<< Предыдущая

стр. 143
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

функция (при дифференцируемости функций это означает, что предельная тягость действий
a растет с ростом a).
Будем считать также, что функция cL (a) ? cH (a) неотрицательна и возрастает. Содер-
жательно это и означает, что работник типа H является более производительным, чем L.
При дифференцируемости функций издержек можно ввести более сильное требование, что
предельная тягость действий выше для работника типа L: cL (a) > cH (a) ?a ? A.
Доход, производимый работником, тоже может зависеть от сигнала19 :

y = y? (a),

причем доход не убывает по этой переменной и является вогнутой функцией (предельная
производительность действий a не возрастает). Доход от высокопроизводительного работника
всегда выше, чем от низкопроизводительного: yH (a) > yL (a) ?a ? A.
Модель сигнализирования Спенса предполагает следующую последовательность ходов:

0. «Природа» выбирает тип работника.

1. Работник выбирает уровень сигнала a.

2. Наниматель j , не зная типа, но наблюдая сигнал, предлагает ему оплату wj , причем все
наниматели выбирают контракт одновременно.

3. Работник (зная свой тип) решает, подписывать ему контракт или нет, и если подписывать,
то какой из двух.
17
M. Spence: Job Market Signalling, Quarterly Journal of Economics 87 (1973): 355–374; M. Spence: Competitive
and Optimal Responses to Signals: An Analysis of Efficiency and Distribution, Journal of Economic Theory 7 (1974):
296–332.
18
У Спенса это образование.
19
В статье 1973 года Спенс предполагал, что сигнал (полученное образование) не влияет на производитель-
ность работника. В следующей статье он расширил анализ и на случай, когда более высокий уровень образо-
вания обеспечивает более высокую производительность.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 609

В равновесии стратегия нанимателя предусматривает определенный контракт для каждого
возможного уровня сигнала, поэтому такая стратегия задает оплату как функцию от сигнала:

wj = wj (a).

Таким образом, с точки зрения теории игр ход нанимателя в игре состоит в выборе числа wj ,
а его стратегия — это функция wj (a).
Дерево этой игры изображено на Рис. 15.24. Заметьте, что рисунок (из-за сложности изоб-
ражения) не отражает тот факт, что наниматели не знают типа работника, когда предлагают
уровни заработной платы w1 и w2 .


Природа
???

Работник
a
Наниматель 1 w1

Наниматель 2 w2
Работник
? ?? ? ?
?
0 0
y? (a? )?w1
?0? ? ? y? (a? )?w2 ?
0 ?
w2 ?c? (a? )
w1 ?c? (a? )
0


Рис. 15.24. Представление модели сигнализирования в виде дерева

Для упрощения анализа будем предполагать в дальнейшем, что резервные полезности ра-
ботников, wL0 и wH0 ниже уровня yL (a) ? cL (a) ?a ? A. Это предположение гарантирует, что
оба нанимателя предложат такую оплату, что работник любого типа согласятся подписать
контракт с одним из нанимателей.
В этой байесовской динамической игре ожидания и стратегии взаимосвязаны нетривиаль-
ным образом, поэтому для ее анализа недостаточно использовать обратную индукцию (см.
обсуждение таких игр в Приложении ??).
Обратная индукция может быть использована здесь только для анализа выбора контракта
работником. При данном выборе уровня сигнала a и данных предложениях зарплаты w1 , w2
работник типа ? получит полезность w1 ? c? (a), если выберет 1-го нанимателя, и w2 ? c? (a),
если выберет 2-го нанимателя. Работник выберет вариант, дающий ему наибольшую полез-
ность, то есть нанимателя, предлагающего самую высокую оплату. В случае, когда w1 = w2 ,
работник может, вообще говоря, использовать смешанную стратегию, выбирая нанимателей
случайно с некоторой вероятностью.
Рассмотрим теперь выбор нанимателей. Наниматели наблюдают уровень сигнала a, вы-
бранный работником, и на его основе формируют некоторые ожидания относительно возмож-
ного распределения типов работников. Обозначим эти ожидаемые вероятности через µ? = ?
µ? (a). Формально ожидания — это функции µ? (·), заданные на всех a из A, и принимающие
? ?
значения из [0, 1], причем µL (a) + µH (a) = 1. Мы будем рассматривать только такие равно-
? ?
весия, в которых ожидания у обоих нанимателей одни и те же (на равновесной траектории
они не могут различаться, поскольку должны соответствовать равновесным стратегиям ра-
ботников разных типов, так что это предположение относится только к ситуациям выбора вне
равновесной траектории). С точки зрения этих ожиданий доход представляет собой случай-
ную величину, принимающую значение y? (a) с вероятностью µ? (a). Обозначим ожидаемый
?
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 610

