<< Предыдущая

стр. 135
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y1 = 0 y2 = 10 y3 = 20
a=L 0,2 0,7 0,1 cL = 1
a=H 0,1 0,1 0,8 cH = 2
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 573

Найдем оптимальный контракт.
Если наниматель стремится обеспечить высокий уровень усилий, то условия совместимости
v
стимулов и участия выполняются как равенства, поэтому, используя обозначение vs = ws ,
можно записать в виде

0,1v1 + 0,1v2 + 0,8v3 ? 2 = 0,2v1 + 0,7v2 + 0,1v3 ? 1 = 0.

Выражая отсюда v1 через v2 и v3 , получим
12 ? 3v1 26 ? v1
v2 = , v3 = .
11 11
Ожидаемая плата равна
0,1
2 2 2
(121v1 + (12 ? 3v1 )2 + 8(23 ? v1 )2 ).
2
?
EH w = 0,1v1 + 0,1v2 + 0,8v3 =
121
Минимизируя по v1 , получим
122
v1 = ,
69
откуда
42 152
v2 = , v3 = .
69 69
Ожидаемая плата равна примерно 4,23.
Если наниматель стремится обеспечить уровень низкий усилий, то плата не зависит от
результата и находится из условия v(w) ? cL = u0 . Следовательно, эта фиксированная плата
равна 1.
Ожидаемый доход равен 9 при низких усилиях и 17 при высоких. Таким образом, ожида-
емая прибыль выше при стимулировании высоких усилий.
Видим, что плата по оптимальному контракту немонотонна. Это связано с тем, что отно-
шение правдоподобия µHs /µLs немонотонно (1/2 > 1/7 < 8).

Рента, связанная с ограниченной ответственностью
Водитель дорогого грузовика обычно получает зарплату заметно большую, чем другие
водители той же квалификации, но на менее дорогой технике. Как объяснить этот феномен?
Одно из возможных объяснений состоит в том, что более высокая заработная плата воз-
мещает большую тягость усилий. Альтернативное объяснение состоит в том, что возможные
контракты должны удовлетворять дополнительным ограничениям. Так, в описываемом случае
хозяин грузовика — наниматель данного водителя — не может в случае поломки грузовика
возложить полную материальную ответственность на водителя (условие ограниченной ответ-
ственности).
Таким образом, для анализа таких ситуаций следует включить в модель найма дополни-
тельные ограничения.
Проиллюстрируем сказанное примером.
Пример 80:
Предположим, что работник нейтрален по отношению к риску, т. е. v(w) = w , и его
резервная полезность u0 равна 1. Остальные параметры модели приводятся в таблице.

y1 y2
a=L 3/4 1/4 cL = 0
a=H 1/4 3/4 cH = 10
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 574

Контракт должен удовлетворять ограничению участия

1/4w1 + 3/4w2 ? 10 1

и совместимости стимулов

1/4w1 + 3/4w2 ? 10 3/4w1 + 1/4w2 .

В оптимуме при стимулировании высоких усилий (читатель может сам подобрать значения
y1 и y2 , при которых соответствующий контракт будет оптимальным для нанимателя) оба
ограничения выполняются как равенства. Отсюда, решая систему уравнений, получим

w2 = w1 + 20,

1/4w1 + 3/4(w1 + 20) ? 10 = 1,
т. е. w1 = ?4 и w2 = 16.
Модифицируем задачу найма, включив в нее дополнительное ограничение положительно-
сти выплат (условие ограниченной ответственности), т. е.

0 ?s.
ws

Решением модифицированной задачи является контракт w1 = 0 и w2 = 20. При этом работник
получает ожидаемую полезность

EH w ? cH = 1/4w1 + 3/4w2 ? 10 = 5,
?

которая выше его резервной полезности.

Таким образом, здесь можно говорить о ренте, связанной с ограниченной ответственно-
стью, подразумевая под ней превышение ожидаемой полезности работника от контракта над
его резервной полезностью.
С формальной тоски зрения причина этого эффекта в том, что в рассмотренной выше
задаче выбора оптимального контракта ограничение участия не активно. Вместо него (в ком-
бинации с ограничением совместимости стимулов) оказывается активным ограничение поло-
жительности выплат (или, в других постановках, положительности полезности при любом
состоянии мира).

