<< Предыдущая

стр. 134
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

будет фиксированной в тех и только в тех случаях, когда действия типа L требуют от работ-
ника меньших затрат, чем действия типа H , то есть являются для него выгодными сами по
себе.
Проанализируем теперь случай, когда наниматель хочет побудить работника выбрать вы-
сокий уровень усилий H . Условие совместимости стимулов в этом случае записывается в
виде
µH1 v1 + µH2 v2 ? cH µL1 v1 + µL2 v2 ? cL .
Множество допустимых по этому условию контрактов имеет ту же границу, что и при L (она
параллельна биссектрисе и лежит выше ее), но допустимые точки лежат выше границы:
cH ? cL
v2 v1 + .
µH2 ? µL2
Ограничение участия
µH1 v1 + µH2 v2 ? cH u0 ,
задается прямой
u0 + cH ? µH1 v1
v2 = .
µH2
Ее наклон равен ?µH1 /µH2 . Поскольку точка касания соответствующих кривых безразли-
чия работника и нанимателя лежит на биссектрисе, т. е. она в рассматриваемом случае не
принадлежит множеству допустимых контрактов, то ограничение совместимости стимулов
оказывается активным.
В предположении, что активным является и ограничение участия, решение представляется
точкой пересечения двух соответствующих прямых (см. Рис. 15.11). Линии уровня нанимателя
в точке пересечения с биссектрисой имеют тот же наклон ?µH1 /µH2 , что и линия участия
(это проверяется так же, как для L).
Если нанимателю выгодно стимулировать высокий уровень усилий, то результат не будет
оптимальным по Парето (см. Рис. 15.12). Оптимальный для нанимателя контракт задается
точкой A, которая лежит на пересечении линии совместимости стимулов h, и линии участия
i. Это не оптимально по Парето, так как точка B лежит на той же кривой безразличия на-
нимателя, а для работника она дает более высокую ожидаемую полезность, чем A (лежит
на более высокой линии безразличия работника i ). Точка B является Парето-оптимальной
(кривые безразличия касаются), но ее нельзя реализовать из-за условия совместимости сти-
мулов. Если наниматель изменит контракт так, что работнику станет доступна точка B , то
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 569

v2


решение




v1




Рис. 15.11. Стимулирование высоких усилий

v2

h


A B
i
i i
v1



Рис. 15.12. Неоптимальность контракта, стимулирующего высокие усилия


работнику будет выгодно изменить свои действия с H на L. Действительно, на диагонали
выполняется неравенство

µL1 v + µL2 v ? cL > µH1 v + µH2 v ? cH .

При переходе от H к L карты кривых безразличия работника и нанимателя в координатах
(v1 , v2 ) меняются, так как меняются вероятности. Соответствующей точке B линией безразли-
чия работника будет i , с более крутым наклоном (µL1 /µL2 > µH1 /µH2 ).
Таким образом, при стимулировании высокого уровня усилий наниматель должен ограни-
чивать полезность работника, чтобы тот не выбрал еще большую в ущерб интересам нанима-
теля.
Пример 78: v
Предположим, что v(w) = w + 5. Резервная полезность, u0 , равна 2. При этом возможны
два уровня усилий, низкий, L, и высокий, H , два исхода, A и B , с вероятностями, доходами
и издержками, заданными таблицей:

A: yA = ?5 B: yB = 25
a=L 2/3 1/3 cL = 1
a=H 1/3 2/3 cH = 2

Найдем оптимальный контракт.
Заметим, что ожидаемый доход составляет 5 при низком и 15 при высоком уровне усилий.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 570

Если наниматель стремиться обеспечить низкий уровень усилий, то, как известно, кон-
тракт обуславливает одинаковую оплату вне зависимости от результата. Условие совмести-
мости стимулов при этом выполняется вне зависимости от величины такой оплаты. Поэтому
существенным оказывается только условие участия. Действительно, оплата в соответствии с
оптимальным контрактом в этом случае определяется как решение следующей задачи

