132
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

какие действия x выбрал работник. Соответственно, оператор математического ожидания мы
будем писать в виде Ex . Предполагают, что наниматель нейтрален к риску, т. е. его функция
выигрыша — ожидаемая прибыль. Т. е. наниматель стремиться максимизировать величину
Ex ? = Ex (? ? w),
y?
где w — оплата по контракту, которая, вообще говоря, является случайной величиной.
?
Работник максимизирует U = Ex u — математическое ожидание элементарной функции
полезности u(x, w), которая, как и раньше, зависит от объема усилий x и от вознаграждения
w.
Условие участия, по аналогии со случаем полной информации, состоит в том, что работник
соглашается на работу по контракту только в том случае, если его ожидаемая полезность при
этом не меньше, чем его резервная полезность u0 :
Ex u u0 .
Для упрощения анализа чаще всего рассматривают частные случаи, когда функция u(x, w)
имеет простой вид. Две самых популярных спецификации функции полезности работника име-
ют следующий вид:
u(x, w) = v(w ? c(x))
3
Более точно, речь идет о стохастическом доминировании первого порядка.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 560

и
u(x, w) = v(w) ? c(x),
где v(·) — возрастающая вогнутая функция, а c(·) — возрастающая выпуклая функция.
Оба типа функции сепарабельны по w и x (первая в каком-то смысле еще и квазилинейна
по зарплате w ), и включают функцию v(·), позволяющую моделировать отношение работника
к риску (риск может быть связан с тем, что получаемая им оплата w является случайной вели-
чиной). Нейтральный к риску работник будет иметь линейную возрастающую функцию v(·),
которую без потери общности можно считать равной v(z) = z . Поэтому мы будем называть
работника нейтральным к риску, если

u(x, w) = w ? c(x).

Как правило, предполагается, что работник не склонен к риску, то есть функция v(·) вогну-
та4 . Работник является рискофобом, если функция v(·) строго вогнута. При этом, если v(·)
дифференцируема, то она имеет положительную убывающую производную.
Поскольку действия x ненаблюдаемы, то оплата по контракту не может быть обусловлена
предпринимаемыми работником действиями (усилиями) x. В предположении, что наблюдае-
мыми являются результаты y этих усилий, рассмотрим модель контрактных отношений, при
?
которых оплата по контракту обуславливается полученными результатами (как сигналами от-
носительно уровня усилий). Поэтому в рассматриваемой модели с ненаблюдаемыми действия-
ми контракт — это функция вида w = w(y).
Как и ранее, мы будем предполагать, что наниматель, выбирая контракт, знает функцию
полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный.
Таким образом, модель представляет собой динамическую игру. Последовательность ходов в
этой игре следующая:

1. Наниматель предлагает контракт w(·).

2. Работник выбирает, работать ему или нет.

3. Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.

4. «Природа» при данном x по распределению Fx случайным образом «генерирует» y .
?

Контракт представляет собой дележ дохода y между нанимателем и работником, и, тем
самым, задает их выигрыши.

Наниматель
w(·)
Работник


0
x
u0
Природа
[Fx ]
y
?
Ex (??w(?))
y y
Ex u(w(?),x)
y
Рис. 15.9. Представление модели наниматель-работник с ненаблюдаемыми действиями в виде
дерева
4
Ясно, что функция v(·) моделирует отношение к риску только с точки зрения w , но не с точки зрения x .
Но для нас это несущественно, поскольку в данной модели усилия x не являются случайными.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 561

Для поиска решения этой модели можно воспользоваться обратной индукцией. При задан-
ном контракте w(·) оптимальный для работника уровень усилий является решением следую-
щей задачи:
U = Ex u(w(?), x) > max .
y
x?X

Учитывая это, задача поиска оптимального для нанимателя контракта имеет следующий вид:

Ex? ? = Ex? (? ? w(?)) > max
y y ? x ,w(·)

x? ? argmax Ex u(w(?), x)
y
x?X
(ограничение совместимости стимулов),
Ex? u(w(?), x? )
y u0
(ограничение участия).

