<< Предыдущая

стр. 161
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>





17.6 Теорема об огибающей
В микроэкономическом анализе широко используется класс утверждений (называемых теоремами
об огибающей) следующего типа:
Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра a.

?(x1 , . . . , xn , a) > max
?j (x1 , . . . , xn , a) = 0, j = 1, . . . , m. ()

Теорема 186:
Пусть x(a) — решение задачи ( ), ?(a) — множители Лагранжа, соответствующие решению,
и l(a) = ?(x(a), a).
Предположим, что в точке a0 выполнены следующие свойства:
функции ?(·) и ?j (·) вогнуты и дифференцируемы,
¦

решение задачи существует и единственно и функция x(·) дифференцируема,
¦

Тогда выполняется соотношение
m
dl(a0 ) ??(x(a0 ), a0 ) ??j (x(a0 ), a0 )
= + ?j (a0 ) .
da ?a ?a
j=1




17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации
Рассмотрим следующую параметрическую задачу оптимизации:
f (x, ?) > max
x
(P)
x ? X(?).

Здесь ? ? ? — параметр задачи ( ? ? Rm ), X(?) — множество допустимых решений при данных
n
значениях параметров, которое является подмножеством Rn (X(?) ? 2R ). Обозначим через x(?)
множество точек, являющихся решениями следующей этой задачи при данных значениях параметров
?. Обозначим через ?(?) значение данной задачи при тех параметрах ?, при которых x(?) непу-
сто. Заметим, что x(·) можно рассматривать как отображение. Теорема Вейерштрасса гарантирует
непустоту множества ?, если множество допустимых решений X(?) является компактным.
Определение 105:
?
Отображение X(?) является полунепрерывным сверху в точке ?, если для всякого ? > 0 суще-
?
ствует ? > 0 такое, что ? -окрестность множества X(?) содержит множества X(?) для всех ? из
?
? -окрестности ?.
?
Отображение X(?) является полунепрерывным снизу в точке ?, если для всякого ? > 0 существует
? ?
? > 0 такое, что для всех ? из ? -окрестности ? ? -окрестность множеств X(?) содержит X(?).
Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно.
17.7. Свойства решений параметрической задачи оптимизации 688

Теоремы о непрерывности решений параметрической задачи оптимизации являющихся следствия-
ми следующего утверждения, известного как теорема Бержа:
Теорема 187:
n
Предположим, что отображение X(·): ? > 2R , и функция f (·): (x, ?) ? ? ?, x ? X(?) >
?
R непрерывны в окрестности точки ?. Тогда отображение x(·) является полунепрерывным сверху
?
в точке ?.
Поскольку постоянное отображение X(?) = X является непрерывным, то следующее утверждение
является непосредственным следствием теоремы Бержа.
Теорема 188:
Пусть отображение x(·) ставит в соответствие параметру ? ? ? (? ? Rm ) множество точек,
являющихся решениями следующей экстремальной задачи:
f (x, ?) > max .
x?X

Предположим, что функция f (·): (x, ?) ? ? ?, x ? X(?) > R непрерывна в окрестности точки
? ?
?. Тогда x(·) является полунепрерывным сверху в точке ?.
Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерыв-
ность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи
потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).
Следующие теоремы являются следствиями теоремы Бержа (Теорема 187), поскольку, во-первых,
полунепрерывное сверху однозначное отображение (функция) непрерывно, во-вторых, отображение,
которое ставит в соответствии вектору цен бюджетное множество, непрерывно
Теорема 189:
Пусть x(p) — множество решений задачи
u(x) > max
x
px ?(p),
x ? X,
где p ? Rn , X ? Rn , X — замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 ? X .
+
Функция u(·) непрерывна и строго квазивогнута на X .
?
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p , то функция x(p) непрерывна в
?
точке p .
Теорема 190:
Пусть x(p) — множество решений задачи
u(x) > max
x
px ?(p),
x ? X,
где p ? Rn , X ? Rn , X — замкнутое, выпуклое множество и 0 ? X .
++
Функция u(·) непрерывна и строго квазивогнута на X .
?
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p , то функция x(p) непрерывна в
?
точке p .
Теорема 191:
Пусть x(p) — множество решений задачи
u(x) > max
x
px ?(p),
x ? X,
где p ? Rn , X ? Rn , X — замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 ? X .
+
Функция u(·) непрерывна и квазивогнута на X .
?
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p , то выпуклозначное отображение
?
x(p) полунепрерывно сверху в точке p .
17.8. Теоремы о дифференцируемости значения экстремальной задачи 689
Теорема 192:
Пусть x(p) — множество решений задачи

u(x) > max
x
px ?(p),
x ? X,

где p ? Rn , X ? Rn , X — замкнутое, выпуклое и множество и 0 ? X .
++
Функция u(·) непрерывна и квазивогнута на X .
?
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p , то выпуклозначное отображение
?
x(p) полунепрерывно сверху в точке p .

