<< Предыдущая

стр. 136
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

г) действия могут быть однозначно вычислены по наблюдаемому результату;
д) резервная полезность для работника равна нулю;
е) действия не сопряжены с издержками для работника;
ё) работник — рикофоб, а оплата его труда зависит от результата;
ж) ожидаемый доход не зависит от усилий;
з) действия, дающие наибольший ожидаемый доход, сопряжены с наименьшими издерж-
ками для работника;
и) действия дающие наибольшую прибыль (не обязательно наибольший доход) не могут
давать доход, равный доходу от прочих действий;
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 578

й) резервная полезность для работника отрицательна и меньше по модулю максимального
ожидаемого дохода.
По возможности объясните свой ответ.
 623. Модель найма со скрытыми действиями, работник — рискофоб. Утверждение: если
плата работника не зависит от результатов деятельности работника, то работник выберет такие
действия (усилия) x, при которых его издержки усилий c(x) минимальны. Сформулируйте
модель и гипотезы утверждения, докажите и проиллюстрируйте диаграммой.
 624. В модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности работника
u(w, x) возрастает и непрерывна по оплате w и задана на всех действительных величинах
оплаты. Объясните, почему условие участие для оптимального контракта всегда выполняется
как равенство.
 625. В модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности работника
u(w, x) возрастает, непрерывна и строго вогнута по оплате w и задана на всех действительных
величинах оплаты. Объясните, почему, если наниматель стимулирует не самый низкий уровень
усилий, то одно из условий совместимости стимулов для оптимального контракта должно
выполняется как равенство.
 626. Модель найма со скрытыми действиями. Утверждение: если работник нейтрален к
риску, то выбранный нанимателем контракт окажется Парето-оптимальным. Сформулируйте
модель и предположения, докажите и проиллюстрируйте диаграммой.
 627. Модель найма со скрытыми действиями, работник — рискофоб. Верно ли утверждение:
если схема выплаты работнику, ws , (контракт) зависит от результатов (ws = wt ?s = t), то
работник выберет такие действия (усилия) b, что c(b) > minx?X c(x)? Если верно, то обоснуйте
его, если неверно, то приведите соответствующий контрпример.
 628. Модель найма со скрытыми действиями, работник — рискофоб. Верно ли утверждение:
пусть издержки работника не зависят от действий (усилий), тогда выбранный нанимателем
контракт окажется Парето-оптимальным? Если верно, то обоснуйте его, если неверно, то при-
ведите соответствующий контрпример.
 629. Рассмотрим модель найма с тремя уровнями усилий и двумя результатами. Резерв-
ная полезность равна 1. Вероятности результатов, доходы и издержки задаются следующей
таблицей:

y1 = 0 y2 = 50
a=L 3/4 1/4 cL = 1
a=M 1/2 1/2 cM = 3
a=H 1/4 3/4 cH = 4

(A) Покажите, что один из уровней усилий нереализуем в случае, когда усилия ненаблю-
даемы (не существует контракта, при котором он выгоден работнику).
(B) Найдите оптимальный контракт при наблюдаемых и ненаблюдаемых усилиях.
 630. Предположим, что в модели найма при наблюдаемых усилиях нанимателю оказывается
выгодным минимальный уровень усилий. Может ли при ненаблюдаемых усилиях быть выгоден
другой уровень усилий?
 631. Рассмотрим модель найма с двумя уровнями усилий и с двумя результатами. Опишите
все возможные оптимальные контракты в предположении, что усилия ненаблюдаемы, и работ-
ник является нейтральным к риску. Продемонстрируйте, что все они являются оптимальными
по Парето, и наниматель получает такую же ожидаемую прибыль, как и при наблюдаемых
усилиях.
 632. (Контракт с ограниченной ответственностью)?? Предположим, что в Примере 78 на
с. 569 оплата по контракту не может быть отрицательной, w 0.
15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями 579

