<< Предыдущая

стр. 149
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>




Максимизируем выигрыш 1-й страны,
?1 (1 ? ?1 ? ?2 )
по ?1 считая фиксированным уровень пошлины, установленный 2-й страной. Условие первого
порядка имеет вид
1 ? 2?1 ? ?2 = 0
Поскольку максимизируемая функция строго вогнута, то условие первого порядка соответ-
ствует глобальному максимуму.
Условие первого порядка для задачи максимизации выигрыша 2-й страны находится ана-
логично:
1 ? ?1 ? 2?2 = 0
Решив систему из двух линейных уравнений, найдем равновесие Нэша:
? ?
?1 = ?2 = 1/3
Оптимальный отклик 1-й страны на уровень таможенной пошлины, установленной 2-й стра-
ной описывается функцией
1 ? ?2
?1 (?2 ) =
2
Аналогично, функция отклика 2-й страны имеет вид
1 ? ?1
?2 (?1 ) =
2
Чтобы найти равновесие Нэша, требуется решить систему уравнений
?
? ? (? ? ) = ? ? ,
12 1
? ?
? ?2 (?1 ) = ?2 .

Графически поиск равновесия Нэша показан не Рис. 16.3. Точки, лежащие на кривых оп-
тимального отклика ?1 (?2 ) и ?2 (?1 ), характеризуются тем, что в них касательные к кривым
безразличия игроков параллельны соответствующей оси координат. Напомним, что кривой без-
различия называют множество точек, в которых полезность рассматриваемого индивидуума
одна и та же (ui (x) = const). Равновесие находится как точка пересечения кривых отклика.
Преимущество использования концепции равновесия Нэша состоит в том, что можно найти
решение и в тех играх, в которых отбрасывание доминируемых стратегий не позволяет этого
сделать. Однако сама концепция может показаться более спорной, поскольку опирается на
сильные предположения о поведении игроков.
Связь между введенными концепциями решений описывается следующими утверждения-
ми.
16
В этой игре мы для упрощения не делаем различия между экспортом и импортом.
16.2. Статические игры с полной информацией 636

?2
1
?1 (?2 )

Точка равновесия
Нэша
1
2

1
3 ?2 (?1 )


?1
1 1
1
3 2



Рис. 16.3. Равновесие Нэша в игре «Международная торговля»

Теорема 151:
Если x? = (x? , . . . , x? ) — равновесие Нэша в некоторой игре, то ни одна из составляю-
m
1
щих его стратегий не может быть отброшена в результате применения процедуры последо-
вательного отбрасывания строго доминируемых стратегий.

Обратная теорема верна в случае единственности.
Теорема 152:
Если в результате последовательного отбрасывания строго доминируемых стратегий у
каждого игрока остается единственная стратегия, x? , то x? = (x? , . . . , x? ) — равновесие
m
1
i
Нэша в этой игре.

Доказательства этих двух утверждений даны в Приложении B (с. 641). Нам важно здесь,
что концепция Нэша не входит в противоречие с идеями рациональности, заложенной в про-
цедуре отбрасывания строго доминируемых стратегий.
По-видимому, естественно считать, что разумно определенное равновесие, не может быть
отброшено при последовательном отбрасывании строго доминируемых стратегий. Первую из
теорем можно рассматривать как подтверждение того, что концепция Нэша достаточно ра-
зумна. Отметим, что данный результат относится только к строгому доминированию. Можно
привести пример равновесия Нэша с одной или несколькими слабо доминируемыми стратеги-
ями (см. напр. Таблицу 16.11 на с. 652).

16.2.5 Равновесие Нэша в смешанных стратегиях
Нетрудно построить примеры игр, в которых равновесие Нэша отсутствует. Следующая
игра представляет пример такой ситуации.
Игра 6. «Инспекция»
В этой игре первый игрок (проверяемый) поставлен перед выбором — платить или не пла-
тить подоходный налог. Второй — налоговой инспектор, решает, проверять или не проверять
именно этого налогоплательщика. Если инспектор «ловит» недобросовестного налогоплатель-
щика, то взимает в него штраф и получает поощрение по службе, более чем компенсирующее
его издержки; в случае же проверки исправного налогоплательщика, инспектор, не получая
поощрения, тем не менее несет издержки, связанные с проверкой. Матрица выигрышей пред-
ставлена в Таблице 16.9.
16.2. Статические игры с полной информацией 637
Таблица 16.9.

Инспектор
проверять не проверять
1 0
нарушать ?1 1
?1 0
Проверяемый
не нарушать 0 0



Если инспектор уверен, что налогоплательщик выберет не платить налог, то инспектору
выгодно его проверить. С другой стороны, если налогоплательщик уверен, что его проверят,
то ему лучше заплатить налог. Аналогичным образом, если инспектор уверен, что налогопла-
тельщик заплатит налог, то инспектору не выгодно его проверять, а если налогоплательщик
уверен, что инспектор не станет его проверять, то он предпочтет не платить налог. Оптималь-
ные отклики показаны в таблице подчеркиванием соответствующих выигрышей. Очевидно,
что ни одна из клеток не может быть равновесием Нэша, поскольку ни в одной из клеток не
подчеркнуты одновременно оба выигрыша.
В подобной игре каждый игрок заинтересован в том, чтобы его партнер не смог угадать,
какую именно стратегию он выбрал. Этого можно достигнуть, внеся в выбор стратегии элемент
неопределенности.
Те стратегии, которые мы рассматривали раньше, принято называть чистыми стратегиями.
Чистые стратегии в статических играх по сути дела совпадают с действиями игроков. Но в
некоторых играх естественно ввести в рассмотрение также смешанные стратегии. Под сме-
шанной стратегией понимают распределение вероятностей на чистых стратегиях. В частном
случае, когда множество чистых стратегий каждого игрока конечно,