15.2.3 Задачи
 612. Количество производимой работником продукции (y ) зависит от его усилий (x 0)
и случайного фактора (? ), принимающего значения 0 и 100 с равной вероятностью, причем
y = x + ? . Произведенная продукция дает предприятию прибыль в размере 2y ? w , где w —
плата работнику. Работник имеет элементарную функцию полезности u(w, x) = w ? x2 /100,
а его резервная полезность равна 0. Предприятие назначает плату пропорционально усилиям
(w(x) = ?x), либо пропорционально произведенной продукции (w(y) = ?y ) (если усилия
ненаблюдаемы).
(A) Сравните эти два вида контрактов.
(B) Будут ли они Парето-оптимальными?
(C) ? Каким будет оптимальный контракт в каждой из ситуаций, если на вид функции
w(y) нет ограничений?
 613. Предположим, что число возможных результатов в дискретном варианте модели най-
ма со скрытыми действиями больше двух (m > 2), а усилия могут быть низкими, L, либо
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 575

высокими, H . Покажите, что из монотонности отношения правдоподобия µHs /µLs следует
стохастическое доминирование.
 614. Предположим, что в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция
v
полезности работника имеет вид u(a, w) = w ? a2 где, где w — плата, a — усилия (a = 1
или 2). Доход, приносимый работником, зависит от усилий a и случайного фактора (состоя-
ния мира) ? : y = y(a, ?). Случайный фактор ? может принимать три значения, (1, 0, ?1), с
?
вероятностями, указанными в таблице. В таблице также указан доход в каждом возможном
случае.

? a=1 a=2 Вероятность
1 100 100 1/4
0 ? 100 1/2
?1 ? ? 1/4

Пусть резервная полезность работника u0 = 2,5. Известно, что наниматель установил опла-
ту за доход 100 равной w(100) = 64.
(А) Какой уровень усилий стимулирует наниматель?
(Б) Какова величина w(?)?
 615. Пусть в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности
v
работника имеет вид u(R, x) = R ? x, где R = R(s) — это плата, зависящая от уровня
выручки s. Усилия x могут принимать значения 1 или 4. Функция выручки s(x, ?) зависит
от усилий x и случайного фактора ? , который может принимать три значения, (?1 , ?2 , ?3 ), с
вероятностями (1/3, 1/3, 1/3). Результат действий работника (выручка s) задается таблицей

?1 ?2 ?3
1/3 1/3 1/3
x=1 1 1 120
x=4 1 120 120

Пусть резервная полезность работника u0 = 3.
(А) Пусть наниматель предлагает работнику 9 за выручку 1 и 36 за выручку 120. Какой
уровень усилий выберет работник? Не находя оптимального контракта в явном виде опреде-
лите, является ли данный контракт оптимальным.
(Б) Пусть наниматель предлагает работнику одинаковую оплату 20 за любую выручку.
Ответьте на вопросы предыдущего пункта.
(В) Найдите оптимальный контракт: пару выплат R1 , R120 0 соответственно за наблю-
даемую выручку s = 1 или 120.
 616. Пусть в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности
v
работника имеет вид u(r, a) = r + 4 ? a, где r = r(h) — это плата, зависящая от уровня
выручки h. Усилия a могут принимать значения 1 или 3. Функция выручки h(a, ?) зависит
от усилий a и случайного фактора ? , который может принимать три значения, (?1 , ?2 , ?3 ), с
вероятностями (1/6, 2/3, 1/6). Результат действий работника (выручка h) задается таблицей

? a=1 a=3 Вероятность
?1 60 60 1/6
?2 1 60 2/3
?3 1 1 1/6

Резервная полезность работника u0 = 4,5.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 576

(А) Пусть наниматель предлагает работнику ?4 за выручку 1 и 77 за выручку 60. Какой
уровень усилий выберет работник? Не находя оптимального контракта в явном виде опреде-
лите, является ли данный контракт оптимальным.
(Б) Пусть наниматель предлагает работнику 32 за выручку 1 и 77 за выручку 60. Ответьте
на вопросы предыдущего пункта.
(В) Найдите оптимальный контракт: пару выплат r1 , r60 0 соответственно за наблюдае-
мую выручку h = 1 или 60.
 617. Хозяин нанимает работника. Результат работы (то есть доход хозяина) зависит от нена-
блюдаемой хозяином величины усилий работника, x, а также от ненаблюдаемых случайных
событий (состояний мира). Эта зависимость описывается таблицей:

Событие «не Событие Событие
везет» «как всегда» «везет»
1/3 1/3 1/3
Вероятность
x=1 60 60 120
x=3 60 120 120

Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана — Моргенштерна с
v
элементарной функцией полезности u(x, w) = 3 w ? x. Резервный уровень полезности работ-
ника равен u0 = 4. Найдите оптимальный контракт, где денежные выплаты w обусловлены
величиной дохода, полученного хозяином.
 618. В модели найма с ненаблюдаемыми усилиями доход, помимо усилий x, зависит также
от состояний мира (? = 1, 2, 3). Вероятности состояний мира и доходы указаны в таблице

?=1 ?=2 ?=3
1/3 1/3 1/3
Вероятность
x=1 0 100 200
x=2 100 200 300

Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана — Моргенштерна с
элементарной функцией полезности

u(x, w) = ?120/w ? x(w > 0).

Резервная полезность работника равна u0 = ?4. Какой вид имеют оптимальные контракты?
Покажите, что результат будет таким же, как и при наблюдаемости действий.
 619. В модели найма с ненаблюдаемыми усилиями доход, помимо усилий x, зависит также
от состояний мира (? = 1, 2, 3, 4). Вероятности состояний мира и доходы указаны в таблице

?=1 ?=2 ?=3 ?=4
1/4 1/4 1/4 1/4
Вероятность
x=1 0 100 100 ?
x=2 100 100 100 ?
x=4 100 ? ? ?

Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана — Моргенштерна с
элементарной функцией полезности
v
u(x, w) = w ? x.

Резервная полезность работника равна u0 = 8.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 577

(А) Найдите оптимальный контракт при ? = 200.
(Б) Найдите оптимальный контракт при ? = 180.
(В) ? При каких ? оптимальный контракт при ненаблюдаемости усилий будет Парето-опти-
мальным?
 620. Рассмотрите дискретную модель найма со скрытыми действиями работника. При уси-
лии a (a = 1, . . . , k ) вероятность получения результата ys (s = 1, . . . , m) равна µas . Резерв-
ная полезность для работника равна u0 , а его элементарная функция полезности имеет вид
v(w) ? ca , где w — оплата усилий работника, а ca — издержки, которые для работника со-
пряжены с усилиями a.
(1) Покажите, что если оплата, обусловленная контрактом, не зависит от результатов
(w(y) = const), то работник выбирает усилие, минимизирующее его издержки.
(2) Предположим, что работник — рискофоб, т. е. v (w) убывает. Покажите, что если из-
держки не зависят от усилий (ca = const), то оплата по (оптимальному) контракту не зависит
от результатов.
(3) Предположим, что возможны всего два результата и два уровня усилий, причем y2 > y1
и µb2 > µa2 ?a, b. Опишите оптимальный контракт, если (а) ca > cb , (b) ca < cb .
 621. Страхователь может с вероятностью µ потерять актив ценностью K рублей, и обладает
изначально богатством ? (включая актив). Своими действиями (усилий) a по сбереганию
актива, где a = L или a = H , страхователь может оказать влияние на вероятность страхового
случая. Пусть µL , µH — соответствующие вероятности, причем µL > µH , а cL , cH — издержки
действий для страхователя. Элементарная функция полезности имеет вид u(x) = ln x ? ca , где
x — богатство.
На рынке страховых услуг только одна нейтральная к риску страховая компания, кото-
рая может диктовать страхователю свои условия. Проинтерпретируйте данную ситуацию как
модель найма со скрытыми действиями. (Для упрощения анализа можно считать, что кон-
тракт непосредственно задает богатство страхователя, а не платежи, т. е. предлагаемый стра-
хователем контракт имеет вид пакета (x1 , x2 ), где x1 — богатство, если страховой случай не
наступил, а x2 — если страховой случай наступил.)
(А) Покажите, что если страховая компания стимулирует низкий уровень усилий, L, то
она предложит страховой контракт, такой что x1 = x2 , т. е. полностью застрахует клиента.
Проиллюстрируйте анализ на графике.
(Б) Покажите, что если страховая компания стимулирует высокий уровень усилий, H , то
она не полностью застрахует клиента (x1 > x2 ). Проиллюстрируйте анализ на графике.
(В) Какой контракт предложит страховая компания?
 622. Отметьте такие условия, каждое из которых, независимо от прочих, гарантирует, что
оптимальный для нанимателя контракт в модели найма со скрытыми действиями Парето-
оптимален:
а) работник — рискофил, а оплата его труда зависит от результата;
б) работник (как и наниматель) нейтрален к риску;
в) действия не оказывают влияния на распределение результата;

<< Предыдущая

стр. 135
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>