<< Предыдущая

стр. 138
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Таким образом, работник 2-го типа при этом всегда получает лишь резервную полезность
(его излишек равен нулю), а первый — несколько больше своей резервной полезности. То
есть наличие на рынке менее производительных работников и невозможность их отличить
приводит к тому, что более производительный работник при условии, что выгодно нанимать
менее производительных работников, получает так называемую информационную ренту.
15.3. Модель найма со скрытой информацией 587

Проиллюстрируем это графически (Рис. 15.16). На рисунке OA — прибыль от контракта
с работником 2-го типа, OB — прибыль от идеального контракта с работником 2-го типа,
OC — прибыль от контракта с работником 1-го типа, OD — прибыль от идеального контракта
с работником 1-го типа.
Заштрихованная область соответствует пакетам (x2 , w2 ), обеспечивающим Парето-улуч-
шение. Пакеты в этой области не могут быть реализованы из-за необходимости обеспечить
выполнение условия самовыявления для работников 1-го типа.


c2 (x)

w1
?
w1
?
w2
?

w2
?
c1 (x) x
O x2
?
x2
? x1 =?1
?x
A c1 (x1 )+c2 (?2 )?c1 (?2 )
x x
B




C
D



Рис. 15.16.

Пример 81:
Для функций издержек
c1 (x) = 0,5x2 , c2 (x) = x2 ,
и множества возможных усилий X = R+ решая задачу

µ1 (x1 ? x2 + 0,5x2 ? 0,5x2 ) + µ2 (x2 ? x2 ) > max .
2 2 1 2 x1 ,x2

получим
1
x1 = 1, x2 =
? ? .
2 + µ1 /µ2
При этом уровни оплаты будут равны:
1
w1 = 0,5?2 + 0,5?2 =
? x2 x1 + 0,5,
2(2 + µ1 /µ2 )2
1
w2 = x2 =
? ?2 .
(2 + µ1 /µ2 )2
Работник второго типа будет производить меньше эффективного уровня x2 = 0,5. Совпадение
?
возможно только если µ1 = 0, µ2 = 1.
Информационная рента работника 1-го типа равна
1
w1 ? 0,5?2 =
? x1 > 0.
2(2 + µ1 /µ2 )2
15.3. Модель найма со скрытой информацией 588

Проделанный анализ характеризует оптимальные с точки зрения нанимателя условия най-
ма работников обоих типов. Как было указано выше, это решение следует сравнить с решени-
ем, полученным при условии, что нанимаются только работники первого типа. Напоминаем,
что, как и прежде, мы предполагаем, что если два варианта поведения приносят работнику
одинаковую полезность, то он выбирает поведение, выгодное нанимателю. Поэтому условия
неучастия запишем в виде нестрогого неравенства. Выбор оптимального пакета для случая,
когда нанимаются только работники 1-го типа, характеризуется следующей задачей:

x ? w > max
w,x

w ? c1 (x) 0
(условие участия работника 1-го типа),
w ? c2 (x) 0
(условие неучастия работника 2-го типа).

Для решения (?, w) этой задачи выполнено w = c1 (?), т. е. ограничение участия работника
x? ? x
1-го типа выходит на равенство. При этом ограничение неучастия работника 2-го типа явля-
ется несущественным, поскольку c1 (x) c2 (x). Таким образом, задача совпадает с задачей
выбора оптимального пакета (?1 , w1 ) для работника 1-го типа в условиях полной информа-
x?
ции.
В этом простом случае, разрабатывая стратегию найма, наниматель сравнивает минималь-
ное значение ожидаемой информационной ренты с максимальным значением ожидаемого до-
хода от занятости работника второго типа. В случае, когда первая величина превышает вто-
рую, предлагаются пакеты для работников обоих типов. В случае, когда доход от занятости
работников второго типа относительно низкий, предлагается только один пакет (?1 , w1 ).
x?

Модель найма со скрытой информацией при конечном количестве типов работни-
ков. Цепное правило
Пусть теперь на рынке труда присутствуют n различных типов работников, т. е. ? =
{1, . . . , n}.
Предположим, относительно функций издержек что

c? (x) (?x ? X) ? ?
c? (x) ?,

и разности c? (x) ? c? (x) возрастают по x при ? > ?.


cn?1 (x)
cn (x)
c2 (x)

c1 (x)
·
·
·



x




Рис. 15.17. ?? Нет подписи и ссылки
15.3. Модель найма со скрытой информацией 589

Напомним, что составление оптимального контракта сводится к решению следующей зада-
чи

µ? (x? ? w? ) > max
w? ,x?
???
w? ? c? (x? ) w? ? c? (x? ), ??, ? ? ?, ()
w? ? c? (x? ) 0, ?? ? ?.

Если указанные условия упорядоченности издержек выполнены, то можно доказать важ-
ный результат: цепное правило. Он состоит в том, что можно заменить задачу ( ) эквивалент-
ной задачей:

µ? (x? ? w? ) > max
w? ,x?
???
w? ? c? (x? ) = w?+1 ? c? (x?+1 ), ?? < n, ( )
wn ? cn (xn ) = 0,
x?+1 , ?? < n.
x?

Это означает, что наниматель выберет контракт, обладающий следующими свойствами:
1) Чем большей производительностью отличается работник, тем большие он осуществляет
усилия (условие упорядоченности уровней усилий x? ).

2) Не требуется следить, чтобы работник типа ? (? < n) не выбирал пакет, предназначенный
для работника типа ? + k при k > 1, достаточно гарантировать, чтобы это было выполнено
для k = 1. Ограничение участия достаточно обеспечить для работника типа ? = n.

