<< Предыдущая

стр. 139
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


и монотонности усилий
x?
? x?+1 .
?
следует, что w? w?+1 , то есть плата монотонна (не убывает по типу).
? ?
Напомним, что излишек, получаемый работником, называют информационной рентой. Для
работника типа ? она равна
w? ? c? (?? ) ( 0).
? x
Эта рента не возрастает по ? , поскольку

w? ? c? (?? ) = w?+1 ? c? (??+1 ) w?+1 ? c?+1 (??+1 ).
? x ? x ? x

Если для какого-то из типов информационная рента положительна, то для всех предыду-
щих типов она тоже положительна. Для работника n-го типа информационная рента равна
нулю. Рента нужна, чтобы работник не стал «притворяться», что его тип более высокий, чем
на самом деле (в обратную сторону претворяться не имеет смысла).
Можем выразить {w? } через {?? } следующим образом:
? x

wn = cn (?n ),
? x

wn?1 = wn ? cn?1 (?n ) + cn?1 (?n?1 ) = cn (?n ) ? cn?1 (?n ) + cn?1 (?n?1 ),
? ? x x x x x
и т. д. Получим зависимость w? = w? (?? , . . . , xn ). Общая формула имеет следующий вид
? ?x ?
n
(ck (xk ) ? ck?1 (xk )) + c? (x? ).
w? (x? , . . . , xn ) =
?
k=?+1

Таким образом, задача ( ) сводится к следующей:

µ? (x? ? w? (x? , . . . , xn )) > max
?
x?
???
x?+1 , ?? < n.
x?
15.3. Модель найма со скрытой информацией 592

Объединяя слагаемые, являющиеся функциями от x? , получим эквивалентную запись этой
задачи:

[µ? (x? ? c? (x? )) ? M??1 (c? (x? ) ? c??1 (x? ))] > max
x?
???
x?+1 , ?? < n.
x?

где мы ввели обозначение
M? = µ1 + · · · + µ? .
Поскольку целевая функция задачи сепарабельна по {x? }, то в ситуации, когда ограни-
чения монотонности усилий по типу x? x?+1 несущественны, ее решение распадается на n
независимых друг от друга задач:

M??1
x ? c? (x) ? (c? (x) ? c??1 (x)) > max .
µ? x?X

Как мы видели, для случая 2 типов решения соответствующих задач x1 , x2 всегда удовле-
??
творяют условию x1 x2 , однако в общем случае такого распадения задачи может не быть.
? ?
Следующий пример показывает, что в случае 3 типов работников ограничение x? x?+1 мо-
жет стать активным.
Пример 82:
Пусть на рынке труда, в дополнение к 2 типам работников, рассмотренным в Примере 81,
с функциями издержек
c1 (x) = 0,5x2 , c2 (x) = x2 ,
имеются также работники 3-го типа с функцией издержек

c3 (x) = 1,5x2 .

Решение задачи
µ1 + µ2
x ? c3 (x) ? (c3 (x) ? c2 (x)) > max
µ3
имеет вид:
1
x3 =
? .
3 + (µ1 + µ2 )/µ3
Если доля работников 2-го типа, µ2 , мала, то решение аналогичной задачи для работника 2-го
типа может оказаться ниже:
1 1
< ,
2 + µ1 /µ2 3 + (µ1 + µ2 )/µ3

то есть разделяющий контракт не будет оптимальным. Это происходит при µ2 < µ1 µ3 . На-
пример, при µ1 = 3/8, µ2 = 1/8, µ3 = 1/2 получим x2 = 1/5 и x3 = 1/4.
? ?
Чтобы получить уровни усилий, которые определяют оптимальный контракт в этом случае,
следует решить задачу

µ2 (x ? c2 (x)) ? µ1 (c2 (x) ? c1 (x)) +
+ µ3 (x ? c3 (x)) ? (µ1 + µ2 )(c3 (x) ? c2 (x)) > max

или
x2
(µ2 + µ3 )x ? (2 + µ2 + µ3 ) > max
2
15.3. Модель найма со скрытой информацией 593

откуда получаем следующие параметры объединяющего контракта:
µ2 + µ3
x2 = x3 =
? ? ,
2 + µ2 + µ3
2
µ2 + µ3
w2 = w3 = c3 (?3 ) = 1,5
? ? x
2 + µ2 + µ3
Как и в Примере 81 x1 = 1, однако оплата будет другая:
?
2
µ2 + µ3
w1 = w2 + c1 (?1 ) ? c1 (?2 ) = 0,5 +
? ? x x
2 + µ2 + µ3

При µ1 = 3/8, µ2 = 1/8, µ3 = 1/2 получим x2 = x3 = 5/21.
? ?
Записав для полной задачи, включающей ограничение x2 x3 , функцию Лагранжа и
приравняв к нулю ее производные в найденном решении, можно убедится, что множитель
Лагранжа для данного ограничения равен
µ3 µ1 ? µ2
.
2 + µ2 + µ3

Таким образом, ограничение активно при µ2 < µ1 µ3 .



c3 (x) c1 (x)
c2 (x)

w1
?




w2 =w3
?? x
x1
?