(а) Найдите наилучший контракт в предположении, что работодатель стимулирует высо-
кий уровень усилий работника. Покажите, что при таком контракте работник получал бы
положительную ренту. Проиллюстрируйте анализ на графике.
(б) Покажите, что в данном случае контракт при высоком уровне усилий перестает быть
оптимальным.
 633. Докажите, что если введение условия ограниченной ответственности ws w не приво-
дит к изменению уровня усилий (для оптимального контракта), рента, получаемая работни-
ком, положительна тогда и только тогда, когда условие ограниченной ответственности явля-
ется существенным.
 634. Рассмотрим модель найма с двумя уровнями усилий и с двумя результатами, в кото-
рой усилия ненаблюдаемы, работник является нейтральным к риску, и допустимые контракты
ограничены условием ограниченной ответственности ws w . Покажите, что существует грани-
ца w? , такая что для контракта, обеспечивающего высокий уровень усилий, рента, связанная
с ограниченной ответственностью, положительна в том и только в том случае, если w > w? .
 635. Рассмотрите в модели найма с ненаблюдаемыми действиями с двумя уровнями усилий
и с двумя результатами контракты типа издольщины, когда нейтральный к риску работник
получает плату в виде фиксированной доли от создаваемого им дохода. Найдите оптимальные
контракты и сравните с оптимальными контрактами при наблюдаемых действиях.
 636. Объясните, почему контракт типа издольщины не может быть эффективным по Паре-
то.
 637. [Tirole] Работник может выбрать два уровня усилий: высокий (H ) и низкий (L). По-
лезность работника в случае низких усилий равна v(w), а в случае высоких — v(w ? c), где
w — заработная плата, c — издержки, связанные с высокими усилиями. Функция v(·) воз-
растающая и строго вогнутая (работник — рискофоб). Резервная заработная плата работника
равна w0 (так что резервная полезность равна v(w0 )).
Пусть доход нанимателя может принимать два значения, y1 и y2 , причем y1 < y2 . Если
работник выберет высокий уровень усилий, то доход будет равен y2 с вероятностью µH и y1
с вероятностью 1 ? µH . Если же он выберет низкий уровень усилий, то доход будет равен y2
с вероятностью µL и y1 с вероятностью 1 ? µL , причем µL < µH .
(A) Рассмотрите сначала случай, когда усилия работника наблюдаемы. Объясните, поче-
му, если наниматель стимулирует работника выбрать низкий уровень усилий, то он должен
назначить оплату w1 = w2 = w0 , а если высокий, то w1 = w2 = w0 + c.
(B) Покажите, что в ситуации пункта (A) нанимателю выгодно требовать от работника
высокого уровня усилий в том и только в том случае, если (µH ? µL )(y2 ? y1 ) > c.
(C) Рассмотрите теперь случай, когда усилия работника ненаблюдаемы, и наниматель хо-
чет побудить работника выбрать высокий уровень усилий. Запишите условие совместимости
стимулов и условие участия.
(D) Покажите, что из условия совместимости стимулов следует, что w2 > w1 .
(E) Объясните, почему нанимателю выгодно назначить такую оплату, что оба ограничения
выходят на равенство.
(F) Пользуясь тем, что работник — рискофоб, покажите, что ожидаемая зарплата работ-
ника выше, а ожидаемая прибыль нанимателя ниже, чем при наблюдаемости усилий (пред-
полагаем, что в обоих случаях нанимателю выгодно побуждать работника выбрать высокий
уровень усилий).
(G) Найдите оплату при нейтральности работника к риску (при том же предположении,
что наниматель побуждает работника выбрать высокий уровень усилий).
(H) Найдите оплату в случае, когда нанимателю выгодно побуждать работника выбрать
низкий уровень усилий.
15.3. Модель найма со скрытой информацией 580

 638. [Tirole] Акционеры решают, какое жалование w назначить менеджеру компании. При-
быль без учета этого жалования, y , зависит от усилий менеджера, x, и случайного фактора
(«возмущения»), ? : y = x + ? . Предполагаем, что ? — случайная величина, распределение ко-
торой не зависит от x, с носителем (??, +?), имеющая нулевое математическое ожидание:
E(?) = 0. Акционеры нейтральны к риску и максимизируют ожидаемую прибыль E(x + ? ? w).
Менеджер имеет целевую функцию типа Неймана — Моргенштерна с элементарной функцией
полезности вида u(x, w) = v(w ? ?x2 ), где ? — постоянный коэффициент, функция v(·) имеет
положительную невозрастающую производную. Менеджер может найти себе работу препода-
вателя в бизнес-школе, где практически без усилий и риска ему гарантирована заработная
плата w0 .
(i) Если акционеры наблюдают уровень усилий менеджера, то они могут найти такую схему
оплаты, что менеджер выберет именно тот уровень усилий, какой им требуется. Предложите
вариант такого контракта. Найдите оптимальный уровень усилий, то есть такой, который дает
максимум ожидаемой прибыли, и при этом менеджер не откажется от контракта.
(ii) Пусть акционеры не могут наблюдать уровень усилий, им известна только величина
прибыли y . Предположим, что используется линейная схема оплаты w(y) = a + by . Покажите,
что уровень усилий, который выберет менеджер, не зависит от вида функции v(·). Найдите его
как функцию коэффициентов a и b. (Поскольку носитель распределения ошибки не зависит
от усилий менеджера, то производная математического ожидания равна математическому
ожиданию производной.) Покажите, что если менеджеру остается вся прибыль за исключением
некоторой постоянной величины, то есть b = 1, то он выберет тот уровень усилий, который
оптимален в ситуации (i).
(iii) Запишите функцию Лагранжа и найдите условия первого порядка для задачи выбора
оптимального линейного контракта. Покажите, что если менеджер нейтрален к риску, то акци-
онеры выберут b = 1. Докажите, что если производная функции v(·) убывает (т. е. менеджер
является рискофобом), то в оптимальном контракте 0 < b < 1, то есть это нечто среднее
между ситуацией, когда весь риск берут на себя акционеры (b = 0) и ситуацией, когда весь
риск берет на себя менеджер (b = 1). (Подсказка: Воспользуйтесь тем, что если f (·) — возрас-
тающая функция ? , то ковариация Cov(f (?), ?) = E(f (?)?) неотрицательна, и наоборот, если
f (·) — убывающая функция ? , то эта ковариация неположительна).



