<< Предыдущая

стр. 146
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


w
?


yL
a
amin a aL
?? aH
?


Рис. 15.32. Иллюстрация применения интуитивного критерия к объединяющему равновесию
в модели Спенса (результат не зависит от a)

Те же рассуждения с точностью до замены w на w(?) показывают, что любое гибридное
? a
равновесие 2-го типа не удовлетворяет интуитивному критерию.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 621

15.4.3 Задачи
 658. Пусть в ситуации, описанной в модели Спенса yL = 1, yH = 2.
(а) Охарактеризуйте равновесие в модели с полной информации (наниматели наблюдают
результаты y? ).
(б) Пусть µ — доля работников типа L. Охарактеризуйте равновесие в модели без сигна-
лов.
(в) Пусть множество возможных сигналов имеет вид A = R+ , а издержки работников
равны cL (a) = a и cH (a) = a/2. Охарактеризуйте разделяющие равновесия в модели Спенса.
Покажите, что aL = 0 и aH ? [1, 2].
(г) Пусть aH ? [1, 2]. Обозначим через µ(a) = µL (a) ожидаемую нанимателями вероят-
? ?
ность того, что сигнал a подан работником типа L. Покажите, что следующие ожидания
поддерживают данный сигнал в объединяющем равновесии:

µ(a) = 1 при a = aH и µ(a) = 0 при a = aH .
? ?

(д) Сравните разделяющие равновесия в модели Спенса с равновесиями в модели без сиг-
налов с точки зрения полезности работников. При каких значениях µ работники типа H
окажутся в лучшем положении в равновесии без сигналов?
(е) Охарактеризуйте объединяющие равновесия в модели Спенса. Покажите, что a 1?µ.
?
(ж) Пусть a 1 ? µ. Покажите, что следующие ожидания поддерживают данный сигнал
?
в объединяющем равновесии:

µ(a) = 1 при a = a и µ(a) = µ при a = a.
? ? ? ?

(з) Охарактеризуйте все гибридные равновесия 1-го типа в модели Спенса. Покажите, что
1?µ
a=
? .
1 ? µ + µ?

(и) Охарактеризуйте все гибридные равновесия 2-го типа в модели Спенса. Покажите, что
1?µ
a<
? .
1 ? µ + µ/?

 659. Рассмотрите модель Спенса с yL = 1, yH = 2, cL (a) = a, cH (a) = a/2 и A = {0, 3}.
(а) Покажите, что в данной модели существуют только объединяющие равновесия с уров-
нем сигнала, равным 0.
(б) Покажите, что любые ожидания, которые поддерживают такое равновесие, не проти-
воречат интуитивному критерию.
 660. Пусть множество A содержит только два элемента. Покажите, что данные два усло-
вия являются не только необходимыми, но и достаточными, приведя соответствующие ожида-
ния.???
 661. Пусть множество A содержит только два элемента, результат не зависит от сигнала,
и yH = ?yL . Пусть также cL (a) = ?L a и cH (a) = ?H a. При каких ? при заданных функциях
издержек существует разделяющее равновесие?
 662. Пусть множество A содержит только два элемента, результат не зависит от сигнала,
и yH > yL . Пусть также cL (a) = a и cH (a) = ?a. При каких ? существует разделяющее
равновесие?
 663. Пусть множество A содержит только два элемента A, 0 и ? , результат не зависит от
сигнала, причем yL = 1, yH = 2, доля работников типа L равна 1/2. Пусть также cL (a) = a
и cH (a) = a/2. При каких ? существует объединяющее равновесие с сигналом a = ? ?
?
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации 622

 664. Пусть множество A содержит только два элемента, 0 и ? , результат не зависит от
сигнала, причем yL = 1, yH = 2, доля работников типа L равна 1/2. Пусть также cL (a) = a
и cH (a) = a/2.
(а) При каких ? существует гибридное равновесие первого типа?
(б) При каких ? существует гибридное равновесие второго типа?
 665. Пусть A = {0, 1, 2, . . .}, результат не зависит от сигнала, причем yL = 1, yH = ? , доля
работников типа L равна 1/2. Пусть также cL (a) = a и cH (a) = a/2.
(а) При каких ? существует гибридное равновесие первого типа?
(б) При каких ? существует гибридное равновесие второго типа?
 666. Проанализируйте модель Спенса, изложенную в данном параграфе, в предположении,
что резервные оплаты таковы, что wL0 > yL , wH0 ? (w, yH ).
?
(а) Охарактеризуйте равновесия всех четырех возможных типов.
(б) Покажите, что разделяющее равновесие в данной модели всегда является Парето-улуч-
шением по сравнению с равновесием без сигналов.
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава
Приложение: Элементы

