<< Предыдущая

стр. 148
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

[p2 < v1 ] Если 2-й участник назовет цену, меньшую vi , то для 1-го участника выгодно
выиграть аукцион, поскольку в этом случае его выигрыш будет положительным. «Правдивая»
стратегия обеспечивает ему победу на аукционе, и приносит максимальный выигрыш, v1 ? p2 .
Мы видим, что «правдивая» стратегия в самом деле является доминирующей для 1-го
участника. Более того, как несложно увидеть, это единственная доминирующая стратегия.
Если он назовет цену ниже или выше своей оценки v1 , то можно подобрать такую цену 2-го
участника, что 1-й участник потеряет по сравнению с p1 = v1 .
Проведя аналогичные рассуждения для 2-го участника, мы сделаем вывод, что в этой игре
существует (единственное) равновесие в доминирующих стратегиях:

p1 = v1 , p2 = v2
16.2. Статические игры с полной информацией 631

16.2.3 Последовательное отбрасывание строго доминируемых стратегий
К сожалению, довольно часто бывает, что по крайней мере у одного из игроков нет строго
доминирующей стратегии или даже просто доминирующей стратегии. Иногда в таких играх
исход можно предсказать однозначно, если дополнительно к рациональности предположить,
что каждый игрок знает цели партнеров и способен достаточно глубоко «просчитать» их умо-
заключения.

Таблица 16.5.

Игрок 1
IBM Mac
2 3
IBM 3 1
0 5
Игрок 2
Mac 0 2


Рассмотрим в Игре 16.2.1 случай, когда a < c < b. Пусть, к примеру, a = 1, c = 2, b = 3.
Если 2-й игрок выберет IBM, то 1-му игроку тоже выгодно выбрать IBM. Если же 2-й
игрок выберет Макинтош, то 1-му игроку будет выгодно выбрать Макинтош. Эти оптималь-
ные решения выделены в Таблице 16.5 подчеркиванием соответствующих выигрышей. Здесь
оптимальное для 1-го игрока решение будет зависеть от того, какое решение примет 2-й игрок.
В этом и ему подобных случаях нельзя рассматривать мотивацию одного игрока, не рас-
сматривая мотивацию других игроков. Игрок, у которого нет доминирующей стратегии, дол-
жен делать какие-то предположения о том, какие стратегии могут выбрать другие игроки.
Не специфицируя механизма формирования ожиданий, мы можем исходить из того, что все
такие механизмы не противоречат рациональности игроков. Наиболее очевидное требование
можно сформулировать следующим образом:

«Рациональный игрок не станет выбирать строго доминируемую стратегию».

Определение 89:
Стратегия yi ? Xi игрока i называется строго доминируемой, если существует стратегия
xi ? Xi , которая ее строго доминирует, т. е.

ui (yi , x?i ) < ui (xi , x?i ) ?x?i ? X?i

Проанализируем ситуацию, в которой структура игры (множества стратегий и функции
выигрышей), а также то, что все игроки рациональны, известно каждому игроку. Более того,
мы рассмотрим ситуацию, в которой все это общеизвестно 12 , то есть не только каждый игрок
знает это, но он знает, что все другие игроки знают это, и так далее до бесконечности.
В этом случае игрок должен не только сам исходить из того, что ни один из игроков не
выберет доминируемую стратегию, но и учитывать, что другие игроки исходят из того, что ни
один из игроков не выберет доминируемую стратегию. Эту цепочку предположений следует
продолжить до бесконечности.
На этой основе строится метод получения решения игры путем отбрасывания строго доми-
нируемых стратегий. Если в результате последовательности шагов, состоящих в вычеркивании
строго доминируемых стратегий получился «остаток», в котором у каждого игрока только
одна стратегия, то при сделанных нами предположениях о рациональности представляется
естественным, что игроки должны выбрать именно эти не отброшенные стратегии.
12
Англ. common knowledge.
16.2. Статические игры с полной информацией 632
Таблица 16.6.