Объяснение того, почему задача нанимателя включает выбор усилий x? , такое же, как для
модели с наблюдаемыми действиями: работник предполагается «благожелательным» по отно-
шению к нанимателю, в том смысле, что из равновыгодных для себя действий готов выбрать
выгодные для нанимателя5 .
Проанализируем сначала модель с наблюдаемыми действиями, но со случайными
результатами. Это даст нам «идеальную» точку отсчета для анализа модели с ненаблюда-
емыми действиями. При этом, как и выше (в ситуации, когда результат однозначно опреде-
ляется выбором уровня усилий), рассмотрим вспомогательную задачу, в которой определятся
оптимальные для нанимателя значения x и w при ограничении участия:

Ex (? ? w) > max
y
x,w

Ex u(w, x) u0 .

Поскольку в рассматриваемой задаче как w , так и x — детерминированные величины, то
u(w, x) — тоже детерминированная. Таким образом, задача сводится к следующей:

Ex y ? w > max
?
x,w

u(w, x) u0 . (15.1)

При этом, как несложно понять, данная задача характеризует не только контракты, идеаль-
ные с точки зрения нанимателя, но и Парето-оптимальные состояния, если u0 рассматривать
в качестве параметра.
Здесь мы рассматриваем уровень оплаты w как детерминированный (не случайный). Это
не приводит к потере общности. Действительно, если от произвольной случайной оплаты w ?
перейти ее безрисковому эквиваленту, то ожидаемая прибыль не уменьшится (поскольку на-
ниматель нейтрален к риску, а работник не склонен к риску), в то время как ожидаемая
полезность останется на прежнем уровне. Поэтому достаточно рассматривать только случаи,
когда плата не случайная. Если же работник — рискофоб (характеризуется строгим неприяти-
ем риска), то безрисковый эквивалент случайной оплаты w меньше Ex w , поэтому указанное
? ?
изменение приводит к росту прибыли.
При
u(x, w) = v(w) ? c(x),
5
Это предположение базируется на том, что наниматель может простимулировать благожелательные дей-
ствия работника (доплатить ему).
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 562

выражая w из ограничения участия, получаем следующую задачу:

Ex y ? v ?1 (c(x) + u0 ) > max .
? ()
x

Как и раньше, обозначим соответствующую «идеальную» ситуацию (?, w). Если из задачи
x?
( ) найден эффективный уровень усилий x , то соответствующая плата должна быть равна
?

w = v ?1 (c(?) + u0 ).
? x

Фактически, анализ здесь повторяет анализ при однозначности результата с заменой y(x)
на Ex y . Как и при при однозначности результата, указанную идеальную ситуацию можно
?
реализовать бесконечным числом способов в виде контракта w(·), зависящего от усилий x.
(Например, можно использовать пакетный контракт.) Кривая w(x) должна лежать под кри-
вой v ?1 (c(x) + u0 ) и касаться ее в точке (?, w). При этом достигается Парето-оптимум с точки
x?
зрения соответствующих целевых функций: ожидаемой прибыли Ex (? ? w) и ожидаемой по-
y ?
лезности Ex v(w) ? c(x).
?
Предположим теперь, что усилия ненаблюдаемы. Поскольку оплату по контракту мож-
но обуславливать только наблюдаемыми величинами, то в данной ситуации приходится обу-
славливать величину оплаты результатом6 y . Таким образом, из всех рассмотренных выше
контрактов (для модели с наблюдаемыми действиями) можно реализовать только линейный
по результатам контракт:
w(y) = a + by.
который является оптимальным по Парето в случае, если это контракт с полной ответствен-
ностью:
w(y) = y ? A.
Покажем, что наилучший для нанимателя контракт вида w(y) является оптимальным по Па-
рето лишь при ограничительных предположениях относительно отношения к риску работника.
Об этом свидетельствуют следующие два утверждения.
Теорема 147:
Если работник нейтрален к риску, то наилучший для нанимателя контракт с полной от-
ветственностью является Парето-оптимальным и эквивалентен с точки зрения ожидаемой
прибыли и ожидаемой полезности идеальному контракту (?, w).
x?

Доказательство: Ожидаемая прибыль в данной ситуации равна Ex (?? y ?A) = A, а ожидаемая
y?
полезность равна Ex (? ? A) ? c(x) = Ex y ? A ? c(x).
y ?
Задача максимизации ожидаемой полезности по x имеет вид.

