<< Предыдущая

стр. 16
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

??
Из этих условий заключаем, что ? > 0, т. е. бюджетное ограничение выполняется как
равенство:
p1 x1 + p2 x2 = R.
Из первых двух уравнений имеем
v 2
x2 p1 p1
v = , или x2 = a x1 .
a x1 p2 p2

Подставляя полученное выражение для x2 в бюджетное ограничение, получим
2 2
p1 2 (p1 ) Rp2
x1 = R ? x1 = R ? x1 =
p1 x1 + p2 a p1 + a .
p1 p2 + a2 (p1 )2
p2 p2

Отсюда
a2 Rp1
x2 = .
(p2 )2 + a2 p1 p2
Таким образом, функция маршаллианского спроса имеет вид

a2 Rp1
Rp2
x(p, R) = ; .
p1 p2 + a2 (p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2

Легко видеть, что полученная нами функция спроса удовлетворяет всем свойствам функ-
ции спроса, установленным в Теореме 23. (Проверьте это самостоятельно!)

Перейдем теперь к рассмотрению другого понятия, относящегося к потребительскому вы-
бору, а именно понятия непрямой функции полезности.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 72
Определение 24:
Непрямой функцией полезности10 называется функция, которая ценам p и доходу R сопо-
ставляет значение полезности u(? ), где x — решение задачи потребителя (т. е. x ? x(p, R)).
? ?
x

Естественно, область определения непрямой функции полезности — это такие пары цен и
доходов (p, R) при которых существует решение задачи потребителя. В нашем случае функция
определена, например, при всех положительных ценах и доходах R > inf x?X px в случае, когда
предпочтения непрерывны.
Следующая теорема устанавливает основные свойства непрямой функции полезности. Эти
свойства позволяют, в частности, делать выводы об изменении полезности потребителя при
изменении бюджетного множества.
Теорема 24 (свойства непрямой функции полезности):
Пусть выполнены предположения Теоремы 23. Тогда
(i) функция v(p, R) однородна нулевой степени по (p, R): v(?p, ?R) = v(p, R) (? > 0);
(ii) функция v(p, R) не убывает по доходу (v(p, R ) v(p, R) при R > R), причем строго
возрастает по доходу, если предпочтения локально ненасыщаемы;
(iii) функция v(p, R) не возрастает по ценам (v(p, R) v(p , R) при p p ), причем
строго убывает по ценам, если предпочтения локально ненасыщаемы;
(iv) функция v(p, R) квазивыпукла по (p, R);
(v) если предпочтения потребителя выпуклы, то функция v(p, R) непрерывна на множе-
стве определения.


Доказательство: (i) Однородность нулевой степени следует из определения непрямой функции
полезности и однородности нулевой степени функции спроса x(p, R) (см. Теорему 23).
(ii) Покажем, что v(p, R) не убывает по R. Рассмотрим непрямую функцию полезно-
сти при двух разных уровнях дохода R и R, таких что R > R. Нестрогое неравенство
v(p, R ) v(p, R) следует из того, что при R > R бюджетное множество B(p, R ) содержит
бюджетное множество B(p, R) 11 . Если бы при R > R мы имели v(p, R ) = v(p, R), то наборы
из x(p, R) принадлежали бы x(p, R ), но для них не выполнялся бы закон Вальраса. Этого
при локальной ненасыщаемости предпочтений быть не может, значит, должно выполняться
строгое неравенство v(p, R ) > v(p, R).
(iii) Доказательство данного пункта в целом повторяет доказательство предыдущего и
оставляется читателю в качестве упражнения.
(iv) Напомним, что функция f (x) называется квазивыпуклой, если функция ?f (x) яв-
ляется квазивогнутой. Мы хотим показать квазивогнутость функции v(p, R), т. е. что для
любого 0 ? 1 выполнено

v(?p1 + (1 ? ?)p2 , ?R1 + (1 ? ?)R2 ) max{v(p1 , R1 ), v(p2 , R2 )}.