A B C
3 0 1
I 2 3 2
4 6 2
II 1 2 4
7 2 8
III 0 1 3



Можно отметить, что в данном случае предполагается не только рациональность игроков,
но и их способность провести соответствующие рассуждения, ведь цепочка рассуждений может
быть достаточно длинной (я знаю, что он знает, что я знаю. . . ).
В Таблицах 16.6 и 16.7 показан пример процесса отбрасывания строго доминируемых стра-
тегий. В исходной игре 3 ? 3 (Таблица 16.6) стратегия II строго доминирует стратегию III,
поэтому стратегию III следует вычеркнуть (игрок выбирающий строки, не станет выбирать
эту стратегию). Отбрасываемая стратегия обведена двойной волнистой рамкой. Остается игра
2 ? 3 (Таблица 16.7 а)), в которой стратегия A строго доминирует стратегию C. Стратегию C
вычеркиваем (поскольку игрок, выбирающий столбцы, прогнозируя действия игрока, выбира-
ющего строки, не станет ее выбирать). В получившейся игре 2?2 (Таблица 16.7 б)) стратегия I
строго доминирует стратегию II. В получившейся после отбрасывания стратегии II игре (Таб-
лица 16.7 в)) у игрока, выбирающего строки, осталась только одна стратегия. Для игрока,
выбирающего столбцы, стратегия A строго лучше стратегии B, поэтому стратегия B вычер-
кивается. Остается игра (Таблица 16.7 г)), в которой каждый игрок имеет только по одной
стратегии: (I, A). На основании этого можно сделать вывод, что в исходной игре 3 ? 3 должен
реализоваться исход (I, A).

Таблица 16.7. ????

A B
A B C
а) б) 3 0
3 0 1
I 2 3
I 2 3 2
4 6
4 6 2
II
II 1 2
1 2 4



A
A B
г)
в) 3
3 0
I
I 2
2 3


Если общеизвестно, что игроки рациональны, и после последовательного вычеркивания
строго доминируемых стратегий у каждого игрока останется единственная стратегия (как в
приведенной выше игре), то, как и в случае существования строго доминирующих стратегий
у каждого игрока, исход игры может быть предсказан однозначно13 .
Даже если рассматриваемая процедура даст неоднозначный результат, то по крайней мере
можно быть уверенным, что решение должно принадлежать полученному «остатку».
13
Остаток при последовательном отбрасывании строго доминируемых стратегий всегда один и тот же, вне
зависимости от того, в каком порядке происходит отбрасывание стратегий. Можно рассмотреть также процеду-
ру последовательного отбрасывания (слабо) доминируемых стратегий (правда она кажется менее обоснованной
с точки зрения рациональности). В этой последней процедуре порядок уже существенен.
16.2. Статические игры с полной информацией 633

Ситуации, когда в игре существует равновесие в доминирующих стратегиях, достаточно
редки. И далеко не во всех играх можно найти решение, отбрасывая строго доминируемые
стратегии. Соответствующий пример игры представлен в Таблице 16.8.
Второй игрок выберет стратегию A, если предполагает, что первый выберет стратегию Z;
в то же время стратегия B для него предпочтительнее в случае, если первый выберет Y.

Таблица 16.8.

A B C
3 0 1
X 2 2 3
4 6 2
Y 1 4 2
7 2 8
Z 3 1 1


Естественно предположить, что при отсутствии у всех игроков доминирующих стратегий,
выбор каждого игрока зависит от ожиданий того, какими будут выборы других. Далее мы
рассмотрим концепцию решения, основанную на этой идее.

16.2.4 Равновесие по Нэшу
Кроме ситуаций, рассмотренных в предыдущем разделе, бывают ситуации14 , которые есте-
ственно моделировать, исходя из следующих предположений:

игроки при принятии решений ориентируются на предполагаемые действия партнеров;

ожидания являются равновесными (совпадают с фактически выбранными партнерами дей-
ствиями).

