<< Предыдущая

стр. 15
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

5
Как станет ясно из дальнейшего, здесь неявно предполагается локальная ненасыщаемость предпочтений.
6
В дальнейшем, говоря об однородности, мы будем автоматически предполагать положительную однород-
ность, не уточняя этого специально.
7
Ясно, что x? ? x .
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 68

Таким образом, x? принадлежит бюджетному множеству и не хуже любого набора из этого
множества. Значит, x? ? B(p, R).
(iii) Доказательство того, что x(p, R) — одноэлементное множество несложно, в общих чер-
тах повторяет доказательство предыдущего и оставляется читателю в качестве упражнения.
Докажем только непрерывность.
p?
Рассмотрим последовательность {pn , Rn }? > {? , R}, где Rn > inf x?X pn x для каж-
n=1
p?
дого n и (? , R) > (0, inf x?X px), такую что порождаемая последовательность {xn }? ре-
? n=1
n и доходах Rn (т. е. xn = x(pn , Rn )) сходится, т. е.
шений задачи потребителя при ценах p
?
{xn }? > x . Поскольку pn xn Rn , то, переходя к пределу при n > ?, получаем px R.
? ??
n=1
p?
?
Для доказательства непрерывности функции спроса необходимо показать, что x = x(? , R),
?
? ?
т. е. что x является оптимальным выбором потребителя при ценах p и доходе R.
?
? ? ? ??
Предположим противное, т. е. что существует набор x , такой что x x и px R. В силу
замкнутости множества допустимых альтернатив X справедливо, что

? ?
inf px = min px,
x?X x?X

Пусть z — допустимый потребительский набор, соответствующий минимуму. Для него вы-
?
полнено pz < R. Рассмотрим выпуклые комбинации x? = ?z + (1 ? ?)? (0 < ? < 1). При
? x
?
? ?
достаточно малых значениях ? в силу непрерывности имеем, что x? x , и при этом px? < R.
?
Обозначим один из таких наборов через x .
Далее, найдется достаточно большое N такое, что при n > N выполнено pn x < Rn .?
Пусть это не так, т. е. существует такая возрастающая последовательность натуральных чи-
?
сел {nk }+? , что pnk x Rnk ?k . Тогда, перейдя к пределу, мы получили бы px
? ?? R, что
k=1
противоречит выбору x . Для каждого n такого, что pn x < Rn в силу оптимальности xn мы
? ?
должны иметь xn x . Так как предпочтения непрерывны, то, переходя к пределу, получаем
?
?? ?
x x . Тем самым, мы пришли к противоречию. Это означает, что набор x оптимален при це-
? p?
? ?
нах p и доходе R, т. е. x = x(? , R). Таким образом, доказана непрерывность функции спроса
x(p, R) по ценам и доходу.

Замечание: В общем случае можно показать, что отображение спроса имеет замкнутый гра-
фик, используя, с незначительными изменениями предложенную схему доказательства8 .

(iv) Доказательство несложно и оставляется читателю в качестве упражнения.
(v) Пусть x(p, R) — отображение спроса, и закон Вальраса не выполнен, т. е. ?? ? x(p, R)
x
такой, что p? < R. Тогда по свойству локальной ненасыщаемости в любой окрестности точки
x
? ? ? ?
x должен существовать набор x , такой что x x . Если выбрать достаточно малую окрест-
?
ность, то x будет удовлетворять бюджетному ограничению (p? x R), что противоречит оп-
?
тимальности набора x .
(vi) Так как x ? x(p, R) и x ? B(p, R), то x x . Аналогично из того, что x ? x(p , R ) и
x ? B(p , R ) следует x выполнено x ? x , откуда
x. В силу транзитивности отношения
по определению функции спроса имеем x ? x(p , R ).

