<< Предыдущая

стр. 133
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Ясно, что то же самое верно и для любого другого контракта, который приводит к тем же ожидаемым
выигрышам.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 564

15.2.2 Дискретный вариант модели со скрытыми действиями
Рассмотрим модель в дискретном случае: конечное число возможных действий (xa , a =
1, . . . , k ) и конечное число возможных результатов (ys , s = 1, . . . , m). Поскольку сам по себе
уровень x не имеет значения, то вместо x мы будем использовать a и обозначим c(xa ) =
ca , предполагая, что усилия xa растут с ростом индекса a. Каждое значение выбранных
работником усилий a приводит к случайному результату y , который описывается следующим
?
дискретным распределением:

···
y1 y2 ym
···
µa1 µa2 µam

Здесь µas > 0 — вероятность s-го результата в случае, когда работник выбрал усилия
a. По определению вероятностей s µas = 1. Мы будем предполагать, что все ys различны
и возрастают по s. По предположению, распределение сдвигается вправо при росте усилий
(вероятность более высоких результатов возрастает с ростом усилий), т. е.

s
? s
?
µbs , ?? = 1, . . . , m ? 1, ?a < b.
µas > s
s=1 s=1

Исходные данные для дискретной модели (возможные уровни усилий, уровни результатов и
вероятности) можно представить в виде таблицы (см. Таблицу 15.1).

Таблица 15.1. Представление дискретного варианта модели со скрытыми действиями в виде
таблицы

···
y1 ym
···
a=1 µ11 µ1m c1
. . . .
. . . .
{µas }
. . . .
···
a=k µk1 µkm ck

Ниже мы будем предполагать, что элементарная функция полезности имеет вид8 :

u(a, w) = v(w) ? ca .

Контракт задается величинами ws = w(ys ) — каждому возможному результату ys контракт
сопоставляет уровень оплаты ws . Таким образом, контракт представляет собой вектор w =
{ws }. С другой стороны, с учетом вероятностей µas это дискретная случайная величина w .
?
При этом ожидаемая полезность (как функция от a) равна
m
U (a, w) = Ea [v(w) ? ca ] = µas v(ws ) ? ca ,
?
s=1

а ожидаемая прибыль —
m
e
? (a, w) = Ea ? = Ea (? ? w) = µas (ys ? ws ).
y?
s=1

8
Функция полезности несколько другого вида (в каком-то смысле более естественная) рассмотрена в зада-
че 637 на с. 579.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 565

Задача нанимателя имеет вид:
?e (a? , w) > max
? a ,w

U (a? , w) U (a, w), ?a = 1, . . . , k,
(ограничение совместимости стимулов),
U (a? , w) u0
(ограничение участия).
Поскольку число возможных усилий конечно, то эту задачу вообще говоря, можно решать
перебором. Для этого, задавшись конкретным a? , следует найти контракт w = w(a? ), ми-
нимизирующий ожидаемый уровень оплаты при условии, что при данной оплате работник
предпочтет (выберет) уровень усилий a? . Обозначим ожидаемый уровень оплаты
m
e
w (a, w) = Ea w =
? µas ws .
s=1

Тогда соответствующая вспомогательная задача имеет следующий вид:
we (a? , w) > min
w
?
U (a, w) ?a = 1, . . . , k,
U (a , w)
U (a? , w) u0 .
В этой задаче искомыми переменными являются только уровни оплаты для различных ре-
зультатов, т. е. величины ws = ws (a? ). Соответствующее максимальное значение ожидаемой
прибыли равно ?e (a? , w(a? )). Вычислив для каждого возможного уровня усилий a? = 1, . . . , k
соответствующие значения прибыли, можно найти такое усилие, при котором ожидаемая при-
быль ?e (a? , w(a? )) достигает максимума. Если вспомогательная задача не имеет допустимых
решений, то не существует контрактов, обеспечивающих такой уровень усилий, т. е. усилия
оказываются нереализуемыми. Поэтому оптимум ищется только по реализуемым усилиям,
множество которых всегда не пусто (усилия с минимальными издержками всегда реализуе-
мы).
Поскольку элементарная функция полезности имеет специальный вид
u(a, w) = v(w) ? ca ,
то эту задачу можно свести к задаче выпуклого программирования (минимизация выпуклой
функции на выпуклом многогранном множестве) путем замены переменных vs = v(ws ). Как
ограничение участия, так и ограничение совместимости стимулов будут в новых переменных
линейными, а ожидаемая прибыль — вогнутой функцией переменных vs :
m
e
µas (ys ? f (vs )),
? (a, v) =
s=1

где через f (·) мы обозначили v ?1 (·). (Так как v(·) вогнута, то f (·) выпукла, а ?f (·) вогну-
та). Область определения переменных vs совпадает с областью значений функции v(·) и ее
описание должно в явном виде присутствовать в формулировке соответствующей задачи. В
дальнейшем мы для упрощения рассуждений не будем учитывать такие ограничения.
Заметим, что если работник является рискофобом, то решение одной из задач тривиально,
а именно, задачи, соответствующей наименьшему уровню усилий (a? = 1; предполагаем, что
тягость усилий ca тем больше, чем больше a). Как уже говорилось, в этом случае (как и
при наблюдаемости усилий) следует установить постоянную оплату, не зависящую от усилий.
Обозначим ее через w . Несложно понять, что w = f (u0 + c1 ), т. е. такая оплата является
? ?
решением уравнения v(w) ? c1 = u0 .
?
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 566