Ex y ? A ? c(x) > max .
?
x?X


Она эквивалентна задаче ( ), поскольку при нейтральности к риску v ?1 (w) = w . Таким
образом, работник выберет эффективные усилия x . Параметр A наилучшего для нанимателя
?
контракта с полной ответственностью находится из условия участия (полезность равна u0 ):

A = Ex y ? c(?) ? u0 .
?? x

При этом ожидаемая прибыль равна Ex y ? c(x) ? u0 , то есть она такая же, какая достигается
??
в задаче ( ).
6
Если, конечно, нет какого-либо другого сигнала, наблюдаемого нанимателем.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 563

Очевидно, что описанный в теореме контракт7 является не только оптимальным по Парето,
но и оптимальным для нанимателя среди всех возможных контрактов, и факт ненаблюдаемо-
сти усилий в данном случае несущественен, поскольку этот контракт решает задачу макси-
мизации ожидаемой прибыли при единственном ограничении — ограничении участия. (Это
Парето-оптимальное состояние, в котором один из игроков получает минимальный выигрыш.
Следовательно, другой игрок получает максимально возможный выигрыш.) Таким образом,
при нейтральности работника к риску модель, фактически, сводится к модели с наблюдае-
мыми действиями. Но, по существу, это единственная содержательно интересная ситуация, в
которой ненаблюдаемость усилий не имеет значения, что и показывает следующее утвержде-
ние.
Теорема 148:
Если работник — рискофоб, и допустимый контракт w(·) таков, что w = w(?) — нетри-
? y
виальная случайная величина, то соответствующая ситуация не является оптимальной по
Парето и идеальной для нанимателя, поскольку можно увеличить ожидаемую прибыль, не
уменьшая ожидаемой полезности.
Доказательство: Действительно, в данной ситуации можно случайную оплату w заменить на
?
ее безрисковый эквивалент. При этом по определению ожидаемая полезность работника не
изменится, ожидаемая же прибыль вырастет (у рискофоба безрисковый эквивалент нетриви-
альной случайной оплаты строго меньше математического ожидания такой оплаты).
Из этого утверждения следует, что контракт с полной ответственностью в случае работ-
ника — рискофоба не будет Парето-оптимальным и идеальным для нанимателя, поскольку
w = y ? A — нетривиальная случайная величина. Это связано с тем, что наниматель заинте-
??
ресован в известной степени застраховать такого работника.
Другое следствие состоит в том, что если при ненаблюдаемости действий работник яв-
ляется рискофобом, то Парето-оптимальность достижима только в случае, когда плата w(?) y
детерминированная. Ясно, что такой контракт не является стимулирующим и работник, ра-
ботая по нему, будет делать наименьшие возможные усилия x = min(X) (если соответствую-
щий минимум существует). Следовательно, Парето-оптимальность достижима только если
среди эффективных контрактов есть контракты с минимальными возможными усилиями,
то есть только в содержательно неинтересном случае, когда нанимателю нет смысла стиму-
лировать работника, достаточно дать ему минимальную плату, обеспечивающую резервную
полезность.
Как только что указано, при нестимулирующем контракте работник будет делать наимень-
шие возможные усилия. Верно и обратное: в том случае, когда наниматель стремится побудить
работника делать наименьшие усилия x = min(X), он заинтересован полностью застраховать
работника (т. е. платить ему постоянную сумму, не зависящую от результатов). Рассуждения
здесь такие же как в последней теореме. Если бы это было не так, то можно было бы увеличить
прибыль, не меняя полезности работника (оставив ее на самом низком, резервном, уровне).
В общем случае оптимальный контракт — это компромисс между двумя противополож-
ными целями, которые преследует наниматель: целью стимулирования работника выполнять
выгодные для нанимателя действия и целью страхования работника от риска.
Заметим, что предположение о том, что носитель распределения y не зависит от величины
?
усилий x является существенным для проводимого здесь анализа. Так, в крайнем случае
зависимости носителя распределения y от усилий — когда эти носители при разных действиях
?
не пересекаются — по результату можно однозначно установить, предпринимал ли работник
те или иные усилия. В этом случае усилия оказывается наблюдаемыми косвенным образом, и
оптимальный контракт оказывается тем же, что и в случае наблюдаемых усилий.
7

<< Предыдущая

стр. 132
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>