Поясним содержание данного утверждения. Первые пять пунктов данного утверждения
достаточно прозрачны, и являются стандартными свойствами задач математического програм-
мирования. В них показано существование решения задачи потребителя и базовые свойства,
которым удовлетворяет отображение спроса: однородность, выпуклость, выполнение закона
Вальраса (в точке оптимума бюджетное ограничение выходит на равенство).
Свойство (vi) является вариантом слабой аксиомы выявленных предпочтений (см. Опреде-
ление 20 на с. 50). Если в некоторой ситуации потребителю были доступны потребительские
8
Подробнее о непрерывности в задачах оптимизации см. В. Гильденбранд: Ядро и равновесие в большой
экономике, М.: Наука, 1986, с. 23–35.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 69

наборы x, x и был выбран (однозначно9 ) потребительский набор x, то тем самым, выбор явно
указывает, что набор x лучше набора x . Таким образом, если в какой либо другой ситуации
рациональный потребитель выбирает набор x , то, следовательно, набор x ему недоступен (не
удовлетворяет бюджетному ограничению). Данное свойство запрещает ситуацию, когда в двух
ситуациях выбора в первой ситуации потребитель своим выбором сигнализирует, что x x ,
и в то же время выбирает x , когда в другой ситуации ему доступны и x, и x .
Следующий пример иллюстрирует дополнительные свойства, которым удовлетворяет спрос,
порожденный гомотетичными предпочтениями.
Пример 10:
Будем исходить из того, что рассматриваемые гомотетичные предпочтения являются непре-
рывными. В этом случае их можно представить положительно однородной первой степени
функцией полезности. Пусть x(p, R) и x(p, 1) — отображения спроса при ценах p и дохо-
дах R и 1 соответственно. Покажем, что x(p, R) = Rx(p, 1), то есть спрос однороден первой
степени по доходу.
Докажем, что Rx(p, 1) ? x(p, R). Для этого нужно доказать, что если x ? x(p, 1), то
?
R? ? x(p, R). Очевидно, что R? ? B(p, R). Покажем, что в B(p, R) нет наборов более предпо-
x x
чтительных, чем R? . Пусть это не так и существует x ? x(p, R), такой что u(? ) > u(R? ). Для
?
x x x
1 1 1
набора R x выполнено R x ? B(p, 1), и, поскольку функция полезности однородна, u R x >
? ? ?
u(? ). Но существование такого набора противоречит тому, что x ? x(p, 1). Таким образом,
?
x
R? ? x(p, R).
x
Обратное включение, x(p, R) ? Rx(p, 1), доказывается аналогично. Тем самым показано,
что для случая положительно однородной функции полезности кривые Энгеля представляют
собой конусы, выходящие из начала координат. Если спрос однозначен, то кривые Энгеля
являются лучами. Доказательство несложно переделать для общего случая (не обязательно
непрерывных) гомотетичных предпочтений.

Выше мы разобрали основные свойства маршаллианского спроса. Теперь остановимся на
вопросе непосредственного нахождения спроса при заданных предпочтениях (функции полез-
ности) при положительных ценах и доходе. Техника нахождения спроса потребителя опира-
ется на применение теоремы Куна — Таккера к задаче потребителя (C) в предположении, что
функция полезности u· является дифференцируемой. Лагранжиан для этой задачи имеет сле-
дующий вид:
L(x, ?) = u(x) + ?(R ? px),
где ? — множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению.
Предположим, что множество допустимых потребительских наборов X задается неравен-
ствами x 0. Предположим также, что функция полезности задана на некотором открытом
множестве, включающем в себя X (например, Rl ). Условия Куна — Таккера для набора x и
?
множителя Лагранжа ? имеют в таком случае следующий вид:

(1) u(? ) ? ?p 0; (2) ( u(? ) ? ?p)? = 0;
x x x
(3) ?(R ? p? ) = 0;
x (4) ? 0.
?
Если x является решением задачи потребителя, то по теореме Куна — Таккера найдется
?, такое что (? , ?) удовлетворяют приведенным условиям.
x
(Можно и Слейтера...)
?
Величины x и ?, удовлетворяющие условиям Куна — Таккера можно искать перебором,
рассматривая все возможные варианты: каждая из переменных xi может быть положитель-
?
ной, либо равной нулю; то же самое верно и для множителя Лагранжа ?. Всего имеется 2l+1
9
Иными словами, мы имеем функцию спроса, а не отображение.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 70