Дискретный вариант модели найма с двумя возможными уровнями усилий
Предположим, что работнику доступны только два действия (два уровня усилий). Обозна-
чим их через H и L (высокий и низкий уровень усилий соответственно). По предположению
о том, что распределение сдвигается вправо при росте усилий, имеем:
s
? s
?
µHs , ?? = 1, . . . , m ? 1.
µLs > s
s=1 s=1

Напомним, что при конструировании оптимального контракта сначала определяются величи-
ны ?e (L, w(L)), ?e (H, w(H)), а затем выбирается усилие (и соответствующий ему контракт),
при котором величина ?e (a, w(a)), a = L, H является максимальной.
Охарактеризуем оптимальный при уровне усилий a (a = L, H ) контракт w(a).
Если работник совершает действия a, то ожидаемая прибыль нанимателя равна
m
µas (ys ? ws ).
s=1

(Как и ранее, предполагаем, что работник является рискофобом, а наниматель нейтрален к
риску.)
Ожидаемая полезность работника в случае, когда он выбирает действие a, будет равна
m
µas v(ws ) ? cL ,
s=1

Тогда, в случае, если a = L, условие совместимости стимулов имеет следующий вид:
m m
µLs v(ws ) ? cL µHs v(ws ) ? cH ,
s=1 s=1

а условие участия:
m
µLs v(ws ) ? cL u0 ,
s=1
Соответствующая вспомогательная задача — минимизировать ожидаемую оплату по кон-
тракту (максимизировать ожидаемую прибыль)
m
µLs ws > min
w
s=1

(соответственно, m µLs (ys ?ws ) > maxw ) при указанных условиях совместимости стимулов
s=1
и участия.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда возможны всего два результата (исхода):
y1 , y2 . Условие стохастического доминирования (более высокие усилия способствуют более
высокому результату) в данном случае принимает вид неравенства µH1 < µL1 , или, эквива-
лентно, µH2 > µL2 .
Пусть наниматель хочет побудить работника выбрать низкие усилия L. Тогда условие
совместимости стимулов имеет вид

µL1 v1 + µL2 v2 ? cL µH1 v1 + µH2 v2 ? cH .

Учитывая, что µH2 > µL2 :
µL1 ? µH1 cH ? cL
v2 v1 + .
µH2 ? µL2 µH2 ? µL2
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 567

Поскольку сумма вероятностей равна единице (µL1 + µL2 = 1, µH1 + µH2 = 1), то
cH ? cL
v2 v1 + .
µH2 ? µL2
Второе слагаемое здесь положительно при cL < cH . Таким образом, линия совместимости
стимулов в координатах (v1 , v2 ) — это прямая, параллельная биссектрисе и проходящая выше
нее. Допустимые точки лежат ниже этой линии.
Ограничение участия
µL1 v1 + µL2 v2 ? cL u0 ,
можно записать в виде
u0 + cL ? µL1 v1
v2 .
µL2
Оно задается прямой, наклон которой равен ?µL1 /µL2 . Допустимые точки лежат выше этой
прямой. Это одна из линий безразличия работника. (Все линии безразличия работника имеют
одинаковый наклон ?µL1 /µL2 .)
Чтобы записать задачу нанимателя в терминах полезности обозначим через f (·) функцию,
обратную к v(·), то есть f (vs ) = ws :
?
EL ? = µL1 (y1 ? f (v1 )) + µL2 (y2 ? f (v2 )).

Можно в координатах (v1 , v2 ) рассмотреть линии уровня нанимателя (соответствующие по-
стоянной ожидаемой прибыли, или, что эквивалентно, постоянной ожидаемой оплате). Эти
кривые безразличия выпуклы вправо вверх, множество лучших точек лежит под кривой без-
различия.

v2



решение



v1

линии уровня
нанимателя

Рис. 15.10. Стимулирование низких усилий

Наклон кривой безразличия нанимателя определяется следующим образом:
?
?(EL ?)/?v1 µL1 f (v1 ) µL1 v (w2 )
=? =? .
? µL2 f (v2 ) µL2 v (w1 )
?(EL ?)/?v2
Кривая безразличия нанимателя касается прямой, определяемой условием участия, в точке,
где
µL1 v (w2 ) µL1
? =? .
µL2 v (w1 ) µL2
Т. е. v (w1 ) = v (w2 ), что при убывании v (·), означает, что точка касания соответствует фик-
сированной оплате w1 = w2 , то есть лежит на биссектрисе.
Поскольку в случае, когда a = L, на диаграмме в координатах (v1 , v2 ), линия, соответ-
ствующая ограничению совместимости стимулов, лежит выше биссектрисы, то ограничение
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 568

совместимости стимулов неактивно, а ограничение участия активно. Таким образом, опти-
мальное решение лежит на биссектрисе, т. е. v1 = v2 . Оно находится как точка пересечения
прямой, задающей ограничение участия, и биссектрисы. В оптимальной точке кривая безраз-
личия нанимателя касается прямой, задающей ограничение участия. (См. Рис. 15.10.)
Таким образом, при a = L оплата по контракту должна быть фиксированной: w1 = w2 = w ?
(контракт с полным страхованием работника), и должна обеспечивать ему резервный уровень
полезности, что соответствует сделанным ранее выводам.
В своих рассуждениях мы опирались на то, что cL < cH . Аналогичным образом можно
показать, что w1 = w2 = w и в случае, когда cL = cH . Обратно, если оплата по контракту не
?
зависит от результатов, из условия совместимости стимулов следует, что

v ? cL v ? cH ,
? ?

или
cH cL ,
Из этого можно сделать вывод, что оплата по контракту, принуждающему к действиям L,

<< Предыдущая

стр. 133
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>