<< Предыдущая

стр. 141
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

более высокую прибыль. Однако эти альтернативные пакеты можно реализовать как пакетный
контракт.
Вообще говоря, по данному набору оптимальных пакетов оптимальный контракт w(·) мож-
но построить бесконечным числом способов. Требуется, чтобы функция w(·) проходила через
точки (x? , w? ), но не пересекала бы соответствующие кривые безразличия работников (лежала
выше их).
Заметим, что функция w(·) будет иметь достаточно сложный вид. Например, если функции
издержек дифференцируемы, то оптимальные пакеты нельзя реализовать в виде линейного
контракта w(x) = a + bx: точки (x? , w? ) могут не лежать на одной прямой, кроме того, при
строгой выпуклости функций издержек кривые безразличия будут пересекать прямую, про-
ходящую через эти точки даже и в том случае, если они лежат на одной прямой. Более того,
как правило, оптимальный контракт не может быть гладкой функцией.

15.3.3 Задачи
 639. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неизвест-
ными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной другого);
предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работник какого из
типов выбирает уровень усилий более низкий, чем в случае, когда типы наблюдаемы?
 640. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неизвест-
ными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной другого);
предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работник какого из
типов получит излишек полезности по сравнению с резервной полезностью?
 641. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неизвест-
ными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной другого);
предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работник какого из
типов выбирает уровень усилий такой же, как и в случае, когда типы наблюдаемы?
 642. В модели найма со скрытой информацией предположим, что издержки усилий работ-
ника типа t равны ct (x) = tx2 , где t = 1, 2, и ?1 = ?2 , где ?t — доля работников типа
t.
Определите характеристики контракта по найму этих двух типов работников (оптималь-
ный уровень усилий, обусловленное контрактом вознаграждение для каждого типа работни-
ков).
 643. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1 (x) = x2 , работника 2-го типа — c1 (x) =
?x2 , причем доли работников обоих типов одинаковы.
Определите характеристики оптимального контракта.
 644. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1 (x) = x2 , работника 2-го типа — c1 (x) =
2x2 .
Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников
первого типа.
15.3. Модель найма со скрытой информацией 600

 645. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1 (x) = x2 , работника 2-го типа — c1 (x) =
2x2 , причем доли работников обоих типов одинаковы.
Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от резервной полезно-
сти работников 1-го типа, в предположении, что резервная полезность работников 2-го типа
равна нулю.
 646. Заказчик нанимает подрядчика для производства некоторого блага. Ценность каждой
единицы этого блага для заказчика равна 8. Подрядчик с вероятностью 1/3 может оказаться
v
имеющим функцию полезности u1 = 12 + w?Q, и с вероятностью 2/3 — имеющим функцию
v
полезности u2 = 5 + w ? Q, где w — величина денежного дохода подрядчика, а Q — это
стоимость произведенных благ. Резервный уровень полезности подрядчика любого типа равен
u0 = 1.
Найдите оптимальный контракт вида {(Q1 , w1 ), (Q2 , w2 )} в условиях асимметричной ин-
формации (заказчик не различает подрядчиков).
 647. В модели найма со скрытой информацией с n типами работников (? = 1, . . . , n) по-
1
кажите, что если µ? = n , и c? (x) = ?c(x), где c(x) — возрастающая выпуклая функция,
то ограничение монотонности усилий несущественно, т. е. задача определения оптимального
контракта распадается на n независимых задач.
 648. Пусть в модели найма со скрытой информацией c? (x) = ?x, функция дохода y(x)
такова, что предельный доход положителен и убывает. Предположим, что решение задачи
поиска оптимальных пакетов ( x? , w? ) является внутренним, причем все типы работников
? ?
подписывают контракт.
(A) Покажите, что если имеется два типа работников, ?1 и ?2 , причем ?1 < ?2 , то уровни
усилий удовлетворяют соотношениям
µ1
(?1 ? ?2 ),
y (?2 ) = ?2 +
x
µ2
а
y (?2 ) = ?1 .
x
(B) Покажите, что если имеется три типа работников, ?1 , ?2 и ?3 , причем ?2 ??1 = ?3 ??2 >
0, то ограничение монотонности усилий является существенным тогда и только тогда, когда
µ2 < µ1 µ3 . Вычислите оптимальные пакеты для случая, когда µ2 < µ1 µ3 и µ2 µ1 µ3 .
(С) Покажите, что если имеются n типов работников, причем