3) При максимизации прибыли указанные ограничения следует вывести на равенство. А имен-
но, работник типа ? (? < n) должен быть безразличен при выборе между пакетом (w? , x? )
и пакетом (w?+1 , x?+1 ), а работник типа ? = n должен быть безразличен при решении о
подписании контракта.
В следующей теореме мы последовательно покажем, что оптимальные пакеты характери-
зуются этими свойствами, и, тем самым, покажем эквивалентность двух задач.
Теорема 149:
Если выполнено условие упорядоченности издержек, то задача ( ) эквивалентна задаче
( ).

Доказательство: 1) Пусть пакеты {w? , x? } удовлетворяют ограничениям задачи ( ). Покажем,
что уровни усилий упорядочены.
Рассмотрим два произвольных типа ?, ? ? ?, таких что ? > ?. Для этих типов выполнены
условия самовыявления:
w? ? c? (x? ) w? ? c? (x? ),
w? ? c? (x? ) w? ? c? (x? ).
Сложив два неравенства, получим

c? (x? ) ? c? (x? ) c? (x? ) ? c? (x? ).

Поскольку c? (x) ? c? (x) возрастает, то отсюда следует, что x? x? .
2) Докажем, что если для работника любого типа ? < n пакет (w? , x? ) не хуже, чем пакет
(w?+1 , x?+1 ), то, как следствие, для работника любого типа ? < n пакет (w? , x? ) не хуже, чем
любой пакет (w?+k , x?+k ), k 1 (k n ? ? ).
15.3. Модель найма со скрытой информацией 590

Докажем это утверждение по индукции. При k = 1 оно верно по предположению. Пред-
положим теперь, что оно верно для некоторого фиксированного k и покажем, что оно также
верно и для k + 1.
Поскольку
w? ? c? (x? ) w?+k ? c? (x?+k ),
и
w?+k ? c?+k (x?+k ) w?+k+1 ? c?+k (x?+k+1 ),
откуда
w? ? c? (x? ) w?+k+1 ? c? (x?+k ) + c?+k (x?+k ) ? c?+k (x?+k+1 ).
Поскольку, как мы только что доказали, x?+k x?+k+1 , а функция c?+k (x) ? c? (x) возрастает,
то
c?+k (x?+k ) ? c? (x?+k ) c?+k (x?+k+1 ) ? c? (x?+k+1 ),
и, следовательно,
w? ? c? (x? ) w?+k+1 ? c? (x?+k+1 )
Мы показали, что часть ограничений самовыявления избыточна. Покажем теперь, что из огра-
ничения самовыявления для ? и ? + 1 и ограничения участия для ? = n следуют ограничения
участия для ? < n, поэтому они также избыточны. Действительно, из

w? ? c? (x? ) w?+1 ? c? (x?+1 ),

и
w?+1 ? c?+1 (x?+1 ) 0,
при выполнении предположения об упорядоченности издержек следует

w? ? c? (x? ) 0.

3) В решении задачи ( ) строгое неравенство

w? ? c? (x? ) > w?+1 ? c? (x?+1 ), ?? < n,

невозможно. Если бы выполнялось такое неравенство, то, как следует из только что доказанно-
го, мы могли бы уменьшить все w? , ? ? , на величину соответствующей невязки, не нарушая
ни одного ограничения задачи (все ограничения, которые могли бы быть нарушены при та-
ком сдвиге, являются избыточными, то есть выполняются автоматически). Но тем самым, мы
увеличили бы прибыль, что невозможно.
Аналогично, если бы
wn ? cn (xn ) > 0,
то возможно было бы уменьшить wn до cn (xn ), не нарушая ни одного ограничения задачи.
Таким образом, оптимальное решение задачи ( ) удовлетворяет всем ограничениям задачи
( ).
4) Для доказательства теоремы осталось показать, что если пакеты {w? , x? } удовлетворяет
ограничениям задачи ( ), то они удовлетворяют всем ограничениям задачи ( ).
Достаточно проверить ограничения самовыявления для ?, ? при ? > ? и ограничение уча-
стия для n, поскольку, как мы уже показали, остальные ограничения избыточны. Ограничение
участия для работника типа n в задаче ( ) выполнено.
Докажем выполнение указанных ограничений самовыявления по индукции. Зафиксируем
? . При ? = ? ограничение выполнено. Пусть оно выполнено при некотором заданном ? (? >
?)). Докажем, что оно выполнено и при ? ? 1.
15.3. Модель найма со скрытой информацией 591

Из предположения индукции

w? ? c? (x? ) w? ? c? (x? )

и ограничения задачи ( )

w??1 ? c??1 (x??1 ) = w? ? c??1 (x? )

следует, что
w? ? c? (x? ) w??1 ? c??1 (x??1 ) + c??1 (x? ) ? c? (x? ).
x? , а функция c? (x) ? c??1 (x) возрастает, то
) x??1
Поскольку из ограничения задачи (

c? (x??1 ) ? c??1 (x??1 ) c? (x? ) ? c??1 (x? ),

откуда
w? ? c? (x? ) w??1 ? c? (x??1 ).

Данная теорема (цепное правило) позволяет получить ряд свойств системы оптимальных
пакетов. В частности, из ограничений задачи ( )

w? ? c? (?? ) = w?+1 ? c? (??+1 )
? x ? x

<< Предыдущая

стр. 138
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>