15.3 Модель найма со скрытой информацией
В этом параграфе мы будем исходить из того, что уровень усилий является наблюдае-
мой величиной, но наниматель не владеет в полной мере информацией о характеристиках
работника. Это так называемые модели найма со скрытой информацией. В подобных моделях
можно предполагать, что нанимателю неизвестны, например, полезность работника от опла-
ты по контракту, продуктивность усилий, тягость разных усилий, резервная полезность и т. д.
Поскольку усилия наблюдаемы, оплата по контракту w(·) может быть обусловлена уровнем
усилий, что и предполагается в дальнейшем в этом параграфе.
Будем предполагать, что на рынке труда представлены работники нескольких типов ? ? ?,
причем наниматель не может их различить. При этом на множестве ? задано (тем или иным
способом) распределение вероятностей, известное потенциальным нанимателям. В случае, если
множество ? конечно, это распределение можно характеризовать перечислением вероятностей
µ? встретить работника типа ? . В дальнейшем будем считать, что при этом µ? > 0 ?? .
Предположим, что результат усилий x ? X работника — доход y(x), возрастающая вогну-
тая функция уровня усилий. Наниматель максимизирует свою прибыль

y(x) ? w(x),
15.3. Модель найма со скрытой информацией 581

где w(x) — оплата уровня усилий x работника. Коль скоро доход y(x) — строго монотонная
функция усилий, то можно измерять уровень усилий непосредственно величиной ожидаемого
дохода. Таким образом, без ограничения общности будем считать, что уровень усилий измеря-
ется величиной ожидаемого дохода, т. е. y(x) = x.
В дальнейшем будем считать (хотя это, возможно, не вполне адекватно описывает реальные
условия найма9 ), что от того, был ли нанят и на каких условиях один работник, не влияет на
то, имеется ли возможность нанять других работников, и какова будет их производительность.
Это предположение позволяет рассматривать каждый акт найма обособленно (как самостоя-
тельную игру нанимателя с данным работником).
При таком предположении если работник типа ? осуществляет усилия x? , то с точки зре-
ния нанимателя доход в расчете на одного работника (и, что то же самое, усилия) — это
случайная величина, принимающая значение x? с вероятностью µ? . Таким образом, ожидае-
мая прибыль нанимателя в расчете на одного работника равна:

E(x? ? w(x? )),

где ожидание берется по распределению типов. В частном случае конечного числа (n) типов
она считается по формуле
n
µ? (x? ? w(x? )),
?=1
???Почему такая прибыль?
Предполагаем, что функция полезности работника любого типа сепарабельна по деньгам и
усилиям:
u? (x, w) = v? (w) ? c? (x),
где, как и ранее, v? (w) — полезность оплаты w , а c? (x) — тягость усилий x для работника
типа ? . Мы будем предполагать, что v? (w) — возрастающая вогнутая функция, а c? (x) —
возрастающая выпуклая функция. Разные типы работников характеризуются разной формой
функций v? (w) и c? (x).
Для упрощения анализа предположим, более конкретно, что v? (w) = w .
Пусть x? — усилия, которые, как планирует наниматель, должен осуществлять работник
типа ? , а w? — соответствующая зарплата. Пары (x? , w? ) будем называть пакетами. Удобно
начать изучение модели найма со скрытой информацией с задачи поиска оптимального на-
бора (или, как часто говорят, меню) пакетов, по одному на каждый тип работника, а не с
анализа нахождения оптимального контракта w(x), который бы специфицировал плату при
каждом возможном уровне усилий работника. Оказывается, и это будет продемонстрировано
в дальнейшем, что при таком упрощении модели мы, фактически, ничего не теряем.