Теорема 193:
?
Предположим, что выполнены условия теоремы Бержа и x(?) непусто. Тогда x(·) непусто в
?
некоторой окрестности точки ?, а функция ?(·) является непрерывной в этой точке.

Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе
следующей теоремы.
Теорема 194:
Рассмотрим задачу (P) с постоянным отображением ?(x) = ? . Предположим, что существует
пара (? , y), такая что y ? r(? ) и y ? int ? . Предположим, кроме того, что функция f (x, y) дважды
x? ? ?
x
x?
непрерывно дифференцируема и строго вогнута по y в некоторой окрестности точки (? , y), и
2
| yy f (? , y)| = 0. Тогда решение задачи (P) существует и единственно при любых x из некоторой
x?
?
окрестности точки x , причем функция r(x) непрерывно дифференцируема в этой окрестности.

Доказательство: Поскольку y является внутренним решением задачи (P) при x = x . Это означает,
? ?
x?
что пара (? , y) удовлетворяет условиям первого порядка:

x?
y f (? , y) = 0.

Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной функции относи-
тельно соотношения
y f (x, y) = 0

и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция y = r(x), определенная в неко-
?
?
торой окрестности точки x и непрерывно дифференцируемая в этой окрестности. Из непрерывности
r(x) следует, что существует окрестность точки x , в которой r(x) ? ? .
?
? ?
Поскольку r(x) удовлетворяет условиям первого порядка и функция f (x, y) строго вогнута по y ,
?
то r(x) является единственным решением задачи (P) при данном x.
?

По теореме о неявной функции См. напр., В. А. Зорич, Математический анализ I, М., МЦНМО,
2001, с. 568-69.??



17.8 Теоремы о дифференцируемости значения
экстремальной задачи
Рассмотрим класс экстремальных задач, зависящих от параметра p ? Rm .

?(x, p) > max
x
n
x?X?R

Предположим, что эта задача имеет решение при всех p ? P , а функция ?(·) дифференцируема.
Обозначим l(p) = ?(x(p), p) ?p ? P .
Теорема 195:
Функция l(p) имеет производную в точке p ? int P тогда и только тогда, когда решение задачи,
x(p), единственно.
17.9. Теоремы Куна—Таккера 690


17.9 Теоремы Куна—Таккера
Теоремы Куна — Таккера — родовое название для утверждений, представляющих собой обобще-
ние теоремы Лагранжа на случай задач оптимизации с ограничениями в виде неравенств, т. е. задач
следующего типа:
f (x) > max
x
gj (x) 0, j = 1, . . . , m, ()
x = (x1 , . . . , xn ) ? X.
Здесь f : X > R — (в соответствие с установившейся терминологией) целевая функция, gr : X > R ,
r = 1, . . . , m , — функции ограничений, X ? Rn — открытое множество.
Теорема 196 (Теорема Джона в терминах седловой точки):
Пусть функции f (·), g1 (·), . . . , gn (·) вогнуты и x — решение задачи ( ), такое что x ? int X .
? ?
Тогда существуют множители Лагранжа ?j 0 , j = 0, . . . , m , не все равные нулю, такие что
?
x является решением задачи
L(? , ?) > max .
x
x?X

Мы приведем эти утверждения для случая, когда функции f, gr дифференцируемы (теоремы Ку-
на — Таккера в дифференциальной форме).
Напомним, что функция
m
L(x, ?) = ?0 f (x) + ?j gj (x)
j=1

называется функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи, а коэффициенты ?j — множителями
Лагранжа.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 197 (Теорема Джона для дифференцируемых функций):
Пусть x — решение задачи ( ), такое что x ? int X и функции f (·), g1 (·), . . . , gn (·) дифферен-
? ?
?
цируемы в точке x .
Тогда существуют множители Лагранжа ?j 0 , j = 0, . . . , m , не все равные нулю, такие что
выполнены следующие соотношения (условия Куна — Таккера):
?L(? , ?)
x
= 0, i = 1, . . . , n
?xi
и
m
?L(? , ?)
x (условия дополняющей
?j = 0
нежесткости).
??j
j=1

Отметим, что условия дополняющей нежесткости можно записать в виде
gj (? )?j = 0, j = 1, . . . , m.
x
Из этих условий следует, что если множитель Лагранжа положителен (?j > 0), то соответствующее
?
ограничение в решении задачи (при x = x) выполняется как равенство (т. е. gj (? ) = 0). Другими
x
словами, это ограничение активно. С другой стороны, в случае, когда gj (? ) > 0 , то соответствующий
x
множитель Лагранжа ?j равен нулю.
Если в задаче ( ) часть ограничений имеет вид ограничений на неотрицательность некоторых xi ,

<< Предыдущая

стр. 161
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>