<< Предыдущая

стр. 17
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

принимают более простой вид:
?
(1) ? p + ? u(h) 0;
?
(2) ?(u(h) ? u(x)) = 0; (3) ? 0.

Заметим попутно, что, как несложно увидеть, если x = x(p, R) — решение задачи потре-
бителя при ценах p ? Rl и доходе R > 0, и ? — множитель Лагранжа, отвечающий этому
++
решению, такой что ? > 0, то множитель Лагранжа в соответствующей задаче поиска хик-
1
сианского спроса ? должен быть равен ? . (О взаимосвязи двух задач речь пойдет ниже в
Теореме 27.)
Используя условия Куна — Таккера, найдем теперь функцию хиксианского спроса для слу-
чая, рассматривавшегося нами в Примере 11.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 76
Пример 14 (продолжение Примера 11):
v v
Для функции полезности u(x) = x1 + a x2 хиксианский спрос является решением сле-
дующей задачи:

p1 h1 + p2 h2 > min
h0

h1 + a h2 u(x).

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид:

L(h, ?) = ?p1 h1 ? p2 h2 + ?( h1 + a h2 ? u(x)).

Предположим, что решение является внутренним, т. е. h1 > 0, h2 > 0. При этом из условий
Куна — Таккера получим
1 1
?p1 + ? v = 0, ?p2 + ?a v = 0.
2 h1 2 h2
v v
Несложно заметить, что из этих двух равенств следует ? > 0, а, значит, h1 + a h2 = u(x).
v v v v
2
Отсюда имеем avh = p1 или h2 = a p1 h1 . Так как h1 + a h2 = u(x), то h1 +
h2
p2 p2
1
v 2 ap1 u(x) 2
a2 p1 h1 = u(x) или h1 = pp2 u(x)1 , откуда, h2 = p2 +a2 p1 .
2p
p2 2 +a
Читатель может проверить, что невнутренние наборы, удовлетворяющие ограничению за-
дачи, дают более высокое значение расходов, чем найденный набор, т. е. найденный набор
является оптимумом, причем единственным. (что, впрочем очевидно, так как решение задачи
минимизации расходов при строго вогнутой функции полезности (строго выпуклых предпо-
чтениях) единственно, а условия Куна-Таккера в данном случае являются не только необхо-
димыми, но и достаточными. Таким образом, хиксианский спрос равен
2 2
p2 u(x) ap1 u(x)
h(p, x) = , .
p2 + a2 p1 p2 + a2 p1
Проиллюстрируем теперь свойства функции хиксианского спроса, доказанные в Теоре-
ме 25. То, что хиксианский спрос однороден нулевой степени по ценам очевидно. Действи-
тельно,
2 2
tp2 u(x) atp1 u(x)
h(tp, x) = , =
tp2 + a2 tp1 tp2 + a2 tp1
2 2
p2 u(x) ap1 u(x)
= t0 h(p, x).
= ,
p2 + a2 p1 p2 + a2 p1
Проверим, что u(h(p, x)) = u(x). Подставив хиксианский спрос в функцию полезности, мы
получим:

u(h(p, x)) = h1 (p, x) + a h2 (p, x) =
p2 u(x) 2 ap1 u(x) 2 p2 u(x) ap1 u(x)
= ( ) +a ( )= +a = u(x).
p2 + a2 p1 p2 + a2 p1 p2 + a2 p1 p2 + a2 p1

Аналогом непрямой функции полезности в двойственной задаче потребителя является
функция расходов15 .
15
Опять же, как и в случае с хиксианским спросом (см. сноску 13), мы здесь используем нетрадиционное
определение функции расходов. Используемый нами вариант называется измеряемой в деньгах функцией по-
лезности, /как по русски сказать??/.
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 77
Определение 26:
Функция e(p, x) = ph, где h ? h(p, x) — хиксианский спрос при данных p и x, называется
функцией расходов (затрат).