вариантов (часть из которых заведомо невозможны). Для каждого из вариантов следует рас-
смотреть, являются ли условия совместными. Если да, то найти соответствующее множество
решений.
Рассмотрим свойства решений. Если функция полезности такова, что для всех допусти-
мых наборов x хотя бы для одного блага xi выполняется ?u(x)/?xi > 0, то, как следует из
условия (1), для найденных решений ? > 0. По условию дополняющей нежесткости (3) из
? > 0 следует, что p? = R (закон Вальраса). Выполнение закона Вальраса для оптимальных
x
потребительских наборов гарантировано также в случае, когда предпочтения локально нена-
сыщаемы (см. Теорему 23). Поскольку цены и доходы положительны, то из p? = R следует,
x
что хотя бы одно благо должно потребляться в положительном количестве.
Условие (1) означает, что для каждого из благ должно быть выполнено
?u(? )
x
?pi
?xi
Для тех же благ, которые потребляются в положительном количестве ( xi > 0) из условия
?
дополняющей нежесткости (2) следует
?u(? )
x
= ?pi .
?xi
Предположим, что ? > 0 и k — такое благо, что xi > 0, а i — любое другое благо.
?
Исключая множитель Лагранжа из условий Куна — Таккера, имеем
pi ?u(? )/?xi
x
= M RSik (? ).
x
pk ?u(? )/?xk
x
Если благо i таково, что xi > 0 то это условие выполняется как равенство:
pi ?u(? )/?xi
x
= = M RSik (? ).
x
pk ?u(? )/?xk
x
Это свойство известно читателю из вводного курса микроэкономики и означает, что ре-
шение задачи потребителя характеризуется равенством предельной нормы замещения /или
замены ??/ любых двух благ отношению цен этих благ.
Так как ? > 0, то бюджетное ограничение должно выходить на равенство: px = R. Это
второе условие первого порядка, которому должен удовлетворять оптимум рассматриваемой
задачи.
?
Пусть нашлись некоторые x и ?, которые удовлетворяют условиям Куна — Таккера:
Таким образом, вышеприведенные гипотезы гарантируют нам положительность множите-
ля Лагранжа ?, и существование такого товара для которого ui (? ) > 0 и, значит, выполнено
x
условие 2 сформулированной выше теоремы.
Рассмотрим теперь необходимые условия оптимальности в задаче потребителя. По теореме
Куна — Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалент-
ны тому, что не все цены равны нулю и доход строго положителен) существует множитель
Лагранжа ? 0 такой, что в оптимуме
?L(? , ?)
x ?L(? , ?)
x
0 = 0, если xk > 0
и
?xk ?xk
или
?u(? )
x ?u(? )
x
?pk и = ?pk , если xk > 0.
?xk ?xk
Действительно, имеется l ограничений на неотрицательность потребления и бюджетное
ограничение. При положительных ценах и доходах хотя бы одно из них не является активным.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 71

Очевидно, что градиенты остальных ограничений будут линейно независимыми. Градиент
бюджетного ограничения равен ?p < 0, градиенты остальных ограничений имеют вид ei =
(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (i-орт). Т. е. выполнены условия регулярности Куна — Таккера.
и сравнить их, выбрав набор с максимальным значением полезности
Проиллюстрируем теперь применение достаточных условий оптимальности для нахожде-
ния функции спроса на примере.
Пример 11:
Пусть множество допустимых альтернатив X = Rl , и предпочтения потребителя предста-
+
v v
вимы функцией полезности u(x) = x1 + a x2 , где a > 0. Данная функция строго вогнута
(как сумма строго вогнутых функций). (Отметим также, что u(x) строго монотонна.) Предпо-
ложим, что решение внутреннее. Тогда мы подпадаем под условия теоремы Куна — Таккера;
при этом условия Куна — Таккера являются достаточными условиями оптимальности. Таким
образом, если найдутся вектор x > 0 и множитель Лагранжа ? 0, такие что для них вы-
полнены условия Куна — Таккера, то такой x является решением задачи. Поскольку целевая
функция строго вогнута, то x — единственное решение задачи.
v v
Функция Лагранжа для задачи потребителя с функцией полезности u(x) = x1 + a x2
имеет вид:
v v
L(x, ?) = x1 + a x2 + ?(R ? p1 x1 ? p2 x2 ).
Условия Куна — Таккера:
?L(x,?) ?L(x,?)
1 a
? ?p1 = 0; = 2vx2 ? ?p2
(1) = (2) = 0;
v
?x1 ?x2
2 x1
?L(x,?) ?L(x,?)
= R ? p1 x1 ? p2 x2 ?? ? = (R ? p1 x1 ? p2 x2 )? = 0.
(3) 0; (4)

<< Предыдущая

стр. 15
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>