?i ? ?i?1 = ?i+1 ? ?i > 0,

то достаточным условием несущественности ограничения монотонности усилий является неубы-
вание отношения
µ1 + · · · + µi?1
.
µi
Покажите, что это достаточное условие, вообще говоря, не является необходимым.
 649. Пусть в модели найма со скрытой информацией допустимые усилия задаются условием
x 0, функция дохода y(x) обладает следующими свойствами:

(1) y (x) > ? при x > 0;

(2) y (x)x > 0 при x > 0,

и существуют работники двух типов, издержки усилий которых линейны (c? (x) = ?x). Дока-
жите, что наниматель наймет работников обоих типов, т. е. x? > 0 ?? .
?
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 601

 650. Рассмотрим ситуацию ценовой дискриминации следующего типа Единственный про-
изводитель и продавец частного блага, производство которого характеризуется постоянными
издержками. сталкивается с двумя типами покупателей этого блага, оценками которых имеют
вид
v
v? (x) = ? x, ? = 1, 2.
Покупатели двух типов встречаются с вероятностями µ и 1 ? µ соответственно. Проинтерпре-
тируйте эту модель как модель найма и найдите оптимальный контракт. Проделайте то же
самое для трех типов покупателей.
 651. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1 (x) = 0,5x2 , работника 2-го типа — c1 (x) =
x2 . Пусть контракт ищется среди линейных по усилиям схем (базовая заработная плата плюс
премия за усилия, пропорциональная величине усилий).
Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников
первого типа. Сравните с оптимальным пакетным контрактом.
 652. На рынке страховых услуг11 имеются два типа страхователей — с низкой µL или высо-
кой µH вероятностью наступления страхового случая. Страховой случай заключается в потере
актива ценностью K рублей. Во всех других аспектах они одинаковы — каждый исходно об-
ладает богатством ? (включая рассматриваемый актив) и его предпочтения характеризуются
функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией u(x) = ln(x), где x — богатство.
На рынке страховых услуг имеется только одна нейтральная к риску страховая компания,
предлагающая контракт в виде набора пакетов. (Для упрощения анализа можно считать, что
контракт непосредственно задает богатство страхователя, а не платежи, т. е. пакет имеет вид
(x1 , x2 ), где x1 — богатство, если страховой случай не наступил, а x2 — если страховой случай
наступил).
(А) Сформулируйте задачу страховой компании и проинтерпретируйте ее как задачу на-
нимателя в модели найма.
(Б) Каким окажется выбранный страховой контракт в случае симметричной информации,
т. е. в условиях, когда страховая компания знает тип страхователя? Проиллюстрируйте анализ
на графике.
(В) Каким окажется выбранный страховой контракт в случае асимметричной информации,
т. е. в условиях, когда страховая знает только распределение вероятностей типов страховате-
ля? Проиллюстрируйте анализ на графике.


15.4 Модель найма со скрытой информацией: конкуренция
среди нанимателей
В этом параграфе мы откажется от сделанного ранее предположения о монопольном поло-
жении нанимателя и будем считать, что существует по крайней мере два нанимателя, предла-
гающие контракты работникам, тип которых они не наблюдают.
Будем считать, что другие характеристики ситуации найма остаются без изменения. В
частности, как и раньше, будем предполагать, что результат усилий работника не зависит от
его типа. Это предположение позволяет рассматривать контракты, обуславливаемые только
уровнем усилий (но не результата).
В этой случае игра имеет вид:

0. «Природа» выбирает тип работника.
11
См. J. E. Stiglitz: Monopoly, Non-Linear Pricing and Imperfect Information: The Insurance Market, Review of
Economic Studies 44 (1977): 407–430.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 602

1. Наниматель j , не зная типа, предлагает ему контракт wj (·), причем все наниматели
выбирают контракт одновременно.
2. Работник (зная свой тип) решает, подписывать ли ему контракт или нет, и если подпи-
сывать, то какой из двух.
3. Если работник подписывает j -й контракт, то он (зная свой тип) выбирает уровень усилий
x.