Пусть x — решение задачи потребителя при ценах p? = ?p1 + (1 ? ?)p2 и доходе R? =
?R1 + (1 ? ?)R2 , т. е. x ? x(p? , R? ). Очевидно, что x является допустимым либо при ценах
p1 доходе R1 , либо при ценах p2 и доходе R2 . Действительно, если бы это было неверно,
тогда выполнялось бы p1 x > R1 и p2 x > R2 . Взяв первое неравенство с весом ?, а вто-
рое неравенство — с весом (1 ? ?) и сложив, получаем p? x > R? . Противоречие с тем, что
x ? x(p? , R? ). Таким образом, выполнено либо p1 x R1 , либо p2 x R2 . Без потери общ-
ности предположим, что p1 x R1 . Из того, что v(p1 , R1 ) есть по определению значение
целевой функции на оптимальном решении задачи потребителя при ценах p1 и доходе R1 ,
10
Непрямая функция полезности впервые рассматривалась в работе G. B. Antonelli: Sulla teoria matematica
della economia politica, Pisa: Tipografia del Falchetto, 1886.
11
Отметим, что случай B(p, R ) = B(p, R) не исключен.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 73

следует что v(p1 , R1 ) u(x), так как x — допустимое решение этой задачи. Тем более, должно
выполняться и требуемое соотношение

u(x) = v(p? , R? ) max{v(p1 , R1 ), v(p2 , R2 )}.

(v) В предположении строгой выпуклости предпочтений непрерывность непрямой функции
полезности следует из определения и непрерывности функции x(p, R), которую мы доказали
в Теореме 2312 .

Проиллюстрируем понятие непрямой функции полезности на примерах. Первый из них
относится к гомотетичным предпочтениям.
Пример 12 (продолжение Примера 10):
Выше мы показали, что функция маршаллианского спроса при гомотетичности предпо-
чтений (другими словами, при однородности функции полезности) однородна первой степени
по доходу, т. е. x(p, R) = Rx(p, 1). Таким образом, v(p, R) = u(x(p, R)) = u(Rx(p, 1)) =
u(x(p, 1))R = a(p)R, где в качестве a(p) выступает u(x(p, 1)).

Пример 13 (продолжение Примера 11):
Непрямая функция полезности будет иметь вид:

a2 Rp1
Rp2
v(p, R) = +a =
p1 p2 + a2 (p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2
a2 Rp1
Rp2 R p2 p1
+ a2
= +a = =
p1 (p2 + a2 p1 ) p2 (p2 + a2 p1 ) p2 + a2 p1 p1 p2
p2 + a2 p1 R(p2 + a2 p1 )
R
= = .
v
p2 + a2 p1 p1 p2 p1 p2

Проверим выполнение свойств непрямой функции полезности, полученных нами в Теоре-
ме 24.
Возрастание непрямой функции полезности по доходу очевидно в силу возрастания функ-
v
ции x.
Убывание непрямой функции полезности по ценам следует из того факта, что функции p11
a2 a2
1
убывают по ценам и v(p, R) = R +
и .
p2 p1 p2
Проверка квазивогнутости непрямой функции полезности достаточно громоздка, и мы ее
проводить не будем. Желающие могут проделать ее самостоятельно.

3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
Рассмотрим вопрос о том, какие денежные средства требуются потребителю при данных
ценах на достижение заданного уровня благосостояния и какие потребительский наборы обес-
печивают минимальное значение потребительских расходов. Ответы на эти вопросы можно
получить с помощью следующей задачи:

ph > min
h?X
h x.
12
Доказательство в общем случае читатель может найти в книге В. Гильденбранд: Ядро и равновесие в
большой экономике, М.: Наука, 1986, с. 31.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 74

В этой задаче требование к минимально допустимому уровню благосостояния задается потре-
бительским набором x. В верхнем лебеговском множестве набора x, L+ (x) = { y ? X | y x },
ищется самый дешевый (в ценах p) набор. На основе этой задачи приходим к понятию хикси-
анского спроса.
Определение 25:
Отображение
h(p, x) = argmin ph
h?L+ (x)

называется спросом по Хиксу (хиксианским спросом)13 . В случае если данное отображение яв-
ляется однозначным, h(p, x) называется функцией спроса по Хиксу14 .

Таким образом, хиксианский спрос при заданных p и x — это самый дешевый потреби-
тельский набор при заданных ценах p, среди всех наборов, которые не хуже, чем x, в то
время как обычный (маршаллианский) спрос — это наилучший с точки зрения предпочтений
индивидуума набор в бюджетном множестве. На Рис. 3.2 в случае двух благ иллюстрируется
разница в понятиях маршаллианского и хиксианского спросов.