16
теории некооперативных
игр

16.1 Введение

Теория игр анализирует принятие решений экономическими субъектами (называемыми, в
соответствии с установившейся традицией, игроками) в ситуациях, когда на результат этих ре-
шений оказывают влияние действия, предпринимаемые другими экономическими субъектами.
Такие ситуации принято называть играми.
В настоящее время теория игр проникла практически во все области экономической тео-
рии — в экономику общественного сектора, экономику труда, в теорию отраслевых рынков,
международную экономику, макроэкономику и т. д. Как оказалось, исследователи, занимав-
шиеся моделированием экономических и социальных явлений, предлагали решения, которые
совпадают с теми или иными концепциями равновесия современной теории игр, еще до того,
как эти концепции были сформулированы в явном виде и вошли в инструментарий теории
игр. Приведем лишь несколько примеров: модели олигополии (А. Курно, Ж. Бертран, Г. Шта-
кельберг), модель рынка «лимонов» (Дж. Акерлов), модель сигнализирования на рынке труда
(М. Спенс), анализ аукционов в условиях неполной информации (У. Викри). Это совпадение
не является чем-то случайным. Фактически предлагаемые решения оказывались естественным
обобщением лежащих в основе современной неоклассической теории понятия рационального
поведения.
Неоклассическая экономическая теория опирается на логику, которой руководствуются
люди, осуществляя выбор в самых разных ситуациях повседневной жизни. Покупая те или
иные товары, поступая учиться в университет, голосуя за ту или иную партию, решая вступить
в брак и даже совершая преступления люди выбирают из двух или более альтернатив исходя
из своих предпочтений. Другими словами, в основе неоклассической экономической теории
лежит убеждение1 , что любой феномен общественной жизни следует рассматривать как итог
взаимодействия рациональных индивидуумов, выбирающих наилучшие (с их точки зрения)
альтернативы из тех, которые для них доступны в данной ситуации.
Как правило, последствия решений, принимаемых одним экономическим субъектом, зави-
сят от того, какие решения приняли, принимают или будут принимать другие. В ситуациях,
когда эти решения (влияющие на положение экономического субъекта) ему неизвестны2 , есте-
ственно считать, что он делает предположения (формирует ожидания) относительно того,
какими эти решения могут быть. Тогда естественное обобщение рационального поведения —
это оптимальные выборы экономических субъектов при данных ожиданиях.
Однако предположений о рациональности в общем случае оказывается недостаточным для
того, чтобы предсказать, какие действия будут выбраны. Необходимо, таким образом, сделать
какие-то предположения относительно ожиданий. Следуя сложившейся в экономической тео-
рии практике, мы будем здесь анализировать равновесные ситуации — ситуации, при которых
ожидания экономических субъектов оказываются оправдавшимися, т. е. ожидаемые ими дей-


1
Так называемый методологический индивидуализм.
2
Например, решения остальных олигополистов в моделях Курно и Бертрана.


623
16.2. Статические игры с полной информацией 624

ствия других экономических субъектов совпадают с фактически выбранными. Такой подход
позволяет существенным образом сузить область возможных решений.
Мы не стремились представить здесь сколько-нибудь развернутое изложение теории игр,
какой она сложилась к настоящему моменту3 . Цель раздела скорее в том, чтобы дать понятие
об идеях и продемонстрировать возможности теории игр в моделировании ситуаций, включа-
ющих стратегическое взаимодействие экономических субъектов.


16.2 Статические игры с полной информацией
Под статической игрой понимают такую игру, в которой все ее участники принимают ре-
шения не зная, какие именно решения принимают другие. Обычно в этом случае говорят, что
участники принимают решения одновременно, хотя сама по себе одновременность принятия
решений в данном случае не важна. Под играми с полной информацией понимаются такие
игры, в которых каждый из игроков точно знает характеристики других игроков4 .

16.2.1 Нормальная форма игры
Альтернативные действия, которые может предпринять игрок, в контексте статических
игр с полной информацией, совпадают с тем, что в теории игр называется стратегиями, по
причинам, которые станут ясны из дальнейшего.
Приведем пример статической игры с полной информацией.
Игра 1. «Выбор компьютера»5
Двое знакомых одновременно выбирают, компьютеры какого типа им купить. Первый пред-
почитает IBM PC, второй — Макинтош. Обладание компьютером любимого типа первый оце-
нивает в a (a > 0) некоторых условных единиц, а второй — в b (b > 0) условных единиц.
Полезность компьютера другого типа для обоих равна нулю. Каждый получает дополнитель-
ную выгоду (c > 0), если они выберут одинаковые компьютеры, поскольку в таком случае
используемое ими программное обеспечение будет совместимым.