15.3.1 Модель найма со скрытой информацией при монопольном положении
нанимателя: характеристики оптимальных пакетных контрактов
Рассмотрим сначала случай найма с единственным нанимателем. При этом предположим,
что каждый тип работников характеризуется уровнем резервной полезности u0? , заданной
экзогенно. (Если предложенный ему контракт обеспечивает полезность ниже величины u0? ,
работник отказывается его подписывать.) Нормируя функции издержек (добавляя к «перво-
начальным» функциям величины u0? ), будем считать, что все u0? равны нулю.
Модель найма со скрытой информацией можно представить как динамическую игру с
неполной информацией. Опишем последовательность ходов в этой игре:
0. «Природа» выбирает тип работника ? ? ?.
9
В частности, обычно количество вакансий ограничено и существует конкуренция среди соискателей этих
вакансий.
15.3. Модель найма со скрытой информацией 582

1. Наниматель, не зная типа, предлагает работнику меню контрактов — пакеты (x? , w? ),
? ? ?.
2. Работник (зная свой тип) выбирает одну из возможных альтернатив: либо не подписы-
вать контракт, либо подписать контракт, выбрав какой-то из предложенных пакетов.
Выигрыши нанимателя и работника в случае подписания контракта вычисляются в соот-
ветствии с условиями контракта. (Это подразумевает, что условия подписанного контракта не
могут пересматриваться, и этот факт является общеизвестным??? - дополнение пришлет В.П.)
В дальнейшем мы поясним, что это условие является существенным для анализа игры).
Мы, как обычно, будем предполагать благожелательное поведение работника по отноше-
нию к хозяину. Будем предполагать также, что пакеты правильно маркированы: (x? , w? ) — па-
кет, который добровольно выбирает работник типа ? . Это позволяет описать выбор оптималь-
ных пакетов задачей максимизации ожидаемой прибыли нанимателя при ограничениях двух
типов, следующих из предположения о рациональном поведении работников: (1) работнику
каждого из типов должно быть выгодно подписать контракт (условия участия), (2) работнику
типа ? должно быть выгодно выбрать предназначенный для него пакет (условия совместимо-
сти стимулов). Условия совместимости стимулов, называют в данном случае также условиями
самовыявления, поскольку они фактически требуют, чтобы пакеты были выбраны так, чтобы
происходило добровольное выявление типа работника.
Таким образом, следует рассмотреть следующую задачу:
E ? = E(x? ? w? ) > max
w? ,x?

w? ? c? (x? ) w? ? c? (x? ), ??, ? ? ?,
w? ? c? (x? ) 0, ?? ? ?.
Поскольку в оптимальном решении некоторые из типов работников могут не подписать кон-
тракт, то работников таких типов следует исключить из рассмотрения, дополнив указанную
задачу ограничениями неучастия. Следует провести перебор по подмножествам множества ти-
пов работников, разделяя их на тех, кто подписывает контракт, и тех, кто его не подписывает,
и выбрать тот вариант, который дает наибольшую ожидаемую прибыль.

Модель найма со скрытой информацией при двух типах работников
Прежде, чем анализировать более общие случаи, проведем анализ простого частного слу-
чая, когда встречаются только работники двух типов: ? = 1, 2. Вероятность появления ра-
ботника 1-го типа на рынке труда равна µ1 , а 2-го — µ2 . Будем предполагать, что работник
первого типа более способный, т. е. один и тот же объем работ он выполняет с меньшими
усилиями и, кроме того, производство дополнительной единицы продукции требует от него
меньших издержек:
c2 (x) c1 (x)
и
c2 (x) > c1 (x) ?x.
Последнее неравенство означает, что разность d(x) = c2 (x) ? c1 (x) возрастает по x. Заметим,
что для справедливости почти всех приведенных ниже результатов достаточно выполнения
этого условия (а не условия на производные этих функций).
Для каждой из категорий работников ? ? {1, 2} предназначается своя пара усилия —
зарплата, т. е. пакет (x? , w? ).
Если бы наниматель мог различать работников, тогда он выбрал бы «идеальные» пакеты
(?? , w? ), которые рассматривались выше для случая полной информации.
x?
«Идеальные» уровни усилий x? находились бы из условия максимизации прибыли, соот-
?
ветствующей сделке с работником каждого типа. При этом единственным ограничением для
15.3. Модель найма со скрытой информацией 583

<< Предыдущая

стр. 136
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>