2/3wA + 1/3wB > min
v v
2/3 wA + 5 + 1/3 wA + 5 ? 1 u0 = 2,
v v v v
2/3 wA + 5 + 1/3 wA + 5 ? 1 1/3 wA + 5 + 2/3 wA + 5 ? 2,
v
или, используя обозначение vs = ws + 5,
2 2
2/3(vA ? 5) + 1/3(vB ? 5) > min
2/3vA + 1/3vB ? 1 9 ? 2vA ),
2 (или vB
2/3vA + 1/3vB ? 1 1/3vA + 2/3vB ? 2 (или vB vA + 3).

Заметим, что если решение рассматриваемой задачи с отброшенным ограничением совме-
стимости стимулов будет удовлетворять этому ограничению, то оно будет и решением исходной
задачи.
Таким образом, будем решать задачу минимизации ожидаемой оплаты при ограничении
участия vB 9 ? 2vA . Поскольку целевая функция монотонно возрастает по переменным vA ,
vB , то это единственное ограничение будет активным. Поэтому после подстановки vB = 9?2vA
сведем данную задачу к следующей задаче безусловной оптимизации:

2/3(vA ? 5) + 1/3((9 ? 2vA )2 ? 5) > min .
2


Решение удовлетворяет условию первого порядка

4/3vA ? 4/3(9 ? 2vA ) = 0,

откуда vA = 3 и vB = 3. Видим, что оплата не зависит от результата и равна wA = wB = 4.
Ограничение совместимости стимулов выполнено всегда, когда оплата не зависит от результа-
та, в том числе, и в данном случае.
Соответствующая этому уровню усилий ожидаемая прибыль равна 1, поскольку ожидае-
мый доход равен 5, а ожидаемая оплата равна 4.
Вычислим теперь ожидаемую прибыль нанимателя, когда он стимулирует высокий уровень
усилий. Оплата в соответствии с оптимальным контрактом в этом случае определяется как
решение следующей задачи:
2 2
1/3(vA ? 5) + 2/3(vB ? 5) > min
1/3vA + 2/3vB ? 2 6 ? vA /2),
2 (или vB
1/3vA + 2/3vB ? 2 2/3vA + 1/3vB ? 1 (или vB vA + 3).

Здесь ограничение совместимости стимулов будет активным. Если бы это было не так,
то, как было установлено раньше, оплата по контракту не зависела бы от результатов (т. е.
vA = vB ), но тогда ограничение совместимости стимулов vB vA +3 не могло бы выполняться.
Таким образом, vB = vA + 3, и поэтому задача сводится к следующей:

1/3(vA ? 5) + 2/3((vA + 3)2 ? 5) > min
2

6 ? vA /2 (или vA
vA + 3 2).
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 571

Целевая функция возрастает по vA , поэтому vA = 2. Отсюда vB = 5, wA = ?1, wB = 20.
Ожидаемая оплата равна 1/3 · (?1) + 2/3 · 20 = 13. Ожидаемая прибыль равна 15 ? 13 = 2.
Таким образом, оптимальный контракт должен стимулировать высокий уровень усилий.
Он обеспечивает нанимателю ожидаемую прибыль 2, а работнику оплату ?1 в ситуации A и
20 в ситуации B .
Если бы действия были наблюдаемы, то оптимальный контракт также должен был бы
стимулировать высокий уровень усилий. В этом случае наниматель полностью застраховал
бы работника, так что vA = vB = 4, wA = wB = 11. При этом он обеспечил бы себе более
высокую ожидаемую прибыль 15 ? 11 = 4, а полезность работника при этом осталась бы
на уровне u0 . Этот идеальный для нанимателя контракт недостижим при ненаблюдаемости
усилий.
Две диаграммы на Рис. 15.13 иллюстрируют проведенный анализ.

v2 v2
а) б)
10
10

8
8

6
6

4
4

2
2
v1 v1
2 4 6 8 10 12
2 4 6 8

Рис. 15.13. (а) Низкий уровень усилий; наниматель полностью страхует работника от риска;
(б) высокий уровень усилий; наниматель разделяет риск с работником, выплачивая ему
высокую зарплату в ситуации A и низкую — в ситуации B

Заметим, что в нашем примере работник в ситуации B выплачивает нанимателю штраф.
Если бы существовали ограничения снизу на величину оплаты по контракту (например, зако-
нодательные), то следовало бы модифицировать рассуждения, введя в задачи соответствую-
щие ограничения (см. Пример 80 ниже).