В этом примере каждый из игроков (мы будем их называть «Игрок 1» и «Игрок 2») имеет
две стратегии, которые можно условно назвать «IBM» и «Mac». Описанную игру удобно пред-
ставить в виде таблицы (матрицы) 2 ? 2. В игре имеется четыре исхода: (IBM, IBM), (IBM,
Mac) (Mac, IBM) и (Mac, Mac). Каждому исходу соответствует своя клетка таблицы; в этой
клетке помещаются соответствующие выигрыши участников6 . Игры такого рода, то есть игры
с двумя участниками, каждый из которых имеет конечное число стратегий, принято называть
матричными7 играми двух лиц.
В рассмотренном примере можно выделить три элемента:
3 множество игроков,
3 множество стратегий, которые могут выбрать игроки,
3 выигрыши игроков.
3
В частности, мы не касаемся тем, относящимся к кооперативной теории игр.
4
Точный смысл терминов статическая игра и игра с полной информацией станет ясен из дальнейшего,
когда мы рассмотрим динамические игры и игры с неполной информацией (байесовские игры) соответственно.
5
Игра представляет собой вариант известной игры «Battle of sexes» — «Борьба полов».
6
Мы будем использовать следующее соглашение при изображении матричных игр двух лиц. Игрок, чье имя
стоит слева, выбирает строки таблицы и его выигрыши записываются в левом нижнем углу каждой клетки
таблицы. Игрок, чье имя стоит сверху, выбирает столбцы таблицы и его выигрыши записываются в правом
верхнем углу. При таком расположении проще понять где чья стратегия и где чей выигрыш. Свой выигрыш
всегда расположен ближе к игроку, чем выигрыш партнера.
7
Точнее биматричными.
16.2. Статические игры с полной информацией 625
Таблица 16.1.

Игрок 1
IBM Mac
c b
IBM a+c a
0 b+c
Игрок 2
Mac 0 c


И в общем случае, чтобы задать статическую игру с полной информацией, требуется ука-
зать перечисленные элементы. Описание игры в виде такого набора называется нормальной
формой игры8 . Можно сказать, предваряя дальнейшее, что это тот минимум, который необ-
ходим для описания любой игры. В более сложных типах игр становятся важными и другие
аспекты анализируемой ситуации, такие как очередность ходов, информированность игроков,
и т. д.
В дальнейшем, описывая общую статическую игру m лиц с полной информацией, будем
использовать следующие формальные обозначения для указанных элементов.
Множество игроков (множество участников) будем обозначать I :

I = {1, . . . , m}

Множество возможных стратегий i-го игрока — или просто множество стратегий i-го игрока —
будем обозначать через Xi . Отдельную стратегию i-го игрока будем, как правило, обозначать
через xi . Совокупность стратегий всех игроков будем называть исходом игры. Т. е. исход
игры — это набор
x = (x1 , . . . , xm ), где x ? X1 ? · · · ? Xm = X
Будем предполагать, что у каждого из игроков есть своя целевая функция (в экономиче-
ской теории ее называют функцией полезности). Обозначим целевую функцию i-го игрока
через ui (·). Каждому исходу игры она сопоставляет некоторое действительное число — вы-
игрыш. Таким образом, в описании игры следует задать для каждого игрока i ? I функцию
вида
ui : X > R
Нормальная форма игры, в соответствии со сказанным выше, представляет собой набор

G = I, {Xi }I , {ui }I

В некоторых играх есть элемент случайности. Если на вероятности случайных событий
не влияют выборы, сделанные игроками, то принято говорить о случайных ходах природы.
Рассмотрим в качестве примера следующую игру.
Игра 2.
В игре участвуют пешеход и автомобилист. Каждый из игроков имеет две стратегии: прояв-
лять осторожность (A) и не проявлять осторожности (B). От выбранных стратегий зависит
вероятность дорожно-транспортного происшествия (автомобилист собьет пешехода). Если оба
ведут себя неосторожно, то вероятность происшествия равна 1/2, если только один ведет себя
неосторожно, то вероятность равна 1/10, а если оба осторожны, то вероятность равна 1/100.
8
Ее также называют стратегической формой игры. Впервые в явной формулировка нормальной формы игры
была дана в основополагающей статье Джона фон Неймана: J. von Neumann: Zur Theorie der Gesellschaftsspiele,
Mathematische Annalen 100 (1928): 295–320 (рус. пер. Дж. фон Нейман: К теории стратегических игр, в кн.
Матричные игры, Н. Н. Воробьев (ред.), Н. Н. Воробьев: Физматгиз, 1961: 173–204). См. также J. von Neumann
and O. Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1944 (рус. пер.
Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн: Теория игр и экономическое поведение, М.: Наука, 1970).
16.2. Статические игры с полной информацией 626

В случае, если произойдет столкновение, то ущерб пешехода составит 1000 у. е.9 , а ущерб
автомобилиста — 200 у. е. Кроме того, осторожное поведение на дороге связано для обоих
игроков с издержками в 100 у. е.

На примере Игры 16.2.1 рассмотрим, каким образом представить в нормальной форме игру,
включающую случайность. Для этого нам необходимо задать способ вычисления выигрышей
(все остальные элементы нормальной формы здесь уже указаны).

<< Предыдущая

стр. 146
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>