доход через y = y (a):
??
y (a) = µL (a)yL (a) + µH (a)yH (a).
? ? ?
Выбор w1 и w2 происходит одновременно, поэтому при данных a и {?? }, учитывая уже
µ
проанализированный выбор работником нанимателя, мы фактически имеем дело со статиче-
ской игрой (точнее, с набором статических игр, различающихся только выигрышами, зави-
сящими от параметров). Таким образом, здесь следует искать равновесие Нэша. Ожидаемые
прибыли нанимателей равны y ? w1 и 0 соответственно при w1 > w2 и 0 и y ? w2 соответ-
? ?
ственно при w1 < w2 . При w1 = w2 = w наниматели делят общую прибыль y ? w в некоторой
?
пропорции, зависящей от того, каковы смешанные стратегии работников. В равновесии (ана-
логично модели без сигналов, рассмотренной выше) w1 = w2 = y , а ожидаемые прибыли
?
равны нулю. Этот результат получается при любых ожиданиях, от ожиданий зависит только
величина y .
?
Таким образом, если µ? (a) — ожидания нанимателей после наблюдения сигнала a, то
?
наниматели предлагают контракты

w1 (a) = w2 (a) = y (a) = µL yL (a) + µH yH (a).
? ? ?

Обозначим эту общую для нанимателей стратегию через w(a).
Как обычно для нетривиальных динамических байесовских игр, в данной игре, вообще
говоря, существует бесконечно много равновесий. Логически возможны три класса равновесий:
± разделяющие равновесия (работники разных типов подают разные сигналы);

± объединяющие равновесия (работники разных типов подают одинаковые сигналы);

± гибридные равновесия (часть работников одного типа подает один сигнал, другая часть —
тот же сигнал, что и (все) работники другого типа).
Охарактеризуем эти равновесия и условия существования таких равновесий. Начнем с са-
мого интересного, первого, случая — разделяющих равновесий.
Предположим, что такое равновесие существует. Тогда работники типов H и L подают
различающиеся сигналы aL и aH . Обозначим соответствующие им уровни оплаты wL =
w(aL ), wH = w(aH ). В разделяющем равновесии наниматели по сигналу однозначно опреде-
ляют тип работника. Поэтому, если наблюдается a? , то ожидаемый доход равен y? (a? ). По-
скольку, как уже говорилось, конкуренция нанимателей сводит ожидаемую прибыль к нулю,
то wL = yL (aL ) и wH = yH (aH ).
Чтобы такая ситуация соответствовала равновесию, нужно, чтобы работник типа L пред-
почел подавать сигнал aL , а не aH , а работник типа H — сигнал aH , а не aL . Другими
словами, выполняются соотношения

wH ? cH (aH ) wL ? cH (aL )

и
wL ? cL (aL ) wH ? cL (aH ).
Подставив w? = y? (a? ), получим следующую характеристику сигналов aL и aH в разделяю-
щем равновесии
yH (aH ) ? cH (aH ) yL (aL ) ? cH (aL )
и
yL (aL ) ? cL (aL ) yH (aH ) ? cL (aH ).
Сложив эти два неравенства, получим

cL (aH ) ? cL (aL ) cH (aH ) ? cH (aL ),
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 611

что можно интерпретировать следующим образом: прирост издержек при переходе от aL к aH
выше для L, чем для H . (Это неравенство согласуется со сделанным ранее предположением
о возрастании разности cL (a) ? cH (a).)
Приведенные необходимые условия равновесия, не являются достаточными, поскольку не
гарантируют, что работникам не выгодно выбирать другие уровни сигналов, отличные от aL
и aH (если таковые существуют).
Чтобы работник типа ? добровольно выбрал сигнал a? , требуется, чтобы его полезность
от любого другого уровня сигнала не превышала полезность от a? :

y? (a? ) ? c? (a? ) y (a) ? c? (a) ?a ? A.
?

