<< Предыдущая

стр. 137
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

нанимателя было бы условие участия. В оптимуме это ограничение должно выполняться как
равенство: w? = c? (x? ). Подставим это равенство в функцию прибыли:

x ? c? (x) > max
x?X


Сделанные выше предположения относительно функций издержек гарантируют, что x1 ?
x2 . Покажем это. Из того, что x1 и x2 являются решениями соответствующих задач, следует,
? ? ?
что
x1 ? c1 (?1 ) x2 ? c1 (?2 )
? x ? x

и
x2 ? c2 (?2 ) x1 ? c2 (?1 ).
? x ? x

Складывая эти неравенства, получаем

c2 (?1 ) ? c1 (?1 ) c2 (?2 ) ? c1 (?2 ),
x x x x

и
d(?1 )
x d(?2 ).
x

Неравенство x1 x2 следует из возрастания функции d(x). Выполнение строгого неравенства
? ?
можно гарантировать при дифференцируемости функций издержек в предположении, что
c2 (x) > c1 (x) ?x.
Если функции издержек дифференцируемы, то условие первого порядка внутреннего мак-
симума выглядит следующим образом (см. Рис. 15.14):

c? (?? ) = 1.
x

Оплата wi выбирается так, чтобы в точности компенсировать работнику издержки его усилий,
?
т. е.
w? = c? (?? ).
? x

Сказанное иллюстрирует Рис. 15.14. Оплата w1 работника 1-го типа равна сумме площадей
?
фигур A и B и величины c1 (0), а оплата w2 работника 2-го типа — A + C + c2 (0).
?


c2 (x)
c1 (x)

1

B
C
A x
x1
?
x2
?


Рис. 15.14. Идеальная оплата при полной информации

Поскольку наниматель не может отличать тип работников, то требуется, чтобы произошло
их самовыявление, то есть, чтобы работник каждого типа выбрал именно тот пакет, который
15.3. Модель найма со скрытой информацией 584

для него предназначен. Таким образом, задача нанимателя имеет следующий вид:

E ? = E(x? ? w? ) = µ1 (x1 ? w1 ) + µ2 (x2 ? w2 ) > max
w1 ,x1 ,w2 ,x2

w1 ? c1 (x1 ) w2 ? c1 (x2 )
(условие самовыявления работника 1-го типа),
w2 ? c2 (x2 ) w1 ? c2 (x1 )
(условие самовыявления работника 2-го типа),
w? ? c? (x? ) 0, ?? = 1, 2
(условия участия).

Заметим, что для любых допустимых в этой задаче пакетов (а значит и для оптималь-
ных) выполнены условия монотонности (упорядоченности) усилий и соответствующих уровней
оплат. Действительно, сложив два условия самовыявления, получим

c2 (x1 ) ? c1 (x1 ) c2 (x2 ) ? c1 (x2 ),

или
d(x1 ) d(x2 ),
откуда при возрастании функции d(x) следует, что x1 x2 . Из условия самовыявления ра-
ботника 1-го типа при возрастании функции c1 (x) следует, что

w1 ? w2 c1 (x1 ) ? c1 (x2 ) 0,

т. е. w1 w2 .
Рассматриваемую задачу можно существенно упростить, используя сделанные выше пред-
положения относительно функций издержек.
Покажем, что два из четырех условий выполняются в решении задачи как равенство. Ана-
лиз проведем в несколько шагов.
1. Покажем сначала, что условие участия для работника первого типа является следствием
указанных двух условий, т. е. избыточно. Действительно, из условия самовыявления работника
c1 (x) ?x, получим,
1-го типа и условия участия работника 2-го типа, учитывая, что c2 (x)
что выполняется и условие участия для работника первого типа:

w1 ? c1 (x1 ) w2 ? c1 (x2 ) w2 ? c2 (x2 ) 0.

2. Далее, условие самовыявления для работника 1-го типа в решении обращается в равен-
ство (для него оба пакета должны оказаться эквивалентными). Действительно, если это не
так, то возможно уменьшить величину w1 , не нарушая ограничения задачи, что противоре-
чит оптимальности рассматриваемых пакетов. (Ограничение участия для работника 1-го типа
не нарушается, коль скоро не нарушается ограничение самовыявления работника 1-го типа, а
ограничение участия для работника 2-го типа остается без изменений.)
3. Наконец, условие участия для работника второго типа в решении обращается в равен-
ство. Действительно, если это не так, то оба условия участия выполняются как строгие нера-
венства. Но тогда можно уменьшить оплату работников обоих типов на одну и ту же величину,
не нарушив эти условия. При этом по прежнему выполняются ограничения самовыявления,
а прибыль нанимателя увеличивается (на величину уменьшения оплаты), что противоречит
предположению об оптимальности пакетов.
Мы показали, что в оптимальном решении w1 , w2 , x1 , x2 выполнены равенства
????