Проведем теперь анализ задачи в общем случае m исходов при двух уровнях усилий, L и
H . Поскольку решение вспомогательной задачи минимизации ожидаемой платы при уровне
усилий L нам известно (оно такое же, как при наблюдаемых действиях), то проанализиру-
ем вспомогательную задачу, соответствующую уровню усилий H : требуется минимизировать
ожидаемую оплату при ограничениях участия и совместимости стимулов для уровня усилий
H . Лагранжиан этой задачи имеет вид
m m m
L=? µHs v(ws ) ? cH ?
µHs ws + ?( µLs v(ws ) + cL ) +
s=1 s=1 s=1
m
µHs v(ws ) ? cH ? u0 ).
+ ?(
s=1

Дифференцируя по плате, соответствующей s-му результату:

?L
= ?µHs + ?(µHs ? µLs )v (ws ) + ?µHs v (ws ),
?ws
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 572

получим следующее условие первого порядка:

1 µLs
=?+? 1? .
v (ws ) µHs

Отсюда следует, что если ограничение совместимости стимулов несущественно, т. е. мно-
житель Лагранжа ? равен нулю, то v (ws ) = 1/? ?s, то есть плата не зависит от результата:

ws = w = const, ?s.
?

Это может быть только при низком уровне усилий, L. Поэтому ? > 0 и ограничение совме-
стимости стимулов выполняется как равенство.
Покажем, что условие участия также существенно, т. е. множитель Лагранжа ? тоже по-
ложителен. Умножим условия первого порядка на соответствующие µHs :
µHs
= ?µHs + ?(µHs ? µLs ).
v (ws )

и сложим для всех значений s:
m m m
µHs
(µHs ? µLs ) = ?.
=? µHs + ?
v (ws )
s=1 s=1 s=1

Поскольку µHs > 0 ?s и v (w) > 0 ?w , то ? > 0.
Обозначим через w0 уровень заработной платы, являющийся решением уравнения
1
= ?,
v (w0 )

где множитель Лагранжа ?, соответствует решению вспомогательной задачи. Используя это
обозначение, оплату по контракту можно охарактеризовать следующим образом. Если вероят-
ность получения результата s при высоком уровне усилий выше, чем при низком (µHs > µLs ),
то работник получает надбавку к базовой плате w0 , т. е. ws ? w0 > 0, причем эта надбавка
тем выше, чем выше отношение µHs /µLs , т. е. чем выше относительная вероятность получе-
ния результата s при уровне усилий H . Это отношение в статистике называют отношением
правдоподобия.
В том случае, если вероятность получения результата s при высоком уровне усилий ниже,
чем при низком, контракт предусматривает вычет из базовой платы w0 , т. е. ws ? w0 < 0.
Если отношение правдоподобия µHs /µLs монотонно возрастает, то оплата по контракту ока-
зывается возрастающей функцией результата. В частном случае двух результатов это свойство
эквивалентно предположению о стохастическом доминировании: µH1 < µL1 . В случае трех и
более возможных результатов монотонность отношения правдоподобия — более сильное свой-
ство. Хотя из монотонности отношения правдоподобия следует стохастическое доминирование,
но обратное, вообще говоря, неверно (см. задачу 613 на с. 574).
Приведем пример оптимального контракта с немонотонной оплатой.
Пример 79:
v
Пусть v(w) = w , u0 = 0. Возможны два уровня усилий и три результата с вероятностями,
доходами и издержками, заданными следующей таблицей:

<< Предыдущая

стр. 134
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>