Рис. 15.18. Пакеты, соответствующие объединяющему контракту для 3 типов работников

Оптимальные контракты можно разделить на два класса:
Разделяющие контракты: x? > x?+1 ?? — все типы себя выявляют.
? ?
Объединяющие контракты: ?? : x? = x?+1 , w? = w?+1 — существуют кластеры (эффект
? ? ? ?
группирования типов (bunching)). Работники нескольких разных типов делают одинаковые
усилия и получают одинаковую зарплату. Таким образом, рассмотренный пример описывает
случай группирования второго и третьего типа, т. е. случай (частично) объединяющего кон-
тракта.
При дополнительных предположениях о поведении функций издержек в зависимости от
типа и усилий работника, а также формы функции распределения типов можно гарантировать,
что оптимальный контракт является разделяющим.
Обозначим, как и выше,
d? (x) = c?+1 (x) ? c? (x).
Мы предположили, что d? (x) — возрастающие функции. Предположим дополнительно, что
d?+1 (x) ? d? (x) — тоже возрастающие функции.
15.3. Модель найма со скрытой информацией 594

В этом случае задача ( ) эквивалентна следующей (получаемой из нее удалением ограни-
чений монотонности усилий x? x?+1 ):
µ? (x? ? w? ) > max
w? ,x?
???
w? ? c? (x? ) = w?+1 ? c? (x?+1 ), ?? < n, ()
wn ? cn (xn ) = 0.
Таким образом, в этом случае задача составления оптимальных пакетов сводится к реше-
нию последовательности n независимых задач.
Теорема 150:
M??1
Предположим, что d? (x) и d?+1 (x) ? d? (x) возрастают по x ?? и возрастает по ? .
µ?
Тогда задачи ( ) и ( ) эквивалентны.
Доказательство: Для доказательства утверждения достаточно показать, что решения {?? } за-
x
дач
M??1
?? (x) = x ? c? (x) ? d??1 (x) > max .
µ? x?X
удовлетворяют опущенным ограничениям (монотонности).
Поскольку x? максимизирует ?? (x), а x?+1 максимизирует ??+1 (x), то выполняются нера-
? ?
венства
?? (?? ) ?? (??+1 )
x x
и
??+1 (??+1 )
x ??+1 (?? ).
x
Сложив эти неравенства, после преобразований получим:
M??1 M? M??1
[d? (?? ) ? d??1 (?? )] + 1 + ?
x x d? (?? )
x
µ? µ?+1 µ?
M??1 M? M??1
[d? (??+1 ) ? d??1 (??+1 )] + 1 + ?
x x d? (??+1 ).
x
µ? µ?+1 µ?
Поскольку в предположениях теоремы функция
M??1 M? M??1
[d? (x) ? d??1 (x)] + 1 + ? d? (x)
µ? µ?+1 µ?
является возрастающей, то x?
? x?+1 .
?
Если к сделанным предположением добавить предположение о дифференцируемости функ-
ций, то можно доказать, что x? > x?+1 для внутренних решений. По условиям первого порядка
? ?
M??1
?? (?? ) = 1 ? c? (?? ) ?
x x d (?? ) = 0.
x
µ? ??1
M?
??+1 (??+1 ) = 1 ? c?+1 (??+1 ) ?
x x d (??+1 ) = 0.
x
µ?+1 ?
Пусть x? = x?+1
? ? = x . Тогда
?
M? M??1
??+1 (?) ? ?? (?) = c?+1 (?) ? c? (?) + d? (?) ?
x x x x x d (?) = 0
x
µ? ??1
µ?+1
или
M? M??1 M??1
? (d? (?) ? d??1 (?)) = 0.
1+ d? (?) +
x x x
µ?+1 µ? µ?
M
Поскольку µM? > µ? , d? (?) > 0, и d? (?) ? d??1 (?)
??1
x x x 0, то левая часть положительна.
?+1
Получили противоречие, т. е. x? = x?+1 .
? ?
15.3. Модель найма со скрытой информацией 595

15.3.2 Модель найма с асимметричной информацией при монопольном
положении нанимателя: общий случай
Предположим, что результат усилий x ? X работника — доход y (x), представляющий
?
собой случайную величину, распределение которой (Fx ) зависит от x, но не зависит от типа
(Fx? = Fx ?? ). Будем считать, что ожидаемый доход y(x) = Ex y (x) — монотонно возрастаю-
?
щая вогнутая функция уровня усилий, причем y(0) = 0.
Предположение о независимости распределения дохода от типа существенно упрощает ана-
лиз, поскольку в этом случае величина дохода не дает нанимателю информации о типе работ-

<< Предыдущая

стр. 139
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>