Другими словами, функция расходов e(p, x) — значение целевой функции двойственной
задачи в точке оптимума при данных p и x. Согласно определению, для каждого достижимо-
го уровня полезности функция расходов указывает минимальный уровень расходов (дохода),
обеспечивающий такой уровень полезности.
Теорема 26 (свойства функции расходов):
Пусть выполнены предположения Теоремы 25. Тогда
(i) функция e(p, x) однородна первой степени по ценам: e(?p, x) = ?e(p, x) (? > 0);
(ii) функция e(p, x) не убывает по ценам: e(p , x) e(p, x) при p p;
(iii) функция e(p, x) — вогнутая функция цен p;
(iv) функция e(p, x) непрерывна;
(v) x y тогда и только тогда, когда e(p, x) e(p, y);

Доказательство: (i) Первый пункт утверждения следует из того, что решения двойственной
задачи при векторе цен p и векторе цен ?p совпадают.
p, p = p, h ? h(p, x) и h ? h(p , x). Тогда ph
(ii) Пусть p ph = e(p, x). С другой
стороны, e(p , x) = p h ph . (Заметим, что если h > 0, то e(p , x) > e(p, x).)
(iii) Мы должны показать, что для двух произвольных векторов p1 и p2 при 0 ? 1
?
1 +(1??)p2 , x) 1 , x)+(1??)e(p2 , x). Пусть h — решение двойственной
выполняется e(?p ?e(p
? ?
задачи при ценах p? = ?p1 +(1??)p2 , т. е. h ? h(p? , x). Отметим, p? h = e(p? , x). Допустимое
?
множество { h ? X h x } не зависит от p, поэтому потребительский набор h допустим в
двойственной задаче как при ценах p1 , так и при ценах p2 . Из определения функции расходов
? ? ?
и допустимости h имеем e(p1 , x) p1 h и e(p2 , x) p2 h. Отсюда
?
?e(p1 , x) + (1 ? ?)e(p2 , x) p? h = e(p? , x).

(iv) Доказательство непрерывности оставляем читателю в качестве упражнения. Заметим
только, что непрерывность функции расходов по ценам следует из того, что она является
вогнутой (как функция цен) и определена на открытом множестве (а любая вогнутая функция
непрерывна во внутренности своей области определения).
(v?) Докажем, что из x y следует e(p, x) e(p, y). Так как x y , то все потреби-
тельские наборы, допустимые в двойственной задаче при наборе параметров (p, x), являются
допустимыми в этой задаче при наборе параметров (p, y). В том числе, допустимыми явля-
ются и наборы, принадлежащие h(p, x), а это и означает что e(p, x) e(p, y).
(v?) Докажем, что из e(p, x) e(p, y) следует x y . Предположим противное, то есть
?
y x. При этом e(p, y) = e(p, x) и, значит, h(p, y) ? h(p, x). Возьмем h ? h(p, y). В силу
непрерывности предпочтений и того, что X — выпуклое множество и 0 ? X , существует
? ?
такое число ? < 1, что ?h x. В этом случае p · (?h) = ?e(p, y) < e(p, x), что противоречит
определению e(p, x).

На основании пункта (v) можно говорить о функции e(p, x), как о функции полезности,
которая представляет исходные предпочтения. Это свойство — одно из самых важных свойств
функции расходов и является ключевым при обсуждении вопроса о восстановлении предпо-
чтений по наблюдаемой функции спроса (см. параграф 3.C).
Проиллюстрируем теперь нахождение функции расходов.
Пример 15 (продолжение Примера 11):
v
Найдем функцию расходов e(p, x), соответствующую функции полезности u(x) = x1 +
v
a x2 . Как было показано выше, функция хиксианского спроса для рассматриваемого потре-
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 78
p2 u(x) 2 ap1 u(x) 2
бителя равна h(p, x) = , . Из определения функции расходов имеем:
p2 +a2 p1 p2 +a2 p1

2
ap1 u(x) 2
p2 u(x)
e(p, x) = p1 h1 (p, x) + p2 h2 (p, x) = p1 + p2 =
p2 + a2 p1 p2 + a2 p1
2 2
u(x) u(x)
2 2 2
(p1 p2 + a2 p1 )p1 p2 =
= (p1 (p2 ) + a p2 (p1 ) ) =
2p 2p
p2 + a 1 p2 + a 1
2
p1 p2 (u(x))2
u(x) 2
= (p1 p2 + a p1 )p1 p2 = .
p2 + a2 p1 p2 + a2 p1

На примере данной функции проиллюстрируем выполнение свойств, доказанных в Теоре-
ме 26.
Покажем, что полученная функция однородна первой степени по ценам.