кривая безразличия
h2
x2 бюджетная прямая



маршаллианский
хиксианский
спрос
спрос

x1 h1


Рис. 3.2. Маршаллианский и хиксианский спрос

Если предпочтения представимы функцией полезности u : X > R, отображение хиксиан-
ского спроса может быть найдено как решение параметрического семейства задач математи-
ческого программирования:

ph > min
h?X (H)
u(h) u(x),

каждая из которых обычно называется двойственной (взаимной) к соответствующей задаче
потребителя (задаче поиска маршаллианского спроса).
Следующая теорема устанавливает основные свойства отображения (функции) хиксиан-
ского спроса.
13
Приведенное здесь определение хиксианского спроса не является классическим. В большинстве учебни-
ков хиксианский спрос определяется как набор, который дает заданный уровень полезности. Преимуществом
данного здесь определения является то, что в нем не используются понятия и термины, ассоциирующиеся с
кардиналистским подходом.
Наше изложение следует в русле ординалистского подхода к теории потребительского спроса, развитого
Лайонелем Мак-Кензи (L. McKenzie: Demand Theory Without a Utility Index, Review of Economic Studies 24
(1957): 183–189). Поскольку исходными при ординалистcком подходе являются предпочтения, то желательно
по возможности вводить такие понятия, которые не опираются непосредственно на функцию полезности.
14
Понятие хиксианского спроса появилось, и получило свое развитие, в работах Джона Хикса (J. R. Hicks:
Value and Capital, Oxford University Press, 1939, рус. пер. Дж. Р. Хикс: Стоимость и капитал, М.: Прогресс,
1993), Пола Самуэльсона (P. A. Samuelson: Foundations of Economic Analysis, Harvard University Press, 1947)
и Лайонеля Мак-Кензи (см. сноску 13).
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 75
Теорема 25 (свойства хиксианского спроса):
Пусть p ? Rl , предпочтения потребителя являются непрерывными. Тогда
++
(i) решение двойственной задачи потребителя существует, т. е. h(p, x) = ? ?x ? X ;
(ii) если предпочтения потребителя выпуклы, то h(p, x) — выпуклое множество;
(iii) если предпочтения потребителя строго выпуклы, то h(p, x) — непрерывная функция;
(iv) отображение h(p, x) однородно нулевой степени по p, т. е. h(?p, x) = h(p, x) (? > 0);
(v) если x ? x , то h(p, x ) = h(p, x );
(vi) для каждого h ? h(p, x) справедливо h ? x.


Доказательство: Доказательство в общих чертах идет по схеме доказательства Теоремы 23 и
оставляется читателю в качестве упражнения.

Обсудим, как и в случае с маршаллианским спросом, необходимые и достаточные условия
оптимума задачи минимизации расходов (поиска хиксианского спроса)

ph > min
h0
(H )
u(h) u(x),

Здесь предполагается, что X = Rl , т. е. h 0 — условие того, что h — допустимый набор, и
+
что функция полезности u(·) определена на более широком, чем X = Rl , открытом множестве
+
l ), и является дифференцируемой.
(например, R
?
Условия Куна — Таккера для задачи (H ) в точке h имеют вид
? ??
(1) ? p + ? u(h) 0; (2) (?p + ? u(h))h = 0;
?
(3) ?(u(h) ? u(x)) = 0; (4) ? 0.

?
Если набор h, допустимый в задаче (H ), удовлетворяет этим условиям при некотором
множителе Лагранжа ?, и функция полезности квазивогнута (предпочтения выпуклы), то
?
по обратной теореме Куна — Таккера h является решением этой задачи. Действительно, по-
скольку целевая функция ph линейна, то она вогнута; ограничение же задается квазивогнутой
функцией u(h) ? u(x).
?
С другой стороны, если h — решение рассматриваемой задачи, то (при выполнении условий
?
регулярности) найдется множитель Лагранжа ?, такой что для (h, ?) выполнены условия
?
Куна — Таккера. Предположение u(h) = 0 обеспечивает выполнение условий регулярности
в форме Куна — Таккера.
Таким образом, приведенные условия являются необходимыми и достаточными условиями
??
того, чтобы набор h ( h x) являлся решением задачи минимизации расходов.
?
Для внутреннего набора h ? int X в более общей задаче (H) условия Куна — Таккера

<< Предыдущая

стр. 16
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>