Если считать, что все игроки рациональны, так что каждый выбирает стратегию, дающую
ему наибольший выигрыш при данных ожиданиях, то эти предположения приводят к концеп-
ции решения, называемой равновесием Нэша. В равновесии у каждого игрока нет оснований
пересматривать свои ожидания.
Формально равновесие Нэша определяется следующим образом.
Определение 90:
Набор стратегий x? ? X является равновесием Нэша15 , если

1) стратегия x? каждого игрока является наилучшим для него откликом на ожидаемые им
i
стратегии других игроков xe :
?i

ui (x? , xe ) = max ui (xi , xe ) ?i = 1, . . . , n;
?i ?i
i
xi ?Xi

14
Можно представить себе популяцию игроков типа А (скажем, кошки) и игроков типа Б (скажем, мышки).
Игрок типа А при встрече с игроком типа Б имеет оправданные своим или чужим опытом ожидания относи-
тельно поведения партнера типа Б, и заранее на них ориентируется (и наоборот). Однако это не единственный
тип ситуаций, в которых рассматриваемый подход является адекватным.
15
Американский математик Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике в 1994 г. вместе с
Дж. Харшаньи и Р. Зельтеном «за новаторский анализ равновесий в теории некооперативных игр». Концеп-
ция равновесия была предложена в следующих статьях: J. F. Nash: Equilibrium Points in N-Person Games,
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 36 (1950): 48–49; J. F. Nash: Non-
Cooperative Games, Annals of Mathematics 54 (1951): 286–295 (рус. пер. Дж. Нэш: Бескоалиционные игры, в
кн. Матричные игры, Н. Н. Воробьев (ред.), М.: Физматгиз, 1961: 205–221).
Следует оговориться, что сам Нэш не вводил в определение ожиданий. Исходное определение Нэша совпадает
с тем свойством, о котором говорится далее.
16.2. Статические игры с полной информацией 634

2) ожидания совпадают с фактически выбираемыми стратегиями:

xe = x? ?i = 1, . . . , n
?i ?i


Заметим, что при использовании равновесия Нэша для моделирования игровых ситуаций
вопросы о том, знают ли игроки цели партнеров, знают ли они о рациональности партнеров,
умеют ли их просчитывать, и т. д., отходят на второй план. Способ формирования ожиданий
выносится за рамки анализа; здесь важно только то, что ожидания являются равновесными.
Но если при анализе равновесия Нэша не важно, знает ли игрок цели других игроков,
то может возникнуть сомнение в правомерности рассмотрения концепции Нэша в контексте
игр с полной информацией. Все дело в том, что термин «полная информация» в теории игр
имеет довольно узкое значение. Он фактически подразумевает только полноту сведений о
типах партнеров (термин «тип игрока», разъясняется в параграфе, посвященном байесовским
играм).
Как легко видеть, приведенное определение равновесия Нэша эквивалентно следующему
свойству, которое обычно и используется в качестве определения:

Набор стратегий x? ? X является равновесием Нэша, если стратегия x? каждого
i
игрока является наилучшим для него откликом на стратегии других игроков x? :
?i

ui (x? , x? ) = max ui (xi , x? ) ?i = 1, . . . , n
?i ?i
i
xi ?Xi


Это свойство можно также записать в терминах так называемых функций (отображений)
отклика.
Определение 91:
Отображение отклика i-го игрока,

Ri : X?i > Xi

сопоставляет каждому набору стратегий других игроков, x?i ? X?i , множество стратегий
i-го игрока, каждая из которых является наилучшим откликом на x?i . Другими словами,

ui (yi , x?i ) = max ui (xi , x?i ) ?x?i ? X?i , ?yi ? Ri (x?i )
xi ?Xi


Введение отображений отклика позволяет записать определение равновесия Нэша более
компактно: набор стратегий x? ? X является равновесием Нэша, если

x? ? Ri (x? ) ?i = 1, . . . , n
?i
i

Если отклик каждого игрока однозначен (является функцией), то множество равновесий Нэша
совпадает с множеством решений системы уравнений:

x? = Ri (x? ) ?i = 1, . . . , n.
?i
i

В Таблице 16.8 отображения отклика игроков изображены подчеркиванием выигрышей,
соответствующих оптимальным действиям. Равновесие Нэша в данной игре — клетка (B, Y),
поскольку выигрыши обоих игроков в ней подчеркнуты.
Проиллюстрируем использование функций отклика на примере игры, в которой игроки
имеют континуум стратегий.
16.2. Статические игры с полной информацией 635

Игра 5. «Международная торговля»
Две страны одновременно выбирают уровень таможенных пошлин, ?i . Объем торговли между
странами16 , x, зависит от установленных пошлин как
x = 1 ? ?1 ? ?2
Цель каждой страны — максимизировать доходы
ui = ?i x.

<< Предыдущая

стр. 148
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>