tp1 tp2 (u(x))2 p1 p2 (u(x))2
e(tp, x) = =t = te(p, x).
tp2 + a2 tp1 p2 + a2 p1

Проверим свойство неубывания по ценам. Отметим, что

p1 p2 (u(x))2 (u(x))2
e(p, x) = =1 2.
p2 + a2 p1 + a2
p1 p

1
Действительно при росте при росте p1 величина убывает, что в свою очередь влечет рост
p1
(u(x))2
значения дроби , и, тем самым, рост функции расходов.
2
1
+a
p1 p2
Проверим теперь вогнутость функции расходов по ценам. Матрица вторых частных про-
(u(x))2
изводных для функции расходов e(p, x) = p1pp2+a2 p1 равна
2

? ?
2a2 p2 (u(x))2 2a2 p1 p2 (u(x))2
? (p2 +a2 p1 )3
2
(p2 +a2 p1 )3 ?
H= 2a2 p2 (u(x))2 ? .
?
? 2a2 p p (u(x))2
12
? (p2 +a2 p1 )3
1
(p2 +a2 p1 )3


Несложно заметить, что первый главный последовательный минор отрицателен, а второй ра-
вен 0. Значит, главные последовательные миноры чередуют свой знак, начиная с первого,
который отрицателен. Таким образом, матрица H отрицательно полуопределена и, соответ-
ственно, функция e(p, x) вогнута.
Наконец проверим, что x y ? e(p, x) e(p, y). Действительно, в силу положительности
(u(x))2 p1 p2 (u(y))2
e(p, y) ? p1pp2+a2 p1 ? (u(x))2 (u(y))2 . Так как u(x) =
цен имеем: e(p, x) p2 +a2 p1
v v 2
x1 +a x2 и, тем самым, неотрицательна, то условие (u(x))2 (u(y))2 эквивалентно условию
e(p, y) ? u(x)
u(x) u(y). То есть, e(p, x) u(y). Откуда по определению функции
полезности имеем, что e(p, x) e(p, y) ? x y .

Рассмотрим теперь вопрос о взаимосвязи прямой и двойственной задач потребителя. Сле-
дующая теорема, называемая теоремой взаимности (двойственности), устанавливает условия
совпадения решений прямой и двойственной задач потребителя.
Теорема 27 (теорема взаимности /двойственности/):
Пусть X = Rl и p ? Rl , а предпочтения потребителя непрерывны. Тогда
+ ++
(i) если предпочтения локально ненасыщаемы, то x ? x(p, R) влечёт x ? h(p, x);
? ? ?
? ? ?
(ii) для любого h ? h(p, x), где x ? X , выполнено h ? x(p, e(p, x)) = x(p, ph).
? ? ?
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 79

Доказательство: (i) Предположим противное. Пусть x ? h(p, x), т. е. в двойственной задаче
?/ ?
?
существует потребительский набор h x такой, что p? > ph . Из локальной ненасыщаемости
x
?
предпочтений следует, что существует набор h , такой что h h x , и при этом p? > ph .
x
?
А это противоречит оптимальности x в прямой задаче потребителя.
? ?
(ii) Случай h = 0 очевиден, поэтому будем исходить из того, что h = 0 (и, следователь-
? ? ?
но, ph > 0). Набор h допустим в прямой задаче потребителя при ценах p и доходе ph.
Предположим, что он не является решением этой задачи. Тогда существует потребительский
? ? ?
набор x = ph ? B(p, ph)) такой, что x h. В силу непрерывности предпочтений найдется
? ?
0 < ? < 1 такое, что ?x h. Набор ?x стоит дешевле h в ценах p, а это противоречит
?
оптимальности h в двойственной задаче потребителя.

Следующая теорема является следствием предыдущей и устанавливает другие связи меж-
ду характеристиками прямой и взаимной задачи потребителя.
Теорема 28 (соотношения двойственности, следствие Теоремы 27):
Пусть выполнены все предположения Теоремы 27 (включая локальную ненасыщаемость
предпочтений). Тогда верны следующие тождества:
(i) для любого x ? x(p, R) выполнено e(p, x) = R;
? ?
(ii) для любого x ? x(p, R) выполнено x(p, R) = h(p, x);
? ?
?

<< Предыдущая

стр. 17
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>