Xi = {x1 , . . . , xni }
i i

(соответствующая игра называется конечной, ), смешанная стратегия представляется вектором
вероятностей соответствующих чистых стратегий:

µi = (µ1 , . . . , µni )
i i

Обозначим множество смешанных стратегий i-го игрока через Mi :

0, k = 1, . . . , ni ; µ1 + · · · + µni = 1
µi µk
Mi = i i i


Как мы уже отмечали, стандартное предположение теории игр (как и экономической теории)
состоит в том, что если выигрыш — случайная величина, то игроки предпочитают действия,
которые приносят им наибольший ожидаемый выигрыш. Ожидаемый выигрыш i-го игрока,
соответствующий набору смешанных стратегий всех игроков, (µ1 , . . . , µm ), вычисляется по
формуле
n1 nm
µki · · · µkm ui (xki , . . . , xkm )
···
U (µi , µ?i ) = m m
1 1
k1 =1 km =1

Ожидание рассчитывается в предположении, что игроки выбирают стратегии независимо (в
статистическом смысле).
Смешанные стратегии можно представить как результат рандомизации игроком своих дей-
ствий, то есть как результат их случайного выбора. Например, чтобы выбирать каждую из
двух возможных стратегий с одинаковой вероятностью, игрок может подбрасывать монету.
16.2. Статические игры с полной информацией 638

Эта интерпретация подразумевает, что выбор стратегии зависит от некоторого сигнала, кото-
рый сам игрок может наблюдать, а его партнеры — нет17 . Например, игрок может выбирать
стратегию в зависимости от своего настроения, если ему известно распределение вероятностей
его настроений, или от того, с какой ноги он в этот день встал18 .
Определение 92:
Набор смешанных стратегий µ? = (µ? , . . . , µ? ) является равновесием Нэша в смешанных
m
1
стратегиях, если
1) стратегия µ? каждого игрока является наилучшим для него откликом на ожидаемые им
i
стратегии других игроков µe :
?i

U (µ? , µe ) = max U (µi , µe ) ?i = 1, . . . , n;
?i ?i
i
µi ?Mi

2) ожидания совпадают с фактически выбираемыми стратегиями:
µe = µ? ?i = 1, . . . , n.
?i ?i

Заметим, что равновесие Нэша в смешанных стратегиях является обычным равновесием
Нэша в так называемом смешанном расширении игры, т. е. игре, чистые стратегии которой
являются смешанными стратегиями исходной игры.
Найдем равновесие Нэша в смешанных стратегиях в Игре 16.2.5.
Обозначим через µ вероятность того, что налогоплательщик не платит подоходный налог,
а через ? — вероятность того, что налоговой инспектор проверяет налогоплательщика.
В этих обозначениях ожидаемый выигрыш налогоплательщика равен
U1 (µ, ?) = µ[? · (?1) + (1 ? ?) · 1] + (1 ? µ)[? · 0 + (1 ? ?) · 0] =
= µ(1 ? 2?),
а ожидаемый выигрыш инспектора равен
U2 (µ, ?) = ?[µ · 1 + (1 ? µ) · (?1)] + (1 ? µ)[µ · 0 + (1 ? µ) · 0] =
= ?(2µ ? 1)
Если вероятность проверки мала (? < 1/2), то налогоплательщику выгодно не платить
налог, т. е. выбрать µ = 1. Если вероятность проверки велика, то налогоплательщику выгодно
заплатить налог, т. е. выбрать µ = 0. Если же ? = 1/2, то налогоплательщику все равно,
платить налог или нет, он может выбрать любую вероятность µ из интервала [0, 1]. Таким
образом, отображение отклика налогоплательщика имеет вид:
?
?1, если ? < 1/2
?
?
?
µ(?) = [0, 1] , если ? = 1/2
?
?
?0, если ? > 1/2.
?

Рассуждая аналогичным образом, найдем отклик налогового инспектора:
?
?0, если µ < 1/2
?
?
?
?(µ) = [0, 1] , если µ = 1/2
?
?
?1, если µ > 1/2.
?

17
Если сигналы, наблюдаемые игроками, статистически зависимы, то это может помочь игрокам скоордини-
ровать свои действия. Это приводит к концепции коррелированного равновесия.
18
Впоследствии мы рассмотрим, как можно достигнуть эффекта рандомизации в рамках байесовского рав-
новесия.
16.2. Статические игры с полной информацией 639

Графики отображений отклика обоих игроков представлены на Рис. 16.4. По осям на этой
диаграмме откладываются вероятности (? и µ соответственно). Они имеют единственную об-
щую точку (1/2, 1/2). Эта точка соответствует равновесию Нэша в смешанных стратегиях.
В этом равновесии, как это всегда бывает в равновесиях с невырожденными смешанными
стратегиями (то есть в таких равновесиях, в которых ни одна из стратегий не выбирается с
вероятностью 1), каждый игрок рандомизирует стратегии, которые обеспечивают ему одинако-
вую ожидаемую полезность. Вероятности использования соответствующих чистых стратегий,
выбранные игроком, определяются не структурой выигрышей данного игрока, а структурой
выигрышей его партнера, что может вызвать известные трудности с интерпретацией данного
решения.

?
?(µ)
1


µ(?)
1
2



µ
1
1
2


<< Предыдущая

стр. 149
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>