Природа
???


w1 (·)
Наниматель 1

w2 (·)
Наниматель 2
Работник
??
0
?0?
0 x2?
x1? ? ?
x2? ?w2 (x2? )
? ?
x1? ?w1 (x1? )
?w2 (x2? )?c? (x2? )?
0
? ?
0
w1 (x1? )?c? (x1? )

Рис. 15.22. Представление модели найма со скрытой информацией при конкуренции
нанимателей в виде дерева

Охарактеризуем возможные равновесия данной игры — равновесные контракты модели
найма при конкуренции нанимателей, — ограничившись характеристикой равновесных паке-
тов.
Полную игру для целей анализа заменим следующей упрощенной игрой:
0. «Природа» выбирает тип работника.
1. Наниматели одновременно предлагают работнику пакеты (wj? , xj? ).
2. Работник решает, подписывать ли ему контракт или нет, и если подписывать, то какой
из пакетов выбрать.
Мы опускаем формальное доказательство того, что описанные игры в определенном смыс-
ле эквивалентны. Такое доказательство можно построить, пользуясь идеями предыдущего
параграфа.
Будем предполагать в дальнейшем, что равновесие в игре таково, что в нем работник обя-
зательно подписывает один из предложенных контрактов (ограничение участия выполнено).
Анализируя такую игру с использованием обратной индукции, получим, что равновесные
пакеты (?j? , wj? ) характеризуются следующими свойствами:
x?
Работник выбирает (из всех пакетов всех нанимателей) пакет (wj? , xj? ), дающий ему мак-
?
симальную полезность:

wj? ? c? (?j? ) wi? ? c? (?i? ), ??, ? ? ?, ?i = 1, 2.
? x ? x

При использовании обратной индукции в этом месте возникает неоднозначность в случае,
когда работнику безразлично, пакет какого нанимателя выбрать. Сделаем предположение
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 603

(аналогичное предположению модели Бертрана), что в этом случае работник использует
смешанную стратегию, выбирая нанимателей с одинаковой вероятностью.

Наниматель j предлагает набор пакетов (wj? , xj? ), дающий ему максимальную ожидаемую
??
прибыль при данном наборе пакетов конкурента.

Для того чтобы упростить анализ, будем предполагать, что функции издержек строго
выпуклы.
Прежде, чем рассмотреть модель с ненаблюдаемыми типами, проанализируем ситуацию,
когда тип работника известен работодателю. Покажем, что в этом случае решение игры (рав-
новесные пакеты (wj? , xj? )) имеет вид:
??

xj? = x? = x? ,
? ? ?

wj? = w? = x? ,
? ? ?
где
x? = argmax{x ? c? (x)},
?
x

Доказательство этого факта проведем в 2 этапа. Во-первых, покажем, что прибыль каждого
нанимателя от найма работника любого типа равна нулю. Пусть это не так, и существует
наниматель (например, j = 1) и тип работника, такие что от сделки с этим работником этот
наниматель получает положительную прибыль (?1 > 0). Здесь может быть два случая: (1) 2-й
наниматель предлагает невыгодный работнику контракт и, следовательно, получает нулевую
прибыль и (2) работник безразличен между предлагаемыми двумя контрактами. Во втором
случае оба нанимателя получают одинаковую положительную прибыль (?1 = ?2 > 0).
Тогда 2-й наниматель мог бы предложить этому работнику пакет с тем же уровнем усилий,
но несколько более высокой оплатой. Работник тогда выбрал бы пакет, предлагаемый 2-м нани-
мателем, который получил бы при этом прирост прибыли. В случае (1) в первом приближении
прибыль станет равной ?1 , а в случае (2) — 2?1 = 2?2 .
Таким образом, в исследуемом равновесии прибыль каждого нанимателя от найма работни-
ка любого типа равна нулю, и, следовательно, оплата усилий равна производимому работником
доходу:
wj? = xj? .
? ?
Во-вторых, покажем, что наниматели предлагают работнику типа ? пакет, обуславливаю-
щий уровень усилий
xj? = x? = x? .
? ? ?
Действительно, если это не так и, например, первый наниматель предлагает пакет (wj? , xj? )
??
такой, что
? = (?? ? c? (?? )) ? xj? ? c? (?j? ) > 0.
x x ? x
Но тогда пакет (?? ? ?/2, x? ) предпочитается работником типа ? и дает предложившему
x ?
ему нанимателю более высокую прибыль, чем (wj? , xj? ). Но такая ситуация не может возник-

<< Предыдущая

стр. 141
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>