w1 ? c1 (?1 ) = w2 ? c1 (?2 )
? x ? x
15.3. Модель найма со скрытой информацией 585

w2 ? c2 (?2 ) = 0,
? x
откуда w2 = c2 (?2 ), w1 = c1 (?1 ) + c2 (?2 ) ? c1 (?2 ),
? x ? x x x
Подставляя эти значения в ограничение участия для работника второго типа, получим

c2 (?2 ) ? c2 (?2 ) c2 (?2 ) ? c1 (?2 ) + c1 (?1 ) ? c2 (?1 ),
x x x x x x

или
d(?1 )
x d(?2 ).
x
Выполнение последнего неравенства гарантируют предположения относительно функций из-
держек (d(x) — возрастающая функция) и установленное выше соотношение x1 x2 . Таким
образом, в оптимальном решении задачи выполнение условия участия работников 2-го типа
является следствием двух полученных выше равенств.
Подставив w1 и w2 в целевую функцию задачи, получим следующую задачу для выбора
? ?
x1 и x2 :
? ?
µ1 (x1 ? c2 (x2 ) + c1 (x2 ) ? c1 (x1 )) + µ2 (x2 ? c2 (x2 )) > max
x1 ,x2 ?X

x1 x2 .
Сначала мы найдем решение соответствующей задачи безусловной оптимизации (не учитывая
ограничения x1 x2 ), а затем покажем, что это ограничение выполняется в полученном
решении, и поэтому несущественно.
Поскольку µ1 > 0 и µ2 > 0, то без ограничения монотонности уровней усилий, x1 x2 ,
задача, фактически, распадается на две задачи, одна — для выбора x1 , другая — для выбора
?
x2
?
x1 ? c1 (x1 ) > max .
x1 ?X
µ1
x2 ? c2 (x2 ) ? (c2 (x2 ) ? c1 (x2 )) > max .
µ2 x2 ?X

Первая задача имеет тот же вид, что и задача определения оптимального уровня усилий ( x1 ) в
?
условиях, когда типы работников наблюдаемы. Следовательно, множества решений этих двух
задач совпадают. Для 2-го типа задача отличается от задачи поиска x2 тем, что к функции
?
µ1
издержек добавляется неотрицательная возрастающая функция µ2 (c2 (x2 ) ? c1 (x2 )). Поэтому
решения двух задач, вообще говоря, различны, причем если x2 и x2 — решения этих задач,
? ?
то x2 x2 . Действительно, по определению x2
? ? ?

x2 ? c2 (?2 ) x2 ? c2 (?2 ),
? x ? x

а по определению x2
?
µ1 µ1
x2 ? c2 (?2 ) ? (c2 (?2 ) ? c1 (?2 )) x2 ? c2 (?2 ) ? (c2 (?2 ) ? c1 (?2 )).
? x x x ? x x x
µ2 µ2
Сложив эти неравенства, получим

c2 (?2 ) ? c1 (?2 ) c2 (?2 ) ? c1 (?2 )
x x x x

или
d(?2 )
x d(?2 ),
x
откуда следует требуемое неравенство.
Таким образом, если x1 , x2 , x2 — решения соответствующих задач, то имеет место нера-
???
венство x1 x2 x2 . Таким образом, ограничение x1 x2 выполняется для любого решения
? ? ?
задачи и поэтому несущественно.
15.3. Модель найма со скрытой информацией 586

Заметим, что при дифференцируемости функций для любой пары внутренних оптималь-
ных пакетов выполнено строгое неравенство x1 > x2 при условии, что c2 (x) > c1 (x) ?x. Мы
? ?
покажем это ниже.
Условия первого порядка для внутренних решений x1 , x2 при дифференцируемости функ-
??
ций издержек имеют вид:
c1 (?1 ) = 1,
x
µ1
c2 (?2 ) = 1 ? [c (?2 ) ? c1 (?2 )].
x x x
µ2 2
Поскольку c2 (x) > c1 (x), то c2 (?2 ) < 1. Это означает, что x2 = x2 , где x2 — оптимальный
x ? ? ?
уровень усилий для работника 2-го типа. Поскольку x2 ? x2 , то это означает, что усилия,
?
осуществляемые работником 2-го типа, неоптимально низки ( x2 < x2 ).
? ?
Поскольку x1 — оптимальный уровень усилий для работника 1-го типа, то x1 > x2 , где ес-
? ? ?
ли x2 — оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Получаем цепочку неравенств
?
x1 > x2 > x2 .
? ? ?
Строгая выпуклость функций издержек c? (·) гарантирует единственность решений задач
определения оптимальных уровней усилий x1 и x2 в ситуации симметричной информиро-
? ?
ванности и достаточность условий первого порядка. То же самое справедливо и для задачи
определения величины оптимального уровня усилий x1 для случая асимметричной информи-
?
рованности. Аналогичные свойства задачи определения уровня усилий x2 можно гарантиро-
?
вать лишь при дополнительных условиях, например, при выпуклости функции c2 (x) ? c1 (x)(
монотонности функции c2 (x) ? c1 (x)). При этом

x1 = x1 > x2 > x2 .
? ? ? ?

Таким образом, для работника 2-го типа приходится планировать меньшую величину усилий,
чтобы понизить оплату работника 1-го типа.
Рис. 15.15 иллюстрирует сделанные нами выводы.


c2 (x)
c1 (x)

1



x
x2
? x1 =?1
?x
x2
?


Рис. 15.15.

Поскольку, как мы предполагаем, решение внутреннее, то c2 (?2 ) > c1 (?2 ), откуда
x x

w1 ? c1 (?1 ) = w2 ? c1 (?2 ) > w2 ? c2 (?2 ) = 0
? x ? x ? x

<< Предыдущая

стр. 137
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>