Здесь для расчета y (a) нам требуется специфицировать ожидания нанимателей — вероятно-
?
сти µ? (a). Если существуют aL , aH и µ? (·), удовлетворяющие этим условиям, то они задают
? ?
равновесие в рассматриваемой игре.
Рассмотрим сначала случай20 , когда y? (a) не зависит от a, а множество A имеет вид
[amin , +?).
Если равновесие разделяющее, то:
(а) aL = amin , где amin = mina?A a. Если бы работник типа L выбрал aL = amin , то
его выигрыш был бы равен yL ? cL (aL ), а эта величина меньше, чем yL ? cL (amin ), поскольку
cL (a) — возрастающая функция. Вне зависимости от ожиданий нанимателей оплата работника
L при сигнале amin была бы не ниже, чем yL , откуда

w(aL ) ? cL (aL ) < yL ? cL (amin ) w(amin ) ? cL (amin ),

т. е. работник типа L предпочтет выбрать amin .
(б) aH aH , где aH представляет собой уровень сигнала, при котором работник типа H
при оплате yH получает тот же уровень полезности, что и при оплате yL , выбрав уровень
сигнала amin , т. е.
yH ? cH (aH ) = yL ? cH (amin ).
Предположим, что aH > aH , и поэтому cH (aH ) > cH (aH ). При уровне сигнала aH оплата
равна yH , а при уровне сигнала amin оплата равна yL , но при этом

yH ? cH (aH ) < yH ? cH (aH ) = yL ? cH (amin ),

т. е. работник типа H предпочел бы тогда выбрать amin . Значит, данное предположение невер-
но.
(в) aH aL , где aL представляет собой уровень сигнала, при котором работник типа L
при оплате yH получает тот же уровень полезности, что и при оплате yL , выбрав уровень
сигнала amin , т. е.
yH ? cL (aL ) = yL ? cL (amin ).
Предположим, что aH < aL . Тогда

yL ? cL (amin ) = yH ? cL (aL ) < yH ? cL (aH ).

т. е. работник типа L предпочел бы тогда выбрать aH . Значит, и это предположение неверно.
Таким образом, в любом разделяющем равновесии aL = amin и aH ? [aL , aH ]. Поскольку,
как мы предполагаем, функция cH (a) ? cL (a) возрастает, то aL < aH и указанное множество
не пусто.
20
Случай, рассмотренный Спенсом в первой из статей.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 612

Покажем теперь, что для любой пары aL , aH , удовлетворяющей этим условиям, существу-
ют ожидания нанимателей µ? (·), при которых эта пара соответствует разделяющему равнове-
?
сию. В частности, подходят ожидания следующего вида:

µL (a) = 1, ?a < aH
?

и
µH (a) = 1, ?a
? aH .
Проверим это. При таких ожиданиях оплата при уровне сигнала не ниже, чем aH , равна yH ;
в противном случае оплата равна yL .
Поскольку издержки c? (a) возрастают, то при фиксированном уровне оплаты работнику
любого типа выгодно выбрать наименьший уровень сигнала, при котором можно получить
такую зарплату. При рассматриваемых ожиданиях из усилий a < aH , при которых плата
равна yL , работник выберет amin , а из усилий a aH , при которых плата равна yH , — aH .
Таким образом, решение работника сводится к выбору из двух вариантов, (amin , yL ) и (aH , yL ).
Следовательно, работник типа L выберет aL (= amin ), если

yL ? cL (amin ) yH ? cL (aH ),

а работник типа H выберет aH , если

yL ? cH (amin ) yH ? cH (aH ).

Первое из этих неравенств выполняется, поскольку aH aL , а второе, поскольку aH aH .
Проведенный анализ иллюстрирует Рис. 15.25. Граничные уровни сигнала, aL и aH , за-
даются кривыми безразличия работников типа L и H , соответственно, проходящими через
точку (yL , amin ): aL и aH соответствуют уровню оплаты w = yH .

w
w=yL +cH (a)?cH (amin )
w=yL +cL (a)?cL (amin )

yH




yL
a
aL =amin aL aH aH


Рис. 15.25. Иллюстрация разделяющего равновесия в модели Спенса (результат не зависит
от a)

Заметим, что существует много других подходящих ожиданий, которые могут поддержи-
вать разделяющее равновесие с aL = amin и данным aH из промежутка [aL , aH ]. Удобно ха-
рактеризовать равновесия с разными ожиданиями функцией w(a), выражающей зависимость
оплаты от сигналов. Она однозначно связана с ожиданиями нанимателей µ? (a). Поскольку
?
вероятности µ? (a) всегда принадлежат отрезку [0, 1], то w(a) всегда лежит в промежутке
?

<< Предыдущая

стр. 143
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>